第三章 概率的进一步认识
1.了解利用数据可以进行统计推断,发展建立数据分析观念,感受随机现象的特点.
2.能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果,以及指定事件发生的所有可能结果,了解事件的概率.
3.知道通过大量的重复试验,可以用频率来估计概率.
4.经历试验、收集与统计试验数据、分析试验结果等活动过程,进一步发展数据分析观念,体会概率与统计的关系.
5.通过试验进一步感受随机事件发生的频率的稳定性,理解随机事件发生的频率与概率的关系,加深对概率意义的理解.
1.能运用列表和画树状图等方法计算一些简单事件发生的概率,能用试验频率估计一些较复杂随机事件发生的概率.
2.能运用概率解决一些简单实际问题,进一步发展应用意识.
在活动过程中积累活动经验,体验与他人合作、交流的意义和作用.
七年级已经认识了许多随机事件,理论地研究了一些简单的随机事件发生的可能性.本章是上述内容的延伸,进一步认识了频率与概率的关系,进而加深对概率的理解.通过试验,理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率,据此估计某一事件发生的概率.本章是围绕概率计算的两种方式——理论计算和试验估算展开的.对于没有理论概率或虽然存在理论概率,但其理论计算已超出了学生的认知水平的,学生借助试验模拟获得其估计值,去估计随机事件发生的概率,让学生理解事件发生的频率与概率之间的关系.本章还介绍了两种计算概率的方法——树状图和列表法,以及利用试验频率和理论概率之间的关系,揭示统计推断的一些理论依据,加强概率与统计的联系.
【重点】
1.感受数据的随机性.
2.了解随机现象的特点.
3.理解概率的意义.
【难点】
1.能用列表法、画树状图法求概率.
2.会用频率估计概率.
1.注重学生的合作和交流活动,在活动中促进知识的学习,并进一步发展学生合作交流的意识和能力.
2.引导学生积极参与试验活动,积累活动经验,体会概率与统计的关系.
3.在学生进行试验前,学生应懂得为什么要做试验,怎样做试验,小组分工要明确,每个人负责什么样的任务,最后进行统计,然后分析数据,得出结论.
4.教学应充分关注学生的认知冲突和学生的活动过程,要组织好学生进行试验.
5.注重引导学生积极参与试验活动,在试验中体会频率的稳定性,形成对概率的全面理解,发展学生初步的辩证思维能力.
6.务必引导学生积极参与试验,学生通过大量试验还会发现,试验频率并不一定等于概率,虽然多次试验的频率逐渐稳定于其理论概率,但也可能无论做多少次试验,试验频率仍然是理论概率的一个近似值,而不等同于理论概率,两者存在着一定的偏差,应该说,偏差的存在是正常的、经常的.因此学生对概率的理解应是多方面的,应尽量让学生通过具体试验领会这一点,从而形成对某一事件发生的概率有较为全面的理解,初步形成随机观念,发展学生初步的辩证思维能力.
通过试验,理解当试验次数较多时试验频率稳定于理论概率,并据此估计某一事件发生的概率.学习用树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率.
经历计算理论概率的过程,在活动中进一步发展学生的合作交流意识及反思的习惯.经历试验、统计等活动过程,在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.
培养学生合作交流的意识和能力,提高学生对所研究问题的反思和拓展能力,逐步形成良好的反思意识.鼓励学生积极参与数学活动,通过试验提高学生学习数学的兴趣.鼓励学生思维的多样性,发展学生的创新意识.
【重点】 会用树状图和列表的方法计算随机事件发生的概率.
【难点】 理解事件出现的等可能性,正确地分析出两步试验中出现的所有情况.
第课时
1.通过大量试验发现概率的大小.
2.会用树状图或表格求概率.
通过试验活动培养学生发现、总结问题的能力.
培养学生的交流与合作意识.
【重点】 用树状图或表格求概率.
【难点】 通过大量试验发现概率的大小.
【教师准备】 试验用的表格、硬币等.
【学生准备】 复习有关概率的知识.
导入一:
抛两枚一模一样的质地均匀的正方体骰子可能出现哪些结果?它们发生的可能性是否一样?向上点数一样的可能性又是多少?这些问题都可以用画树状图法或列表法进行求解.
导入二:
十一黄金周期间,梁先生驾驶汽车从甲地经乙地到丙地游玩.甲地到乙地有三条公路,乙地到丙地也有三条公路,每条公路的长度如图所示,梁先生任选一条从甲地到丙地的路线,这条路正好是最短路线的可能性是多少?说说你是怎么算出来的.
[过渡语] 抛两枚硬币正反面朝上的概率情况是怎样的?
探究活动一:这个游戏公平吗?
小明、小颖和小凡都想周末去看电影,但只有一张电影票,三人决定一起做游戏,谁获胜谁就去看电影.游戏规则如下:
连续掷两枚质地均匀的硬币,若两枚正面朝上,则小明获胜;若两枚反面朝上,则小颖获胜;若一枚正面朝上、一枚反面朝上,则小凡获胜.
师生活动:学生分小组进行试验,然后累计各组的试验数据,分别计算这三个事件发生的频数与频率,并由此估计这三个事件发生的概率.教师参与到学生当中,给有困难的学生个别指导.
[设计意图] 本课问题情境的建立可以立足于自己班级学生的实际情况,也可以采用不同的问题环境进行呈现,不需要局限于电影票.这样可以很好地吸引学生的参与,引发热烈的研究兴趣.
教师提问:
(1)掷第一枚硬币可能出现哪些结果?它们发生的可能性是否一样?
(2)掷第二枚硬币可能出现哪些结果?它们发生的可能性是否一样?
(3)在第一枚硬币正面朝上的情况下,第二枚硬币可能出现哪些结果?它们发生的可能性是否一样?如果第一枚硬币反面朝上呢?
学生思考并回答问题.
教师活动:我们通常借助树状图或表格列出所有可能出现的结果:
第一枚硬币和第二枚硬币所有可能出现的结果总共有4种,每种结果出现的可能性相同,其中:
小明获胜的结果有1种:(正,正),所以小明获胜的概率是word/media/image22.gif.
小颖获胜的结果有1种:(反,反),所以小颖获胜的概率也是word/media/image22.gif.
小凡获胜的结果有2种:(正,反)(反,正),所以小凡获胜的概率是word/media/image23.gif.
因此,这个游戏对三人是不公平的.
探究活动二:验证游戏的公平性.
师发给学生下面表格:
每个小组做20次试验,汇总后看看结果如何?
总结:在计算复杂事件发生的概率时往往采用画树状图或列表格法(下面统称列表法)进行分析,利用树状图或表格,可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果,从而比较方便地求出某些事件发生的概率.
树状图法适合两步或两步以上完成的事件,列表法适合两步完成的事件.
[知识拓展] 在利用画树状图法或列表法求概率时,各种情况出现的可能性必须相同,把可能性不同的情况当成等可能的情况处理是错误的.
1.从1,2,-3三个数中,随机抽取2个数相乘,积为正数的概率为 ( )
A.0 B. word/media/image27.gif C.
word/media/image28.gif D.0
答案:B
2.小刚掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的6个面分别刻有1到6的点数,则这个骰子向上的一面点数大于3的概率为 ( )
A. word/media/image29.gif B.
word/media/image27.gif C.
word/media/image28.gif D.
word/media/image22.gif
答案:A
3.我们可以用 和 的方法来计算 发生的概率.
答案:列表法 画树状图 随机事件
4.用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫 ,用画树状图的方法列出某事件的所有可能的结果,求出其概率的方法叫 .
答案:列表法 树状图法
第1课时
1.探究活动一
树状图法
列表法
2.探究活动二
一、教材作业
【必做题】
教材第62页习题3.1的1,2题.
【选做题】
教材第62页习题3.1的3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.学生甲与学生乙玩一种转盘游戏.下图是两个完全相同的转盘,每个转盘被分成面积相等的四个区域,分别用数字“1”“2”“3”“4”表示,固定指针,同时转动两个转盘,任其自由停止,若两指针所指数字的积为奇数,则甲获胜;若两指针所指数字的积为偶数,则乙获胜;若指针指向扇形的分界线,则都重转一次.在该游戏中乙获胜的概率是( )
A. word/media/image22.gif B.
word/media/image29.gif C.
word/media/image33.gif D.
word/media/image34.gif
2.5月19日为中国旅游日,衢州推出“读万卷书,行万里路,游衢州景”的主题系列旅游惠民活动,市民王先生准备在优惠日当天上午从孔氏南宗家庙、烂柯山、龙游石窟中随机选择一个地点;下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随机选择一个地点游玩,则王先生恰好上午选中孔氏南宗家庙,下午选中江郎山这两个地点的概率是 ( )
A. word/media/image35.gif B.
word/media/image27.gif C.
word/media/image28.gif D.
word/media/image36.gif
【能力提升】
3.小明从家到学校沿途需经三个路口,每个路口都设有红、绿两种颜色的信号灯,在信号灯都正常的情况下:
(1)请用树状图列举小明遇到交通信号灯的所有情况;
(2)小明遇到两次绿色信号灯的概率有多大?
(3)小明红、绿色两种信号灯都遇到的概率有多大?
【拓展探究】
4.准备三张完全相同的纸片,两张纸片上各画一个三角形,另一张纸片上画一个正方形,如果将这三张纸片放在一个盒子里搅匀,那么随机地抽取两张纸片,可能拼成一个菱形(取出的是两张画三角形的纸片),也可能拼成一个房子(取出的是一张画三角形和一张画正方形的纸片),这个游戏的规则是这样的:若拼成一个菱形,甲赢,若拼成一个房子,乙赢.你认为这个游戏是公平的吗?说明你的理由.
【答案与解析】
1.C(解析:所有出现的情况如下表,共有16种情况,
每种情况出现的可能性相同,积为奇数的有4种情况,所以在该游戏中甲获胜的概率是word/media/image38.gif,乙获胜的概率为
word/media/image39.gif.故选C.)
2.A(解析:画出树状图如图所示,∴一共有9种等可
能的结果,王先生恰好上午选中孔氏南宗家庙,下午选中江郎山有1种情况,∴王先生恰好上午选中孔氏南宗家庙,下午选中江郎山这两个地点的概率是word/media/image35.gif.故选A.)
3.解:(1)根据题意画出树状图如图所示.一共有8种
等可能的情况. (2)遇到两次绿色信号灯的情况有3种,所以遇到两次绿色信号灯的概率是word/media/image42.gif.
(3)遇到红、绿色两种信号灯的情况有6种,所以遇到红、绿色两种信号灯的概率是word/media/image43.gif.
4.解:不公平.理由如下:这是随机事件,抽到哪两张的概率是相等的.随机地抽取两张,结果有三种:“两张画三角形的纸片”“一张画三角形和一张画正方形的纸片”“一张画三角形和一张画正方形的纸片”,
所以说拼成一个房子的可能要大,对于甲和乙机会是不均等的,所以游戏不公平.画出树状图如图所示,拼成一个菱形的概率是word/media/image45.gif,拼成一个房子的概率是
word/media/image46.gif,因为
word/media/image47.gif,所以这个游戏不公平.
学生通过游戏活动体验了概率情况的不确定性,通过树状图和表格帮助学生认识分析概率情况的基本方法,这是本课时的最大成功之处.
树状图和表格有着不同的适用对象,虽然在教学的过程中对此作了说明和介绍,但学生还是缺乏实际操作的体验,这一点在课堂上做的不够.
从课时的教学内容看,本课时是内容比较浅显的概率问题.为深化学生的理解,可以让学生自己尝试设计类似游戏的方式,对游戏的公平性给出自己的评价.不管设计的是公平游戏还是不公平的游戏,教师都要从知识的角度给予鼓励性的评价.
随堂练习(教材第61页)
解:列表格得:
∴小颖共有4种不同的穿法,∴恰好是白色上衣和白色裤子的概率是word/media/image22.gif.
习题3.1(教材第62页)
1.解:画树状图如右图所示,共有4种等可能的结果.(1)两张牌的牌面数字和可能是2或3或4. (2)两张牌的牌面数字和是3的概率最大.(3)两张牌的牌面数字和是3的概
率是word/media/image55.gif.
2.解:列表得:
∴一共有4种等可能的结果.(1)两次都摸到红球的概率为word/media/image22.gif. (2)两次摸到不同颜色的球的概率为
word/media/image55.gif.
3.解:出现“正面朝上”和“反面朝上”的可能性相同.无论前面两次所掷硬币的结果怎么样,第三次掷硬币出现“正面朝上”和“反面朝上”的可能性都是相同的,概率都是word/media/image29.gif.
本课时主要讲解用列表法或树状图法求随机事件发生的概率.
(1)利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生时所有可能出现的结果,能较方便地求出某些事件发生的概率.
(2)当涉及求两步完成的随机事件的概率时,既可以用树状图表示,也可以用列表法来表示,当涉及求两步以上的随机事件的概率时,一般用树状图表示.
(3)无论是用列表法求概率,还是用树状图法求概率,其共同的前提是各种结果发生的可能性相同.
小丽和小华想利用摸球游戏决定谁去参加市里举办的书法比赛,游戏规则:在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的4个小球,上面分别标有数字2,3,4,5.一人先从袋中随机摸出一个小球,另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球.若摸出的两个小球上的数字和为偶数,则小丽去参赛;否则小华去参赛.
(1)用列表法或画树状图法求小丽参赛的概率;
(2)你认为这个游戏公平吗?请说明理由.
〔解析〕 (1)列表或树状图得出所有等可能的情况数,找出数字之和为偶数的情况数,即可求出小丽去参赛的概率.(2)由小丽参赛的概率求出小华参赛的概率,比较即可得到游戏公平与否.
解:(1)解法1:根据题意列表得:
由表可知所有可能结果共有12种,且每种结果发生的可能性相同,其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有4种,分别是(2,4),(3,5),(4,2),(5,3),所以小丽参赛的概率为word/media/image61.gif.解法2:根据题意画出树状图如图所示,由树状图可知所有可能
结果共有12种,且每种结果发生的可能性相同,其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有4种,分别是(2,4),(3,5),(4,2),(5,3),所以小丽参赛的概率为word/media/image61.gif. (2)游戏不公平.理由如下:因为小丽参赛的概率为
word/media/image27.gif,所以小华参赛的概率为1-
word/media/image63.gif,因为
word/media/image27.gif≠
word/media/image28.gif,所以这个游戏不公平.
第课时
尝试用树状图分析概率.
通过树状图对概率进行分析,体会概率的随机性.
培养学生的合作、分享的意识.
【重点】 用树状图分析概率.
【难点】 不漏掉存在的可能性.
【教师准备】 本课时的教学例题投影.
【学生准备】 了解分析复杂概率情况的方法.
导入一:
某一家庭有3个孩子.
(1)求这个家庭有3个男孩的概率;
(2)求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率;
(3)求这个家庭至少有一个男孩的概率.
导入二:
宝宝和贝贝是一对双胞胎,他们参加市少年志愿者选拔并与甲、乙、丙三人都进入了前5名,现从这5名入选者中确定2名为志愿者,试用画树状图形的方法求出:
(1)宝宝和贝贝同时入选的概率;
(2)宝宝和贝贝至少有一个人入选的概率.
[过渡语] “石头、剪刀、布”是中国古代传统的游戏,我们看下这个游戏是否公平.
探索活动:游戏是否公平.
(教材例1)小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏.游戏规则如下:
由小明和小颖做“石头、剪刀、布”的游戏,如果两人的手势相同,那么小凡获胜;如果两人手势不同,那么按照“石头胜剪刀,剪刀胜布,布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者.假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同,你认为这个游戏对三人公平吗?
解:因为小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同,所以可以利用树状图列出所有可能出现的结果:
总共有9种可能的结果,每种结果出现的可能性相同,其中两人手势相同的结果有3种:(石头,石头),(剪刀,剪刀),(布,布),
所以小凡获胜的概率为word/media/image67.gif;
小明胜小颖的结果有3种:(石头,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),所以小明获胜的概率为word/media/image67.gif;
小颖胜小明的结果也有3种:(石头,布),(剪刀,石头),(布,剪刀),所以小颖获胜的概率为word/media/image67.gif.
因此,这个游戏对三人是公平的.
做一做
小明和小军两人一起做游戏,游戏规则如下:每人从1,2,…,12中任意选择一个数,然后两人各掷一次质地均匀的骰子,谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜;如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和,就再做一次上述游戏,直至决出胜负.如果你是游戏者,你会选择哪个数?
〔解析〕 这个问题看上去很复杂,实际上它等同于下面的问题:两人各掷一次质地均匀的骰子,将两人掷得的点数相加,点数为几的概率最大?
解:可以用列表的方法得到,掷得的点数之和是7的概率最大,所以一般来说,选择7这个数获胜的可能性最大.
当事件涉及三个或三个以上元素时,用列表法不易列举出所有的可能,用画树状图则可以依次列出所有可能的结果.
1.掷一枚硬币三次,落地后三次正面都朝上的概率为 ( )
A. word/media/image68.gif B.
word/media/image22.gif C.
word/media/image42.gif D.
word/media/image29.gif
解析:可以用树状图来表示所有可能的情况,画出树状图如图所示,所有等可能出现的结果有8种:
(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反),其中三次正面都朝上的结果有1种,所以三次正面都朝上的概率是word/media/image68.gif.故选A.
2.一个家庭有两个小孩,则这两个小孩是一男一女的概率是 (假定小孩是男是女是等可能的).
解析:两个小孩的所有可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),而男女各一个的可能有两种,所以男女各一个的概率为word/media/image55.gif.故填
word/media/image29.gif.
第2课时
探索活动:游戏是否公平
例题
做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第64页习题3.2的1题.
【选做题】
教材第64页习题3.2的5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.某校安排三辆车组织九年级学生去敬老院参加学雷锋活动,其中小王和小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘,则小王和小菲同车的概率为 ( )
A. word/media/image27.gif B.
word/media/image35.gif C.
word/media/image29.gif D.
word/media/image28.gif
2.小颖有红色、黄色、白色的三件运动上衣和白色、灰色两条运动短裤,若任意选取一件上衣和一条短裤进行组合,则恰好是“衣裤同色”的概率是 .
【能力提升】
3.甲、乙、丙三人站成一排合影留念,则甲、乙二人相邻的概率是 .
4.在一个不透明的口袋里,装有红、白、黄三种颜色的乒乓球(除颜色外其余都相同),其中有白球2个,黄球1个,若从中任意摸出一个球,这个球是白色的概率为0.5.
(1)求口袋中红球的个数;
(2)若摸到红球计0分,摸到白球计1分,摸到黄球计2分,甲从口袋中摸出一个球,不放回,再摸出一个,用画树状图的方法求甲摸两个球且得2分的概率.
【拓展探究】
5.甲、乙玩转盘游戏时,把质地相同的两个转盘A,B分别平均分成2份和3份,并在每一份内标有数字,如图所示,游戏规则:甲、乙两人分别同时转动两个转盘各一次,当转盘停止后,指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜,数字之和为奇数时乙获胜,若指针落在分界线上,则需要重新转动转盘.
(1)用画树状图的方法求甲获胜的概率;
(2)这个游戏对甲、乙双方公平吗?请判断并说明理由.
【答案与解析】
1.A(解析:设3辆车分别为甲、乙、丙,画出树状图如图所示,共有9种情况,每种情况出现的可能性相
同,小王和小菲坐同一辆车的情况有3种,所以小王和小菲坐同一辆车的概率为word/media/image27.gif.故选A.)
2. word/media/image72.gif (解析:画出树状图可知共有6种组合,每种组合出现的可能性相同,恰好是“衣裤同色”的有1种,所以概率是
word/media/image72.gif.故填
word/media/image72.gif.)
3. word/media/image28.gif (解析:画树状图如图所示,共有6种等可能的情况,甲、乙二人相邻的有4种情况,所以甲、乙二人相邻的概率是
word/media/image46.gif.故填
word/media/image28.gif.)
4.解:(1)设口袋中红球的个数为x,根据题意得word/media/image75.gif＝0.5,解得x＝1.所以口袋中红球的个数为1. (2)画树状图如图所示,因为摸到红球计
0分,摸到白球计1分,摸到黄球计2分,所以当摸得的两个球都是白球或一个黄球和一个红球时得2分,所以摸两个球且得2分的概率为word/media/image61.gif.
5.解:(1)画树状图如图所示,共有6种等可能的结果,两数之和为偶数的有2种情况,所以P(甲获胜)＝word/media/image45.gif. (2)不公平.理由如下:因为数字之和为奇数的情况有4种,所以P(乙获胜)＝
word/media/image46.gif,因为P(甲获胜)≠P(乙获胜),所以这个游戏规则对甲、乙双方不公平.
尝试用树状图准确分析事件发生的概率是本课时的教学重点和难点,为了让学生充分了解分析过程,本课时的教学过程中给学生展现了详细的分析过程.这样做不但让学生看到了对事情结果的分析,也领会到了利用树状图分析概率的要点.
在本课时的“做一做”教学活动过程中,留给学
生课堂交流合作的时间不多,不利于学生深刻领会本课时的学习要点,也没有为学生搭建良好的合作、探究平台.
对于新课导入中提及的问题,在教学活动中可以作为例题或者活动来处理,使得学生的课前兴趣能与本课时教学建立起一个连接点.
随堂练习(教材第64页)
解:列表格得:
∴共有9种不同的拼法,∴能拼成一幅画的概率是word/media/image67.gif.
习题3.2(教材第64页)
1.解:画出树状图如图所示,共有9种情况.(1)两张牌的牌面数字和等于1的概率是0. (2)两张牌的牌面数字和等于2的概率是word/media/image35.gif. (3)两张牌的牌面数字和等于4的概率最大,为
word/media/image27.gif. (4)两张牌的牌面数字和大于3的概率为
word/media/image78.gif.
2.解:画出树状图如图所示.共有9种等可能的结果.(1)两人都左拐的概率为word/media/image35.gif. (2)恰好有一人直行,另一人左拐的概率为
word/media/image36.gif. (3)至少有一人直行的概率为
word/media/image80.gif.
3.解:列表得:
共有6×6＝36种等可能的情况.(1)至少有一枚骰子的点数为1的概率是word/media/image82.gif. (2)两枚骰子的点数和为奇数的概率是
word/media/image29.gif. (3)两枚骰子的点数和大于9的概率
word/media/image83.gif. (4)第二枚骰子的点数整除第一枚骰子的点数的概率是
word/media/image84.gif.
4.解:将出现的可能结果列表如下:
由表可知,共有36种等可能的结果.(1)因为P(小军获胜)＝P(小明获胜)＝word/media/image29.gif,所以游戏对双方公平. (2)因为P(小军获胜)＝
word/media/image86.gif,P(小明获胜)＝
word/media/image87.gif,所以这个游戏对双方不公平.
5.解:小明不能一次得到“汽车”.∵骰子的最大数为6,而汽车距离小明的棋子还有7格,∴小明掷一次骰子不能得到“汽车”.小红下一次掷骰子可能得到“汽车”.只要小明和小红掷得到点数和为7,小红就能得到“汽车”.由列表得:
∴一共有36种等可能的情况,它们的点数和是7共有6种情况,∴小红下一次得到“汽车”的概率是word/media/image83.gif.
6.解:公平,分别用1,2,3表示“石头”“剪刀”“布”三种手势,画出树状如图所示.共有27种等可能的结果,小明、小颖、小凡获胜的概率相同.
某校决定从两名男生和三名女生中选出两名同学作为升国旗活动主持人,则选出一男一女的概率是 .
〔解析〕 画树状图如图所示,共有20种等可能
的结果,选出一男一女的结果有12种,所以选出一男一女的概率是word/media/image91.gif.故填
word/media/image92.gif.
(2013·锦州中考)一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球,分别标有数字1,2,3,4,另有一个可以自由旋转的圆盘,被分成面积相等的3个扇形区域,分别标有数字1,2,3(如图所示).小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛,游戏规则:一人从口袋中摸出一个小球,另一个人转动圆盘,如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4(转到边界就重复上述过程),那么小
颖去;否则小亮去.你认为该游戏公平吗?请说明理由;若不公平,请修改该游戏规则,使游戏公平.
解:不公平.画树状图如图所示,
∴共有12种等可能的结果,两个数字之和小于4的结果有3种情况,
∴P(和小于4)＝word/media/image96.gif,
∴小颖参加比赛的概率为word/media/image22.gif.
∴P(和大于等于4)＝word/media/image97.gif,即小亮参加比赛的概率为
word/media/image33.gif.
∵P(和小于4)≠P(和大于等于4),∴游戏不公平.
可改为:若两指针所指数字之和为偶数,则小颖获胜;若两指针所指数字之和为奇数,则小亮获胜.P(和为偶数)＝P(和为奇数)＝word/media/image29.gif.
第课时
能够熟练运用树状图或列表分析概率问题.
通过问题分析领会数据的随机性.
培养学生的合作、分享的意识.
【重点】 灵活运用树状图或图表分析概率.
【难点】 准确对概率情况进行分析.
【教师准备】 教材图3-1、图3-2和例题投影图片.
【学生准备】 领会、比较树状图和表格求概率的各自特点.
导入一:
如图所示的是两个质地完全相同且可以自由转动的转盘,每个转盘被分成8个相等的扇形,任意转动每个转盘,当转盘停止转动时,哪个转盘的指针指向红色区域的可能性大?试求出其概率.
导入二:
假如一只小猫在如图所示的地板上自由地走来走去,它最终停留在黑砖上的概率是多少?(图中每一块砖除颜色外,完全相同)
[过渡语] 除了用树状图分析概率外,我们还可以用图表的方式进行求解.
问题1
小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏:下面是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成面积相等的几个扇形,游戏者同时转动两个转盘,如果转盘A转出了红色,转盘B转出了蓝色,那么他就赢了,因为红色和蓝色在一起配成了紫色.
(1)利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果.
(2)游戏者获胜的概率是多少?
解:(1)对于转盘A,转出红色、白色的可能性是一样的;对于转盘B,转出黄色、蓝色、绿色的可能性是一样的,画树状图如图所示.
列表如下:
(2)总共有6种可能的结果,每种结果出现的可能性相同,其中能配成紫色的结果只有1种,为(红,蓝),所以游戏者获胜的概率为word/media/image72.gif.
问题2
如果用如图所示的转盘进行“配紫色”游戏.
小颖制作了下表,并据此求出游戏者获胜的概率为word/media/image29.gif;
小亮则先把转盘A的红色区域等分成2份,分别记作“红色1”“红色2”,然后制作了下表,据此求出游戏者获胜的概率也是word/media/image29.gif.
你认为谁做得对?说说你的理由.
解:小颖的做法不正确,小亮的做法正确.因为转盘A中红色部分和蓝色部分的面积不同,所以指针落在两个区域的可能性不同.而用列表法求随机事件发生的概率时,应注意各种情况出现的可能性一定要相同.小亮的做法把转盘B中的红色区域等分成2份,分别记作“红色1”“红色2”,保证了转盘A中指针落在“蓝色”“红色1”“红色2”三个区域的可能性相等,所以是正确的.
(教材例2)一个盒子中装有两个红球、两个白球和一个蓝球,这些球除了颜色外都相同.从中随机摸出一个球,记下颜色后放回,再从中随机摸出一个球,求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率.
解:先将两个红球分别记作“红1”“红2”,两个白球分别记作“白1”“白2”,然后列表如下:
总共有25种结果,每种结果出现的可能性相同,而两次摸到的球的颜色能配成紫色的结果有4种:(红1,蓝),(红2,蓝),(蓝,红1),(蓝,红2),所以P(能配成紫色)＝word/media/image107.gif.
当等可能的结果较多且杂乱时,用列表的方式能清晰全面地列出各种可能的结果,且所有结果有规律地排列,易找出某个事件中包含的所有可能性.
1.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左转或右转.如果这三种可能性大小相同,现有两辆汽车经过这个十字路口.
(1)试用列表法列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果;
(2)至少有一辆汽车向左转的概率.
解:(1)根据题意,列表如下:
这两辆汽车行驶方向共有9种等可能的结果.
(2)由(1)易知至少有一辆汽车向左转的结果有5种,∴P(至少有一辆汽车向左转)＝word/media/image80.gif.
2.一只不透明的袋子中装有2个白球和1个黄球,这些球除了颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出1个,记下颜色后不放回,搅匀后再从中任意摸出1个球,请用列表的方法求两次都摸出白球的概率.
解:列表如下:
所有等可能的情况有6种,其中两次都是白球的情况有2种,则P(两次都摸出白球)＝word/media/image45.gif.
第3课时
问题1
问题2
例题
一、教材作业
【必做题】
教材第68页习题3.3的1,2题.
【选做题】
教材第68页习题3.3的3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.利用下面的几组转盘做“配紫色”的游戏,用列表法求出获胜的概率.
2.已知|a|＝2,|b|＝5,求|a＋b|的值为7的概率.
【能力提升】
3.将A,B,C,D四人随机分成甲、乙两组参加羽毛球比赛,每组两人.
(1)A在甲组的概率是多少?
(2)A,B都在甲组的概率是多少?
4.在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1,2,3,4的红色卡片和三张分别写有数字1,2,3的蓝色卡片,卡片除颜色和数字外完全相同.
(1)从中任意抽取一张卡片,求该卡片上写有数字1的概率;
(2)将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内,然后分别在两个盒子内任意抽取一张卡片,以红色卡片上的数字为十位数,蓝色卡片上的数字为个位数构成一个两位数,求这个两位数大于22的概率.
【拓展探究】
5.小明和小红利用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏,游戏规则:若其中一个转盘转出红色,另一个转盘转出蓝色,则可以配成紫色,此时小明得1分,否则小红得1分.这个游戏公平吗?若不公平,如何修改游戏规则才能使该游戏对双方公平?
【答案与解析】
1.解:(1)列表如下:
∴P(红,蓝)＝word/media/image22.gif. (2)列表如下:
∴P(红,蓝)＝word/media/image45.gif.
2.解:因为|a|＝2,所以a＝±2;因为|b|＝5,所以b＝±5.列表如下:
所以|a＋b|＝|2＋5|＝7或|a＋b|＝|5-2|＝3或|a＋b|＝|-5＋2|＝3或|a＋b|＝|-5-2|＝7,所以P(|a＋b|的值为7)＝word/media/image29.gif.
3.解:所有可能出现的结果如下表:
总共有6种结果,每种结果出现的可能性相同.(1)所有的结果中,满足A在甲组的结果有3种,所以A在甲组的概率是word/media/image29.gif. (2)所有的结果中,满足A,B都在甲组的结果有1种,所以A,B都在甲组的概率是
word/media/image72.gif.
4.解:(1)∵在7张卡片中共有2张卡片写有数字1,∴从中任意抽取一张卡片,卡片上写有数字1的概率是word/media/image110.gif. (2)组成所有两位数列表如下:
或画数状图如图所示,总共有12种结果,每种结果出现的可能性相等,满足这个两位数大于22的有7种,∴这个两位数大于22的概率是word/media/image112.gif.
5.解:根据题意列表如下:
由上表可以看出,可能出现的结果共有25种,每种结果出现的可能性相等,其中可以配成紫色的结果有11种,所以P(配成紫色)＝word/media/image115.gif,P(配不成紫色)＝
word/media/image116.gif,因为P(配成紫色)≠P(配不成紫色),所以这个游戏不公平,对小明不利.修改方法:若配成紫色,则小明得14分,若配不成紫色,则小红得11分.(答案不唯一)
本课时的重点是利用表格分析概率的情况.为了帮助学生深刻领会图表的分析过程,从问题1、问题2到例题都给出了详细的解答过程.在用图表分析概率的过程中,让学生认识到图表分析概率的好处和不足的地方,为学生选择灵活的方法分析概率做了提示和指导.
利用图表分析概率同样需要避免重复和遗漏的问题,在教学的过程中对这个方面的指导有所欠缺.
本课时的问题和例题,同样可以利用树状图去分析.在今后的教学中,可以让学生用不同的方法进行分析,然后进行对比.这样可以帮助学生灵活选择分析概率的方法,也可增加课堂活动的氛围.
随堂练习(教材第67页)
解:列表如下:
由表格知共有9种等可能出现的结果,其中能配成紫色的结果有2种,则P(配成紫色)＝word/media/image36.gif.
习题3.3(教材第68页)
1.解:把A盘和B盘的红色和蓝色部分平均分成两份,列表如下:
由表格知共有9种等可能出现的结果,其中能配成紫色的结果有5种,则P(配成紫色)＝word/media/image80.gif.
2.解:列表得:
一共有25种等可能的结果,两次都摸到相同颜色的球的概率为word/media/image117.gif.
3.解:画树状图略,列表得:
一共有15种情况,每种情况发生的可能性相等,两次都抽到B的概率为word/media/image118.gif.
4.解:如图所示,共有9种等可能的结果,其中能配成紫色的有3种,所以配成紫色的概率为word/media/image67.gif.(答案不唯一)
为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券,甲和乙设计了如下的摸球游戏:在不透明的口袋中放入编号分别为1,2,3的三个红球及编号为4的一个白球,四个小球除了颜色和编号不同外其他没有任何区别,摸球之前将袋内的小球搅匀,甲先摸两次,每次摸出一个球(第一次摸出后不放回).把甲摸出的两个球放回口袋搅匀后乙再摸,乙只摸一次且摸出一个球,如果甲摸出的两个球都是红色,甲得1分,否则甲得0分,如果乙摸出的球是白色,乙得1分,否则得0分.得分高的获得入场券,如果得分相同,游戏重来.
(1)运用列表或树状图求甲得1分的概率;
(2)请你用所学的知识说明这个游戏是否公平.
解:(1)列表如下:
由表可知共有12种等可能出现的结果,甲得1分的
情况:(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),所以甲得1分的概率为word/media/image120.gif.画树状图如图所示,甲得1分的情况:(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),所以甲得1分的概率为
word/media/image120.gif. (2)乙得1分的概率是
word/media/image22.gif,甲得1分的概率是
word/media/image29.gif,所以这个游戏不公平.
1.能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率.
2.理解当试验次数足够大时,试验频率将接近于理论概率.
经历试验、统计等活动过程,在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.
积极参与数学活动,通过试验提高学生学习数学的兴趣.鼓励学生思维的多样性,发展学生的创新意识.
【重点】 用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率.
【难点】 经历用试验频率估计理论概率的过程,并初步感受到50个同学中有2个同学生日相同的概率较大.
【教师准备】 教材第69页引例情景图片,调查活动用的统计表格.
【学生准备】 事先调查家人、同学等10个人的生日.
导入一:
小刚的叔叔是个养殖能手,年初他往鱼塘里放养鱼苗25000尾,成活率为80%,鱼成熟后,重量在1.5斤以上的鱼为优质鱼.小刚的叔叔为了估计这批鱼的产量和收益,他随机捞出一条鱼,称出其重量,再放回鱼塘中,如此不断重复上述试验,共捞了50次,有32条鱼的重量在1.5斤以上,若优质鱼的利润为2元/斤,则小刚的叔叔所养的这批鱼中在优质鱼上至少可获利多少元?
你认为小刚的叔叔进行的试验所得到的优质鱼的频率可以做为整个鱼塘优质鱼的概率吗?
导入二:
我们已经会求一些简单事件的概率,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中m种结果,那么事件A发生的概率为多少呢?今天我们将学习一下稍复杂的概率问题,同学们有兴趣吗?
[过渡语] 用什么方法来研究一些不确定的事件的概率呢?
探索活动一
出示教材第69页引例,分解为3个问题:
【问题1】 400个同学中,一定有2个同学的生日相同(可以不同年)吗?
【问题2】 300个同学中,一定有两个同学的生日相同吗?
【问题3】 50个同学中,就很可能有2个同学的生日相同.你同意这种说法吗?
[设计意图] 通过这三个问题的提问,让学生从一个必然事件过渡到一个不确定事件;在最后一个问题的思考中,就很好地引发学生的认识冲突,从而引发学生浓烈的研究兴趣.
对于上述三个问题的讨论,同学们会各执己见,意见会不统一,也各自难以说服对方.
探索活动二
[过渡语] 怎样验证“50个人中有两个人的生日相同”的概率呢?
(1)每个同学课外调查10个人的生日.
(2)从全班的调查结果中随机选择50个被调查人的生日,记录其中有无2个人的生日相同.每选取50个被调查人的生日为一次试验,重复尽可能多次试验,并将数据记录在表格中:
(3)根据上表的数据,估计“50个人中有2个人的生日相同”的概率.
活动提示:
①为了节约收集数据时间,可以对生日的表示方式简化并以小组的形式参与收集、整理数据,以保证时间的充分利用.
②鼓励学生大胆地讨论、交流、发言,从大量重复试验过程中初步感受到本问题的概率较大.
③在活动和分析的基础上,激励学生提出更好的活动方案.
在学生交流汇报之后,老师总结:
人们往往觉得两个人生日相同是一种可能性不大的事情.但计算结果告诉我们:如果人数达到50人,那么这种可能性就会非常大.下面是一张说明“几个人中至少有两人生日相同”的概率大小表,你看了一定会很吃惊!(n表示人数,P表示n个人中至少有两人生日相同的概率)
[设计意图] 让学生完整地经历一次从收集数据到整理数据,再到利用试验频率估计概率的过程,同时借助一个很有认知冲突的问题很好地调动学生的兴趣.
【问题】 (1)上表的概率和你的试验结果接近吗?
(2)上表中的概率变化有什么规律?
[想一想] 上表中的概率是怎么计算出来的呢?
m个人(m≤365)中,2个人的生日只有相同和不同这两种情况,所以m个人中有2个人生日相同的概率与m个人中任意2个人生日都不同的概率之和为1,所以想求出m个人中有2个人生日相同的概率,可以先求出m个人中任意2个人生日都不同的概率.在m个人中任意2个人生日都不同的概率可以这样计算:设一年有365天,第二个人和第一个人生日不同的概率为word/media/image122.gif,第三个人和前面两个人生日不同的概率为
word/media/image123.gif,…,第m个人和前面(m-1)个人生日不同的概率为
word/media/image124.gif,所以m个人中任意两个人生日都不相同的概率为
word/media/image122.gif·
word/media/image123.gif·…·
word/media/image125.gif,则m个人中有2个人生日相同的概率为1-
word/media/image126.gif.
其他与之相类似的问题也可以像这样计算,如m个人(m≤12)中有2个人生肖相同的概率为1-word/media/image127.gif.
做一做
【问题1】 一个不透明的口袋中有3个红球、7个白球,这些球除颜色外都相同,从口袋中随机摸出一个球,这个球是红球的概率是多少?
【问题2】 一个不透明的口袋中有红球、白球共10个,这些球除颜色外都相同,如果不将球倒出来数,那么你能设计一个试验方案,估计其中红球和白球的比例吗?
【问题3】 你还能提出并解决哪些与问题2类似的问题?与同伴交流一下.
解:(1)这个球是红球的概率是word/media/image128.gif.
(2)设计方案:可以分小组进行摸球试验,两人一组,共10组进行摸球试验.其中一人摸球,另一人记录所摸球的颜色,并将球放回袋中摇匀后再摸.因为试验次数很多,所以大量试验后,频率接近于理论概率,所以如果估计从袋中任意摸出一个球,恰好是红球的概率是0.20,则白球的概率是0.80,所以红球∶白球＝1∶4.(答案不唯一)
(3)略.
1.关于频率和概率的关系,下列说法正确的是 ( )
A.频率等于概率
B.当试验次数很大时,频率稳定在概率附近
C.当试验次数很大时,概率稳定在频率附近
D.试验得到的频率与概率不可能相同
解析:A.用频率能估计概率;B.正确;C.概率是定值;D.可以相同,如“抛硬币试验”,可能得到正面向上的频率为0.5,与概率相同.故选B.
2.某人在做掷硬币试验时,投掷m次,落地时正面朝上有n次即正面朝上的频率是P＝
word/media/image131.gif
,则下列说法中正确的是 ( )
A.P一定等于word/media/image29.gif
B.P一定不等于word/media/image29.gif
C.多投一次,P更接近word/media/image29.gif
D.投掷次数逐渐增加,P稳定在word/media/image29.gif附近
解析:因为硬币只有正反两面,所以投掷时正面朝上的概率为word/media/image29.gif,根据频率的概念可知投掷次数逐渐增加,P稳定在
word/media/image29.gif附近.故选D.
3.在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球,球除颜色外其他都相同,小红通过多次摸球试验后发现摸到黄球的频率稳定在0.3左右,则布袋中白球可能有 个.
解析:小红通过多次摸球试验后发现摸到黄球的频率稳定在0.3左右,∴估计摸到黄球的概率为0.3,∴摸到白球的概率为1-0.3＝0.7,∴白球的个数为50×0.7＝35(个),即布袋中白球可能有35个.故填35.
2 用频率估计概率
探究活动一
探究活动二
做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第71页习题3.4的1题.
【选做题】
教材第71页习题3.4的2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.抛掷两枚大小相同、质地均匀的硬币,抛掷多次,落地后出现两个反面的频率大约稳定在 ( )
A.25% B.50% C.75% D.100%
2.掷一颗质地均匀的正方体骰子2400次,落地后出现向上一面的点数为3点的次数大约是 ( )
A.400次 B.600次
C.1200次 D.2400次
3.九(一)班的张明和李华都出生在2000年,他们的生日在同一天的概率是 .
4.从某玉米种子中抽取6批在同一条件下进行发芽试验,有关数据如下表:
根据以上数据可以估计该玉米种子发芽的概率约为 .(精确到0.1)
【能力提升】
5.在一个不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干(他们除颜色外都相同),现随机从中摸出10枚记下颜色后放回,这样连续做了10次试验,记录的数据如下表:
根据以上数据,估算袋中的白棋子数量为 ( )
A.60枚 B.50枚 C.40枚 D.30枚
6.某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个,在不将袋中球倒出来的情况下,分小组进行摸球试验,两人一组,共20组进行摸球试验.其中一人摸球,另一人记录所摸球的颜色,并将球放回袋中摇匀,每一组做400次试验,汇总后,摸到红球6000次.
(1)估计从袋中任意摸出一个球,恰好是红球的概率是多少;
(2)估计袋中红球接近多少个.
【拓展探究】
7.某商场建了一个可以自由转动的转盘(如右图所示).并规定:顾客购物30元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品,下表是活动进行中的一组统计数据:
(1)计算表中的频率;
(2)请估计:当n很大时,停在“铅笔”区域的频率将会接近于多少;(精确到0.1)
(3)假如你去转动转盘一次,你获得铅笔的概率约为多少?
(4)求在该转盘中,标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少.(精确到1°)
【答案与解析】
1.A(解析:抛掷两枚大小相同、质地均匀的硬币,落地后可能出现的情况有:正正,反反,正反,反正,∴出现两个反面的概率为word/media/image22.gif,∴落地后出现两个反面的频率大约稳定在25%.故选A.)
2.A(解析:抛出向上一面的点数为3点的概率为word/media/image72.gif.故选A.)
3. word/media/image135.gif (解析:因为2000年是闰年,共有366天,所以他们生日在同一天的概率是
word/media/image135.gif.故填
word/media/image135.gif.)
4.0.8
5.C(解析:根据试验提供的数据得出黑棋子的比例为(1＋3＋0＋2＋3＋4＋2＋1＋1＋3)÷100×100%＝20%,所以白棋子比例为1-20%＝80%,设白棋子有x枚,易知word/media/image136.gif＝80%,所以x＝40.故选C.)
6.解:(1)∵20×400＝8000(次),∴摸到红球的频率为word/media/image137.gif＝0.75,∵试验次数很多,大量试验时,频率接近于理论概率,∴估计从袋中任意摸出一个球,恰好是红球的概率是0.75. (2)设袋中红球有x个,由(1)可知
word/media/image138.gif＝0.75,解得x＝15,经检验x＝15是原方程的解,∴估计袋中红球接近15个.
7.解:(1)表中的频率从左到右依次是0.68,0.74,0.68,0.692,0.705,0.701. (2)当n很大时,停在“铅笔”区域的频率将会接近于0.7. (3)获得铅笔的概率约为0.7. (4)圆心角的度数大约是0.7×360°＝252°.
前面的几个课时通过列表或树状图可以准确确定事件发生的概率,本课时是通过大量试验或者烦琐的理论计算才能估测出概率的问题.受课堂活动和学生实际能力的限制,本课时很好地帮助学生认识到,通过大量的试验可以比较准确地反映事件发生的概率,恰如其分地把握了本课时的学习难度.
在本课时涉及的几个试验统计表中,忽略了强调估测概率的一般方法.
通过大量试验得出的概率情况,是生活中一些决策的重要依据.不确定因素中隐含着一些确定性的因素,这正是统计的魅力所在,在教学的过程中必须向学生强调这一点.
随堂练习(教材第70页)
1.提示:本问题与生日问题类似,旨在让学生借助课外调查的数据再次进行有关问题的概率估计.6个人中有2个人生肖相同的理论概率为1-word/media/image139.gif≈0.78.当然,这里不要求学生进行理论计算.
2.解:红球数量＝word/media/image140.gif×10≈7(个),白球数量＝10-7＝3(个).
习题3.4(教材第71页)
1.解:小明的想法不对.因为有意识地避开第一次放进去的球,正好破坏了“每个球被摸到的可能性都相同”的条件.
2.提示:实际上,本题的模型与“随堂练习”第1题完全一样,其理论概率也为1-word/media/image139.gif≈0.78.
复习题(教材第72页)
1.提示:可以认为其概率大约等于word/media/image141.gif,即0.125.
2.提示:(1) word/media/image72.gif. (2)
word/media/image72.gif. (3)
word/media/image72.gif. (4)同意小明的观点.3个小题具有相同的数学模型,答案都是
word/media/image72.gif.
3.提示:他一次就能打开该锁的概率是word/media/image142.gif.
4.解:列表格得:
∴共有30种等可能的拼法,∴能拼成一幅画的概率是word/media/image143.gif.
5.提示:配得紫色的概率是word/media/image72.gif.
6.解:(1)列表格得:
∴共有25种不同的组合,∴能配成紫色的概率是word/media/image107.gif. (2)列表格得:
∴共有20种不同的组合,∴能配成紫色的概率是word/media/image144.gif.
7.解:同意小凡的观点.因为每次掷硬币正面朝上的理论概率是word/media/image29.gif,和前面掷的几次硬币的结果没有关系.
8.解:(1)游戏不公平.因为P(小明胜)＝word/media/image117.gif,P(小亮胜)＝
word/media/image145.gif,
word/media/image117.gif≠
word/media/image145.gif,所以游戏不公平. (2)游戏不公平.因为在25种等可能的情形中,有13种情形的两次数字和为奇数,所以P(小明胜)＝
word/media/image117.gif,P(小亮胜)＝
word/media/image145.gif,
word/media/image117.gif≠
word/media/image145.gif,所以游戏不公平.
9.解:可以计算其理论概率.如图所示,当所抛圆碟的圆心在图中阴影部分(阴影宽度为5 cm)时,圆碟将与地砖间的间隙相交,因此所求概率等于一块正方形地砖内的阴影部分的面积和该正方形的面积比,结果为word/media/image146.gif.
10.解:画树状图如图所示,共8种等可能的结果.
(1)三枚硬币都是正面朝上的概率为word/media/image68.gif. (2)画树状图合适.树状图适合两步及两步以上完成的事件;列表适合两步完成的事件.
11.解:根据题意,列表如下:
所以在7号盒子中放6个,在6号和8号盒子中各放5个,在5号和9号盒子中各放4个,在4号和10号盒子中各放3个,在3号和11号盒子中各放2个,在2号和12号盒子中各放1个,1号盒子不放球.
根据事件发生的频率求概率.
某县农科所进行某种油菜籽在相同条件下的发芽试验,结果如下表:
(1)将数据表补充完整;
(2)观察上面的图表可以发现:随着试验次数的增多,油菜籽的发芽频率word/media/image151.gif＝ .(精确到0.1)
(3)你知道这种油菜籽在试验中发芽的概率吗?
〔答案〕 (1)按表中的数据进行计算,依次填0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.893. (2)0.9 (3)这种油菜籽在试验中发芽的概率约是0.9.
[规律方法] 由频率估计概率时,要对这组频率的数据进行正确的分析,看频率的数据在哪一个数据附近摆动.
1.掌握利用图表法求概率的方法.
2.掌握利用频率估计概率的方法.
通过实例情景提高分析、判断问题的能力.
培养探索创新、合作交流的精神.
【重点】 用树状图或表格求概率.
【难点】
1.用列表法求概率.
2.利用频率估计概率.
专题一 用树状图或列表求随机事件的概率
【专题分析】
利用树状图法或表格法求随机事件发生的概率是中考考查概率知识的必考题,已成为现在中考的热点,选择题、填空题、解答题均有出现.
列举法分析理论概率主要是采用画树状图法或列表法来分析较为复杂事件的所有机会均等的结果,若两步试验,采用画树状图法或列表法;若三步试验,则采用画树状图法比较简便.
现有形状、大小和颜色完全一样的三张卡片,上面分别标有数字1,2,3,第一次从这三张卡片中随机抽取一张,记下数字后放回,第二次再从这三张卡片中随机抽取一张并记下数字,请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能的结果,并求出第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率.
〔解析〕 本题考查了概率的概念及计算方法.掌握概率的计算方法是解题关键,因为是放回再抽,所以第一次抽到某张卡片后,第二次还有三种情况,所以共有9种等可能的结果.然后看第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的等可能结果有多少种,就能求出概率了.
解:画树状图如图所示:
列表如下:
由树状图或表格可知有9种可能的结果,且每种结果出现的可能性相同,第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字结果有3种,所以P(第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字)＝word/media/image67.gif.
[解题策略] 本题先利用画树状图或列表法求出所有等可能的结果,再求出概率,这里要注意分清抽取两次是“有放回”还是“无放回”.
【针对训练1】 M,N两同学在做游戏,规定每人随机伸出一只手中的1根至5根手指.两人伸出的手指的和若为2,3,4,8,9,10,则M胜;若和为5,6,7,则N胜.
(1)用画树状图法分别求M,N两人获胜的概率;
(2)这个游戏公平吗?若不公平,请你设计一个方案使游戏公平.
〔解析〕 (1)画出树状图,根据树状图确定有多少种和的可能性,以及和为2,3,4,8,9,10出现的次数与和为5,6,7出现的次数.(2)判断游戏是否公平,只要比较获胜的概率大小即可,因此只要设计出使概率相等的方案就可以保证两人游戏的公平性.
解:(1)画出如图所示的树状图.
由图知和共有25种等可能的结果,其中和为2,3,4,8,9,10的结果共出现了12次,和为5,6,7的结果共出现了13次,所以M获胜的概率为P(M)＝word/media/image145.gif,N获胜的概率为P(N)＝
word/media/image117.gif.
(2)这个游戏不公平.因为P(N)>P(M),所以N获胜的概率稍大.可设计如下的方案使游戏公平.规定两人随机伸出5根手指中的任意几根,若和为2,3,4,则M获胜,和为8,9,10,则N获胜.(答案不唯一)
[方法总结] 纵观近几年的中考题,在对概率知识进行考查时,出现了许多判断游戏公平与否的题目.解决这类问题的一般方法是先求其概率,然后通过比较概率的大小来判断游戏的公平性.
专题二 用频率估计概率
【专题分析】
用频率来估计事件发生的概率具有较强的现实意义,是中考常考的考点,其主要题型为选择题、填空题、解答题,属于中低档题.
在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个,小颖做摸球试验,她将盒子里的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子里,不断重复上述过程,下表是试验中的一组统计数据:
(1)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近 ;(结果保留到小数点后一位)
(2)假如你摸一次,估计你摸到白球的概率P(摸到白球)＝ ;
(3)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个.
〔解析〕 本题主要考查用频率估计概率的方法,当摸球的次数增加时,摸到白球的频率word/media/image151.gif将会接近一个数值,把这个数值作为概率,然后再用概率估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个.
解:(1)0.6
(2)0.6
(3)白球:40×0.6＝24(个),黑球:40-24＝16(个).
[注意事项] 这是一道理解概率含义的问题,尽管试验结果的频率与概率相比可能有偏差,但这并不妨碍我们正确理解概率的含义,同时也体现了概率的客观性和理论性,频率的主观性和随机性,使我们能进一步认清频率与概率之间的关系.
【针对训练2】 在某项针对18~35岁的青年人每天发微博数量的调查中,设一个人的“日均发微博条数”为m,规定:当m≥10时,为A级;当5≤m<10时,为B级;当0≤m<5时,为C级.现随机抽取30个符合年龄条件的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查,所抽青年人的“日均发微博条数”的数据如下表:
(1)求样本数据中为A级的频率;
(2)试估计1000个18~35岁的青年人“日均发微博条数”为A级的人数;
(3)从样本数据为C级的人数中随机抽取2人,用列举法求抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的概率.
〔解析〕 (1)由抽取30个符合年龄条件的青年人中A级的有15人,可求得样本数据中为A级的频率;(2)根据(1)的结果即可求得;(3)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的情况,再利用概率公式求解即可获得答案.
解:(1)∵抽取30个符合年龄条件的青年人中A级的有15人,
∴样本数据中为A级的频率为word/media/image160.gif.
(2)1000个18~35岁的青年人“日均发微博条数”为A级的人数约为1000×word/media/image29.gif＝500(人).
(3)C级的人数有4人,他们“日均发微博条数”分别为0,2,3,3.
画树状图如图所示:
∴共有12种等可能的结果,抽得2个人“日均发微博条数”都是3的有2种情况.
∴抽得2个人“日均发微博条数”都是3的概率为word/media/image162.gif.
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.从一批商品中随机抽取100件进行检查,其中有一件是次品,下列说法正确的是 ( )
A.次品率小于1%
B.次品率大于1%
C.次品率接近1%
D.次品率一定是1%
2.飞镖随机地投掷在如图所示的靶子上(靶子被等分为八等份),那么投掷在白色区域的概率为 ( )
A. word/media/image68.gif
B. word/media/image22.gif
C. word/media/image29.gif
D.0
3.小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏.三人同时各投一枚均匀的硬币,落地后,若出现3个正面向上或3个反面向上,则小强赢;若出现2个正面向上1个反面向上,则小亮赢;若出现1个正面向上2个反面向上,则小文赢.下面说法正确的是 ( )
A.小强赢的概率最小
B.小文赢的概率最小
C.小亮赢的概率最小
D.三人赢的概率相等
4.小明与小刚一起玩抛掷两枚硬币的游戏,游戏规则:抛出两个正面:小明赢1分;抛出其他结果小刚赢1分.谁先到10分,谁就获胜.这是不公平的游戏规则,要把他改成公平的,下列做法中错误的是 ( )
A.把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”
B.把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”
C.把“小明赢1分”改为“小明赢3分”
D.把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分”
5.如图所示,在4×4的正方形网格中,任意选取一个白色的小正方形并涂色,则图中涂色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是 ( )
A. word/media/image72.gif B.
word/media/image22.gif C.
word/media/image27.gif D.
word/media/image165.gif
6.在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、圆的图案,现将印有图案的一面朝下,混合后从中随机抽取两张,则抽得的卡片上所印的图案都是轴对称图形的概率是 ( )
A. word/media/image33.gif B.
word/media/image22.gif C.
word/media/image27.gif D.
word/media/image29.gif
7.在一个不透明的口袋中,有3个除标号外完全相同的小球,它们的标号分别是2,3,4,从袋中随机摸取一个小球然后放回,再随机地摸取一个小球,则两次摸取的小球标号之和为5的概率为 ( )
A. word/media/image165.gif B.
word/media/image27.gif C.
word/media/image36.gif D.
word/media/image72.gif
8.某校九年级体育毕业考试中,全班所有学生得分情况如下表.
则该班共有 人,随机抽取1人,恰好是得30分的学生的概率是 .横线上依次填 ( )
A.65 word/media/image166.gif B.60
word/media/image166.gif
C.70 word/media/image166.gif D.75
word/media/image117.gif
9.如图所示,ACDF为正方形花园,四边形ABGE是正方形,AB长为2 m,BC长为3 m,一只小鸟任意的在花园中落下,则落在阴影框中的概率为 ( )
A. word/media/image29.gif
B. word/media/image27.gif
C. word/media/image145.gif
D. word/media/image117.gif
10.在一个不透明的口袋中,装有若干个除了颜色不同外其余都相同的球,如果口袋中装有4个红球且随机摸出一个球是红球的概率是word/media/image27.gif,那么口袋中球的总数是 ( )
A.12 B.9 C.6 D.3
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.从-2,-1,2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标,该点在第四象限的概率是 .
12.从-2,-1,0,1,2这五个数中任取一个数,作为关于x的一元二次方程x2-x＋k＝0的k值,则所得的方程有两个不相等的实数根的概率是 .
13.一个盒子里有3个红球,6个白球和5个黑球,它们除了颜色外都相同,搅匀后任意摸出1个球是白球的概率是 .
14.如下图所示,电路图上有四个开关A,B,C,D和一个小灯泡,闭合开关D或同时闭合开关A,B,C都可以使小灯泡发光.
(1)任意闭合一个开关,则小灯泡发光的概率为 .
(2)任意闭合其中的两个开关(不考虑先后顺序),则小灯泡发光的概率为 .
15.在对某次试验数据进行整理的过程中,某个事件出现的频率随试验次数变化的折线图如下图所示,这个图形中折线的变化特点是 ,试举一个大致符合这个特点的实物试验的例子:(指出关注的结果) .
16.如图所示,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点E,其中A(1,1),B(5,1),C(5,5),D(1,5).一个口袋中装有5个完全相同的小球,上面分别标有数字1,2,3,4,5,搅匀后从中摸出一个小球,把球上的数字作为点P的横坐标,放回搅匀后再摸出一个小球,将球上数字作为点P的纵坐标,则P点落在阴影部分(含边界)的概率是 .
三、解答题(共66分)
17.(6分)小明有3支水笔,分别为红色、蓝色、黑色;有2块橡皮,分别为白色、黑色.小明从中任意取出1支水笔和1块橡皮配套使用.试用树状图或表格列出所有可能的结果,并求取出红色水笔和白色橡皮配套的概率.
18.(7分)某鱼塘捕到100条鱼,称得总重为150千克,这些鱼大小差不多,作好标记后放回鱼塘,在它们混入鱼群后又捕到102条大小差不多的同种鱼,称得总重仍为150千克,其中有2条鱼带有标记.
(1)鱼塘中这种鱼一共约有多少条?
(2)估计这个鱼塘可产这种鱼多少千克.
19.(8分)一个不透明的袋子中装有分别标有数字1,2,3的三个球,这些球除所标的数字外都相同,搅匀后从中摸出1个球,记录下数字后放回袋中并搅匀,再从中任意摸出1个球,记录下数字,请用列表或画树状图的方法,求出两次摸出的球上的数字之和为偶数的概率.
20.(8分)一个不透明的口袋中装有红球6个、黄球9个、绿球3个,这些球除颜色外没有任何其他区别,现从中任意摸出一个球.
(1)求摸到的是绿球的概率;
(2)如果要使摸到绿球的概率为word/media/image22.gif,需要在这个口袋中再放入多少个绿球?
21.(9分)如图所示,三个不同的盒子里各放有一个塑料制成的圆环,三个大小不同的圆环恰好可以像图(2)那样较紧密地套在一起.我们随意从三个盒子里拿出两个,可以比较紧密地套在一起的概率有多大?
22.(9分)如图所示,一转盘被等分成三个扇形,上面分别标有-1,1,2三个数,指针位置固定,转动转盘后任其自由停止,这时,某个扇形会恰好停在指针所指的位置,并相应得到这个扇形上的数(若指针恰好指在等分线上,重转).
(1)若小静转动转盘一次,求得到负数的概率;
(2)小宇和小静分别转动转盘一次,若两人得到的数相同,则称两人“不谋而合”.用列表法(或画树状图法)求两人“不谋而合”的概率.
23.(9分)某班毕业联欢会上安排了即兴表演节目的摸球游戏,游戏采用一个不透明的袋子,里面装有5个分别标有数字1,2,3,4,5的乒乓球.这些乒乓球除数字外,其他完全相同.游戏规则:参加联欢会的50名同学,每人将盒子里的5个乒乓球摇匀后,闭上眼睛从中随机地一次摸出2个球(每位同学必须且只能摸一次).若2个球上的数字之和为偶数,就给大家即兴表演一个节目;否则,下一个同学接着做摸球游戏,依次进行.
(1)用列表法或画树状图法求参加联欢会的某位同学即兴表演节目的概率;
(2)估计本次联欢会上有多少名同学即兴表演节目.
24.(10分)“五一”假期,某公司组织部分员工到A,B,C三地旅游,公司将购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图,如下图所示.根据统计图回答下列问题.
(1)前往A地的车票有 张,前往C地的车票占全部车票的 %.
(2)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名员工,在看不到车票正面信息的条件下,每人抽取1张(所有车票的形状、大小、质地等完全相同且充分洗匀),那么员工小王抽到去B地车票的概率为 .
(3)若最后剩下一张车票时,员工小张、小李都想要,决定采用抛掷一个各面分别标有数字1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定,具体规则:每人各抛掷一次,若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大,车票给小张,否则给小李.试用列表法或画树状图法分析这个规则对双方是否公平.
【答案与解析】
1.C
2.A(解析:八等份中白色区域占1份.故选A.)
3.A(解析:共有8种等可能的结果,每种结果出现的可能性相同,小强赢占2种,所以小强赢的概率是word/media/image22.gif,小文、小亮赢各占3种,所以他们赢的概率都是
word/media/image42.gif.故选A.)
4.D(解析:判断游戏的公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平.故选D.)
5.A(解析:因为白色的小正方形有12个,能构成一个轴对称图形的有2种情况(从左往右数,第二行中第4个,还有第四行中第3个),所以图中涂色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是word/media/image162.gif.故选A.)
6.D(解析:分别用A,B,C,D表示等腰三角形、平行四边形、菱形、圆,画树状图如图所示,共有12
种等可能的结果,抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的有6种情况.所以抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率是word/media/image120.gif.故选D.)
7.C(解析:列表如下,由表知所有等可能的结果有9
种,其中标号之和为5的情况有2种,则P(标号之和为5)＝word/media/image36.gif.故选C.)
8.A
9.C(解析:S正方形ACDF＝(2＋3)2＝25(m2),S阴影框＝S正方形ACDF-S正方形ABGE-S正方形GHDL＝25-4-9＝12(m2),所以P(落在阴影框中)＝word/media/image145.gif.故选C.)
10.A(解析:设口袋中球的总数是x,则word/media/image175.gif,解得x＝12.经检验x＝12是原方程的解.故选A.)
11. word/media/image27.gif (解析:任取两个不同的数所构成的点的坐标有6种:(-2,-1),(-2,2),(-1,-2),(-1,2),(2,-1),(2,-2),其中落在第四象限的有(2,-1),(2,-2)2种.)
12. word/media/image92.gif (解析:因为b2-4ac＝1-4k,要使方程有两个不相等的实数根,则需满足b2-4ac>0,即1-4k>0,则k<
word/media/image22.gif,所以-2,-1,0符合条件.)
13. word/media/image176.gif (解析:共有14个球,白球有6个.)
14.(1) word/media/image22.gif (2)
word/media/image29.gif (解析:任意闭合两个开关,共6种情况,其中包含D的占3种.)
15.随着试验次数的增加,频率趋于稳定 抛掷一枚硬币,落地后正面朝上出现的频率
16. word/media/image177.gif (解析:根据题意,列出点P的坐标情况如下表所示,∴共有25种结果,且每种结果出现的
可能相同,根据题意可知直线AC与BD的解析式为y＝x与y＝-x＋6,当x＝1时,均可;当x＝2时,(2,2),(2,3),(2,4)可以;当x＝3时,(3,3)可以;当x＝4时,(4,2),(4,3),(4,4)可以;当x＝5时,均可.∴P点落在阴影部分(含边界)的结果有17种,∴P点落在阴影部分(含边界)的概率是word/media/image177.gif.)
17.解:画出树状图如图所示,由图知共有6种等可
能的结果,其中取出红色水笔和白色橡皮配套的情况占1种,∴取出红色水笔和白色橡皮配套的概率为word/media/image72.gif.
18.解析:本题是用频率估计概率,求鱼塘中鱼的条数及质量的题目,在求质量时可以把每条鱼的质量近似地认为150÷102≈1.5(千克),这里鱼的条数是近似值,鱼的千克数也是近似值.解:(1)设鱼塘中这种鱼一共有x条,则102∶2＝x∶100,所以x＝word/media/image179.gif＝5100.答:鱼塘中这种鱼大约有5100条. (2)5100×(150÷102)＝7500(千克).答:这个鱼塘可产这种鱼约7500千克.
19.解:画树状图如图所示,共有9种等可能的结果,
两次摸出的球上的数字之和为偶数的情况有5种,∴两次摸出的球上的数字之和为偶数的概率为word/media/image80.gif.
20.解:(1)P(摸到绿球)＝word/media/image181.gif. (2)设需要在这个口袋中再放入x个绿球,由已知得
word/media/image182.gif,解得x＝2.经检验x＝2是原分式方程的解.故需要在这个口袋中再放入2个绿球.
21.解:画树状图如图所示,从甲、乙、丙三个圆环中
任意取出两个,有(甲,乙),(甲,丙),(乙,甲),(乙,丙),(丙,甲),(丙,乙)共6种等可能的取法,其中能紧密地套在一起的有(甲,乙),(乙,甲),(乙,丙),(丙,乙)4种,所以可以比较紧密地套在一起的概率为word/media/image46.gif.
22.解:(1)P(得到负数)＝word/media/image27.gif. (2)列表如下:
从表中发现共有9种等可能的结果,其中两人得到的数相同的结果有三种,所以P(不谋而合)＝word/media/image67.gif.
23.解:(1)游戏所有可能出现的结果如下表,从表
中可以看出,一次游戏共有20种等可能的结果,其中两数和为偶数的共有8种,将参加联欢会的某位同学即兴表演节目记为事件A,则P(A)＝P(两数和为偶数)＝word/media/image186.gif. (2)由(1)知某位同学即兴表演节目的概率是
word/media/image187.gif,所以估计本次联欢会上有50×
word/media/image187.gif＝20(名)同学即兴表演节目.
24.解:(1)30 20 (2) word/media/image29.gif (3)可能出现的所有结果列表如下,或画树状图如图所示,易知共有16种等可能的结果,其中小张获得车票的结果有6种:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3).故小张获得车票的概率为
word/media/image188.gif;小李获得车票的概率为1-
word/media/image189.gif.因此这个规则对小张、小李双方不公平.
