四川省绵阳市绵阳中学2013年自主招生数学试题
一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上）
1、下列因式分解中，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2、“已知二次函数
的图像如图所示，试判断
与
0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当时
，
所以.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫
做（ ）
A.换元法 B.配方法
C.数形结合法 D.分类讨论法
3、已知实数满足
，则
的值是（ ）
A.-2 B.1 C.-1或2 D.-2或1
4、若直线与反比例函数
的图像交于点
，则反比例函数
的图像还必过点（ ）
A. (-1,6) B.(1,-6) C.(-2,-3) D.(2,12)
5、现规定一种新的运算：“*”：，那么
＝（ ）
A. B.5 C.3 D.9
6、一副三角板，如图所示叠放在一起，则
＝（ ）
A.180° B.150° C.160° D.170°
7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ）
A.不增不减 B.增加4％ C.减少4％ D.减少2％
8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且，则角θ所对的弦长等于（ ）
A.8 B.10 C. D.16
9、一支长为13cm的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm、3cm、16cm的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子。
A.13cm B.cm C.12cm D.
cm
10、如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm,4cm的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A的位置变化为
，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边
与桌面所成的角恰好等于
，则
翻滚到
位置时共走过的路程为（ ）
A.cm B.
cm C.
cm D.
cm
11、一辆汽车从甲地开往乙地，开始以正常速度匀速行驶，但行至途中汽车出了故障，只好停下修车，修好后，为了按时到达乙地，司机加快了行驶速度并匀速行驶。下面是汽车行驶路程S(千米)关于时间t(小时)的函数图象，那么能大致反映汽车行驶情况的图像是（ ）
A B C D
12、由绵阳出发到成都的某一次列车，运行途中须停靠的车站依次是：绵阳→罗江→黄许→德阳→广汉→清白江→新都→成都.那么要为这次列车制作的车票一共有（ ）
A.7种 B.8种 C.56种 D.28种
二. 填空题（共6个小题，每个小题4分，共24分。将你所得答案填在答卷上）
13、根据图中的抛物线可以判断：
当________时，
随
的增大而减小；
当________时，
有最小值。
14、函数
中，自变量
的取值范围是__________.
15、如图，在圆中，直径
是上半圆
上的两个动
点。弦与
交于点
，则
＝____________.
16、下图是用火柴棍摆放的1个、2个、3个……六边形，那么摆100
个六边形，需要火柴棍______根。
17、在平面直角坐标系中，平行四边形四个顶点中，有三个顶点坐标分别是（-2，5），（-3，-1），
（1，-1），若另外一个顶点在第二象限，则另外一个顶点的坐标是_______________.
18、参加保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表。某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽修理费是________元.
三.解答题（共7个小题，满分78分，将解题过程写在答卷上）
19、（10分）先化简，再求值：，
其中.
20、（10分）在
中，
.以
为底作等腰直角
，
是
的中点，求证：
.
21、(10分)绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍。拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的90％而拆除旧校舍则超过了计划的10％，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积。
（1）求原计划拆、建面积各是多少平方米？
（2）若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？
22、（10分）已知直线与
轴的负半轴交于点
，直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，
（
是坐标原点），两条直线交于点
.
（1）求的值及点
的坐标；
（2）求四边形的面积
.
23、（12分）如图：已知是圆
的直径，
是圆
的弦，圆
的割线
垂直于
于点
，
交于点
（1）求证：是圆
的切线；
（2）请你再添加一个条件，可使结论成立,说明理由。
（3）在满足以上所有的条件下，求
的值。
24、（12分）如图，菱形的边长为12cm，
＝60
，点
从点
出发沿线路
做
匀速运动，点从点
同时出发沿线路
做匀速运动.
（1）已知点运动的速度分别为2cm/秒和2.5cm/秒，经过12秒后，
分别到达
两点，试判断
的形状，并说明理由；
（2）如果（1）中的点有分别从
同时沿原路返回，点
的速度不变，点
的速度改为
cm/秒，经过3秒后，
分别到达
两点，若
与题（1）中的
相似，试求
的值.
25、（14分）在中，
的长分别是
，且
.
（1）求证：；
（2）若＝2，抛物线
与直线
交于点
和点
，且
的面积为6（
是坐标原点）.求
的值；
（3）若，抛物线
与
轴的两个交点中，一个交点在
原点的右侧，试判断抛物线与轴的交点是在
轴的正半轴还是负半轴，说明理由.
综合素质测试数学科目参考答案
一.选择题（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上）
1.B 2.C 3.D 4.C 5.D 6.A 7.C 8.A 9.C 10.D 11.C 12.D
二.填空题（共6个小题，每个小题4分，共24分。将你所得答案填在答卷上）
13. <1 、 =1 ； 14. x>-2且x
1 ； 15. 100 ；
16. 501 ； 17.（-6，5） ； 18. 2687.25
三.解答题（共7个大题，共78分）
19、（10分）
（1）化简原式＝
求值：
原式
20、（10分）
过作
交
于
………………①
又…………………………②
……………………………………………③
故
21、（10分）
解：（1）由题意可设拆旧舍平方米，建新舍
平方米，则
答：原计划拆建各4500平方米。
（2）计划资金元
实用资金
节余资金：3960000-3636000＝324000
可建绿化面积＝
平方米
答：可绿化面积1620平方米
22、（10分）
解：（1）因直线与
轴负半轴交于点
，故
又由题知
而 故
由得
即
故：,点
的坐标为（5，-2）
（2）过作
轴于点
，依题知：
23、（12分）
解：（1）连接相交于
，由题可知
，即
为切线
（2）加条件：
为
的中点，
（3）由题已知
即
或8（舍）
又
24、（12分）
解：（1）
又
点到达
点，即
与
重合
点在
之中点，即
为直角三角形
（2）
为
的中点，又
与
相似
为直角三角形
①到达
处：
＝
＝1
②到达
处：
＝9，
③到达
处：
＝6+12＝18，
25、（14分）
（1）证明：
（2）且
故
由
，得
………………①
要使 抛物线与直线有交点，则方程①中
得
过作
于
，设
为直线
与坐标轴的交点，则
又
过分别作
轴、
轴的平行线交于点
则
又即
故
即
由方程①得
得
或
（3）且
又，即
，即
抛物线与
轴的两个交点中有一个在原点右侧，故
而抛物线与轴交点为
当
时，
，交
轴于负半轴
当时，
，交
轴于正半轴
