离散型随机变量及其分布列

离散型随机变量及其分布列

10．6 离散型随机变量及其分布列

班级 姓名

一、学习目标：

(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．

(2)理解两点分布和超几何分布的意义，并能进行简单的应用．

二、学习建议：

1．随机变量的确定是根本； 2．概率的计算是关键．

三、自主预习

已知下列四个命题：

①某机场候机室中一天的游客数量为ξ；②某数学老师一节课向学生提问次数为ξ；

③某水文站观察到一天中长江的水位为ξ；④某立交桥一天经过的车辆数为ξ.

其中不是离散型随机变量的是 (　 　)

一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表

称为离散型随机变量X的________________，简称________．

有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．

常见离散型随机变量的分布列

(1)超几何分布

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，

则事件{X＝k}发生的概率为_ ，

k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列

为 ，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从_ ．

(2)两点分布

若随机变量X的分布列是

，则这样的分布列称为_____ ．

如果随机变量X的分布列为_ ，就称X服从两点分布，而称_ 为成功概率．

3．随机变量X的分布列如下：

其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝____ ____

知识链接3．离散型随机变量分布列的性质

(1)_________________________；(2)________________________ _．

变式：若离散型随机变量X的分布列为：

试求出常数c，并写出X的分布列．

[

四、课堂互助区

例1．写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的意义．

(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ；

(2)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数的最大值为Y.

点评．研究随机变量的取值关键是准确理解所定义的随机变量的含义，明确随机变量所取的值对应

的 是进一步求随机变量取这个值时的概率的基础．

例2．某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间，求ξ的分布列．

[点评] 解决随机变量分布列问题的关键是正确确定求可以取哪些 值，并计算出随机变量取每个值对应的 。

例3．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：　

(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；

(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．

五、当堂巩固区

1．为振兴旅游业，某省2012年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织一个36名游客的旅游团到四川旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．

(1)在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

(2)在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列．

六、课堂小结：

1．求离散型随机变量的分布列，首先要认识ξ代表的是什么 ；根据具体情况确定ξ的 ，然后求出ξ取各个值所对应的 ．

2．求离散型随机变量分布列的步骤

(1)找出随机变量ξ的所有可能 ；

(2)求出取各值xi的 ；

(3)列表，求出分布列后要注意应用性质 所求的结果是否准确．

10．6 离散型随机变量及其分布列

班级 姓名

一、学习目标：

(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．

(2)理解两点分布和超几何分布的意义，并能进行简单的应用．

二、学习建议：

1．随机变量的确定是根本； 2．概率的计算是关键．

三、自主预习

已知下列四个命题：

①某机场候机室中一天的游客数量为ξ；②某数学老师一节课向学生提问次数为ξ；

③某水文站观察到一天中长江的水位为ξ；④某立交桥一天经过的车辆数为ξ.

其中不是离散型随机变量的是 (　C　)

A．①中的ξ B．②中的ξ C．③中的ξ D．④中的ξ

知识链接1．离散型随机变量

随着试验结果变化而变化的变量称为__________，常用字母X、Y、ξ、η、…表示．

所有取值可以一一列出的随机变量称为____________________．

2．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X的分布列．

[解答] X的可能取值为1,2,3.

X＝1表示取出的3个球中有1个白球2个黑球，此时的概率P(X＝1)＝＝；

X＝2表示取出的3个球中有2个白球1个黑球，此时的概率P(X＝2)＝＝；

X＝3表示取出的3个球中有3个白球0个黑球，此时的概率P(X＝3)＝＝，

其分布列为

这个分布列也可以表示为P(X＝k)＝，k＝1,2,3.

知识链接2．

离散型随机变量的分布列

一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表

称为离散型随机变量X的________________，简称________．

有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．

常见离散型随机变量的分布列

(1)超几何分布

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，

则事件{X＝k}发生的概率为_ P(X＝k)＝，

k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列

为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从_超几何分布．

(2)两点分布

若随机变量X的分布列是

，则这样的分布列称为_____ 两点分布列．

如果随机变量X的分布列为_两点分布列，就称X服从两点分布，而称_ p＝P(X＝1)为成功概率．

3．随机变量X的分布列如下：

其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________

[思路] 利用离散型随机变量的基本性质pi＝1(pi≥0)求解．

　[解析] ∵a、b、c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，

∴b＝，∴P(|X|＝1)＝P(X＝1或X＝－1)＝a＋c＝.

3．离散型随机变量分布列的性质

(1)_________________________；(2)________________________ _．

若离散型随机变量X的分布列为：

试求出常数c，并写出X的分布列．

[思路] 利用离散型随机变量的基本性质pi＝1和pi≥0求解．

[解答] 由题意，即解得c＝，从而X的分布列为

四、课堂互助区

例1．写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的意义．

(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ；

(2)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数的最大值为Y.

[解答] (1)ξ可取0,1,2.

ξ＝0表示所取的三个球没有白球；ξ＝1表示所取的三个球是1个白球，2个黑球；

ξ＝2表示所取的三个球是2个白球，1个黑球．

(2)X的可能取值有2,3,4,5，…，12，Y的可能取值为1,2,3，…，6.若以(i，j)表示先后投掷的两枚骰子出现的点数，则X＝2表示(1,1)；X＝3表示(1,2)，(2,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…X＝12表示(6,6)；

Y＝1表示(1,1)；Y＝2表示(1,2)，(2,1)，(2,2)；Y＝3表示(1,3)，(2,3)，(3,3)，(3,1)，(3,2)；…

Y＝6表示(1,6)，(2,6)，(3,6)，…，(6,6)，(6,5)，…，(6,1)．

点评．研究随机变量的取值关键是准确理解所定义的随机变量的含义，明确随机变量所取的值对应的试验结果是进一步求随机变量取这个值时的概率的基础．

例2．某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间，求ξ的分布列．

[思路] 列出走出迷宫的各种线路，计算各种线路所需时间及概率．

[解答] 必须要走到1号门才能走出，走出迷宫的各种线路如下表：

　　由上表知ξ可能的取值为1,3,4,6.

P(ξ＝1)＝，P(ξ＝3)＝×＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝A×1＝.

所以ξ的分布列为

[点评] 解决随机变量分布列问题的关键是正确确定求可以取哪些随机变量值，并计算出随机变量取每个值对应的概率。

例3．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：　

(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；

(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．

[解答] (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CC，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3. 所以随机变量X的分布列为

(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而

P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，P(A3)＝P(X＝3)＝，

∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为

P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.

五、当堂巩固区

1．为振兴旅游业，某省2012年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织一个36名游客的旅游团到四川旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．

(1)在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

(2)在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列．

[思路] 首先确定随机变量可以取哪些值，然后利用古典概型概率计算公式计算取每一个值的概率．

[解答] (1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，事件A1为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”；事件A2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”．

P(B)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝＋＝，

所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是.

(2)ξ的可能取值为0,1,2,3，

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，

所以ξ的分布列为

六、课堂小结：

1．求离散型随机变量的分布列，首先要认识ξ代表的是什么试验结果；根据具体情况确定ξ的取值，然后求出ξ取各个值所对应的概率．

2．求离散型随机变量分布列的步骤

(1)找出随机变量ξ的所有可能取值xi(i＝1,2，…，n)；

(2)求出取各值xi的概率P(X＝xi)；

(3)列表，求出分布列后要注意应用性质检验所求的结果是否准确．