Ch4、不定积分
§1、不定积分的概念与性质
1、 原函数与不定积分
定义1:若,则称为的原函数。
1 连续函数一定有原函数;
2 若为的原函数,则也为的原函数;
事实上,
3 的任意两个原函数仅相差一个常数。
事实上,由,得
故表示了的所有原函数,其中为的一个原函数。
定义2:的所有原函数称为的不定积分,记为,积分号,被积函数,积分变量。
显然
例1、 求下列函数的不定积分
①
②
2、 基本积分表(共24个基本积分公式)
3、 不定积分的性质
①
②
例2、 求下列不定积分
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
§2、不定积分的换元法
一、 第一类换元法(凑微分法)
1、
例1、求不定积分
①
②
③
④
第二类换元法
2、
例2、求不定积分
①
②
③
④
例3、 求不定积分
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
例4、求不定积分
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
二、 第二类换元法
1、三角代换
例1、
解:令,则
原式=
例2、
解:令
原式=
例3、
解:令,则
原式=
例4、
解:令,则
原式=
例5、
解:令,则
原式=
例6、
解:令,则
原式=
小结:中含有可考虑用代换
2、无理代换
例7、
解:令
原式=
例8、
解:令
原式=
例9、
解:令
原式=
例10、
解:令
原式
4、 倒代换
例11、
解:令
原式
§3、分部积分法
分部积分公式:
,故
(前后相乘)(前后交换)
例1、
例2、
例3、
或解:令
原式
例4、
或解:令
原式
例5、
故
例6、
例7、
§4、两种典型积分
一、有理函数的积分
有理函数可用待定系数法化为部分分式,然后积分。
例1、将化为部分分式,并计算
解:
故
或解:
例2、
例3、
例4、
二、三角函数有理式的积分
对三角函数有理式积分,令,,故,三角函数有理式积分即变成了有理函数积分。
例5、
解:令,
原式
例6、
解:令,
原式
例7、