沪科版七年级上数学知识点总结（一）
2016年7月
第一章：有理数
一、有理数的意义
1-1正数和负数
1、为什么初中数学要引入负数？
答：正数和负数是在实际需要中产生的，我们可以用正数和负数来表示相反意义的量。
2、在生产和生活中，相反意义的量主要有哪些？请列举：
答：常见的有：（1）温度高于0度记作“+”，低于0度记作“-”。（2）高度高于海平面记作“+”，低于海平面记作“-”。（3）高于正常水位记作“+”，低于正常水位记作“-”。（4）超过标准重量记作“+”，低于标准重量记作“-”。（5）储蓄中存入为正，取出为负。（6）收入为正，支出为负。（7）盈余为正，亏损为负。（8）上升为正，下降为负。（9）进为正，出为负。（10）增加为正，减少为负。（11）向东为正，向西为负。……
3、你了解以下各种数的定义和范围吗？并举例。
正数：大于0的数，叫做正数。分为正整数和正分数。（a＞0）
负数：小于0的数，叫做负数。分为负整数和负分数。（a＜0）
0： 既不是正数，也不是负数。
整数：正整数、0、负整数统称整数。
分数：正分数、负分数统称分数。
有理数：整数和分数统称有理数。
有理数又分为正有理数、0、负有理数。
非负数：通常又把0和正数称为非负数。（a≥0）
非正数：0和负数称为非正数。（a≤0）
4、有理数的两种分类方法是什么？
1-2数轴、相反数和绝对值
1-2-1 数轴
1、什么是数轴？你能画好一条数轴吗？
答：规定了原点、正方向、和单位长度的直线。
（所有的有理数都可以用数轴上的点表示。但数轴上的点并不是都表示有理数）。
2、数轴的三要素是什么？数轴的三要素有什么规定？
答：原点（任意、标0）、正方向（向右、箭头）和单位长度（合适）。
3、观察数轴，回答下列问题。
（1）有没有最大的正数？（没有）。有没有最小的正数？（没有）。有没有最小的正整数？（有，是1）。
（2）有没有最小的负数？（没有）。有没有最大的负数？（没有）。有没有最大的负整数？（有，是-1）。
1-2-2相反数
1、什么是相反数？
答：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数。这两个数叫做互为相反数。
规定：0的相反数是0。数a的相反数是 -a。
2、相反数的几何意义是什么？
答：在数轴上表示互为相反数的两个点，位于原点的两旁，且到原点的距离相等。
3、什么数的相反数是它的本身？（是0）。什么数和它的相反数相等？（是0）。
4、-a一定是负数吗？为什么？
答：不一定，因为：当a是正数时，-a是负数；当a是负数时，-a是正数；当a是0时，-a也是0。
5、3-5的相反数是什么？
答：是-（3-5）或5-3。
6、a-b的相反数是什么？
答：是-（a-ｂ）或ｂ-ａ。
7、a+b的相反数是什么？
答：是-（a+b）。
8、如果a、b是互为相反数，那么a+b= 。
1-2-3绝对值
1、绝对值的定义是什么（即几何意义）？
答：一个数a的绝对值，就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作| a |。
根据绝对值的概念，可知绝对值是非负数（| a |≥0）。互为相反数的两个数的绝对值相等。（因为它们到原点的距离相等）
2、绝对值的代数意义是什么？
答：（1）一个正数的绝对值是它本身。
（2）一个负数的绝对值是它的相反数。
（3）0的绝对值是0。
3、一个数a的绝对值如何表示？
（1）如果a ＞ 0，那么| a | = a；
（2）如果a ＜ 0，那么|a| = -a；
（3）如果a = 0，那么|a | = 0。
4、两个负数，绝对值大的反而小。
5、绝对值最小的数是什么？（是０）。什么数的绝对值是它的本身？（正数和0）。什么数的绝对值是它的相反数？（负数）。
6、绝对值是０的数是 ，绝对值是４的数是 。绝对值是-２的数有没有？（没有）。绝对值不大于３的数有多少？（无数个）。绝对值不大于３的整数有 ，正整数有 ，负整数有 。
根据上面的例子，我们可以看出：任意一个正数的绝对值，都有两个——它们是互为相反数；没有一个数的绝对值会等于负数。
7、如果|ｘ|＝３.４,那么x= 。|y-５|=6，y= 。 如果|-ｘ|=|-5|，那么ｘ= 。满足|ｘ|≤3的负整数有 。
8、如果|ａ-３|+|ｂ-５|＝０，那么ａ＝ ，ｂ＝ 。
1-3 有理数的大小
1、数轴上数的大小有什么位置关系？
答：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。根据这点，我们可以利用数轴比较数的大小。
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
2、两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
1-4有理数的加减
1-4-1 有理数的加法
1、有理数加法法则的内容是什么？
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
（3）一个数同0相加，仍得这个数。
2、加法交换律：
两个数相加，交换加数的位置，和不变。字母表达式是：a+b=b+a。
3、加法结合律：
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。字母表达式是：（a+b）+c=a+（b+c）。
思考题：
4、两个正数相加，和一定为（ ），两个负数相加，和一定为（ ）。而正数和负数相加，和可能是（正数、负数或0），为什么？
5、如果a＜0，b＜0，那么a+b 0。为什么？如果a＞0，b＜0， |a|＜|b|，那么a+b 0。如果a＜0，b＞0， |a|＜|b|，那么a+b 0。
6、在有理数加法中，和一定比加数大吗？
1-4-2 有理数的减法
1、有理数减法的意义是什么？
已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。
2、有理数减法法则的内容是什么？
减去一个数，等于加上这个数的相反数。有理数减法法则也可以表示成：a – b = a + （-b）
3、大的数减去小的数，差一定是正数；小的数减去大的数，差一定是负数；两个相等的数相减，差一定是0。
1-4-3 加、减混合运算
1、由于减法可以转化为加法，因此有理数的加减混合运算便可统一成加法运算。
2、在“简化代数和”中，要特别注意符号“+”、“-”的理解和使用：例如，-5+2+3-12我们可以把它们看成是性质符号，将式子看成是省略了加号的代数和，也可将式中的符号看成是运算符号，把式子看成是数的加减混合运算。不过对于一个符号来说，只能一号一用，一号一读。
3、在使用加法交换律交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起交换，千万不能只交换数字。这是最容易出错的地方。
4、几个数相加，可以采用两种方法去做：（1）按照顺序进行计算；（2）可以把几个正数和负数分别结合在一起计算，然后再把正负数相加。（3）利用加法的的运算律进行简便运算。
1-5 有理数的乘除
1-5-1有理数的乘法
1、 有理数乘法法则的内容是什么？
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数同0相乘，都得0。
2、几个有理数相乘，积的符号是如何确定的？
几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。
3、几个不等于0的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘。
4、乘法交换律：
两个数相乘，交换因数的位置，积不变。ab=ba。
乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。（ab）c=a（bc）。
乘法分配律：
一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。a（b+c）=ab+ac。
5、如果a＜0，b＜0，那么ab 0；a＞0，b＜0，那么ab 0。
1-5-2有理数的除法
1、什么是互为倒数？
如果两个有理数的乘积是1，那么称这两个有理数互为倒数。=1（a≠0）。
2、有理数除法的法则1：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得0。0不能作除数
=
（b≠0）
3、有理数除法的法则2：
除以一个不为0的数，等于乘上这个数的倒数。
4、除了0以外，所有的数都有倒数，并且正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
5、倒数是它本身的数是 ，倒数和它的绝对值相等的数是 ，倒数和它的相反数相等的数是 。
-a的倒数是 （a O）。
6、如果a＜0，b＜0，那么 0；如果a＞0，b＜0，那么
0；如果a＝0，b＜0，那么
0。
7、如果两个数a、b是互为倒数，你知道ab=？
1-6有理数的乘方
1、n个相同的因数a相乘，，记作。求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
2、乘方的结果叫幂。相同的因数叫底数，相同因数的个数叫指数。读作a的n次方。
看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂。
3、一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写。
4、正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。任何数的偶次幂都是一个非负数（≥0）
5、0的任何次幂都得 ，1的任何次幂都得 ，-1的偶次幂是 ，-1的奇次幂是 。（偶数和奇数是如何表示的？）
6、把一个大于10的数记成a×的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法。（1≤a＜10）
7、一个数的科学记数法中，10的指数（n）比原数的整数位数少1，如原数有8位，指数就是7。
8、10的几次方，结果就是1后面带几个0。（你可以举例验证）
9、一个数的平方等于0，这个数是 ；平方等于9的数是 ；等于16呢？有没有平方等于-4的数？（没有）。平方等于它本身的数有那些？（只有2个，是1、0、）。平方等于它的相反数的数有那些？
10、一个数的立方等于0，这个数是 ；立方等于27的数是 ；等于64呢？有没有立方等于-8的数？（有，是-2）。立方等于它本身的数有那些？（只有3个，是1、0、-1。）。立方等于它的相反数的数有那些？（只有1个，是0。）。
11、有理数的混合运算
运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，就先算括号里面的。
1-7近似数
1、一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
2、什么叫有效数字？（补充的内容）
从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫这个数的有效数字。
3、两个近似数1.6和1.60，它们相同吗？为什么？
（答：这两个数大小是相同的，但是它们表示的精确程度是不同的，1.6表示精确到十分位（即0.1），它有两个有效数字，分别是1和6；而1.60表示精确到百分位（即0.01），它有三个有效数字，分别是1、6和0。因此，从这个意义上说，1.6和1.60是不相同的，应特别注意。）
