第五讲 《几何原本》和《九章算术》
在早期的数学中，我们可以看到两种不同的也是基本的数学思想的体现：演绎的公理化体系和构造的算法体系。《几何原本》和《九章算术》就是这两种思想的代表。
一、 《几何原本》
《几何原本》是历史上最早建立的演绎的公理化的体系。演绎的公理化体系是从有限的不加证明公理和定义出发，通过严格的逻辑推理推演出所有其他命题的一个有序的理论整体。
约公元前300年，古希腊数学家欧几里得（Eucild）将希腊当时最为发达的数学---几何用公理化的思想和严格的演绎推理的逻辑方法整理在一个体系之中，形成了《几何原本》这本书。《几何原本》的原名为《原本》（“Elements”），17世纪初，翻译成中文时冠以《几何原本》沿用至今。
《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，它是对欧几里得之前希腊数学的一个总结。
欧几里得《几何原本》的出现，是数学史上一个伟大的里程碑，它不仅是几何学建立的标志，同时也是公理体系在具体学科中应用成功的标志。
(一) 《几何原本》的基本内容
欧几里得的《几何原本》全书共十三卷，总共有475个命题（包括5个公设（Postulate）和5个公理（Axiom））。除几何外，还包括初等数论，比例理论等内容。
第一篇有5个公设、5个公理和48个命题，讨论全等形，平行线，毕达哥拉斯（Pythagoras）定理，初等作图法，等价形（有等面积的图形）和平行四边形。所有图形都是由直线段组成的。
欧几里得在这篇中给出了23个定义提出了点、线、面、圆和平行线等概念。接着是五个公设：
（I）从任意一点到任意一点可作直线。
（II）有限直线可以继续延长。
（III）以任意一点为中心及任意的距离（为半径）可以画圆。
（IV）所有直角都相等。
（V）同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。
其中第五个公设称为欧几里得平行公设，简称第五公设。公设之后是五个公理：
（I）和同一量相等的诸量彼此相等。
（II）等量加等量，总量仍相等。
（III）等量减等量，余量仍相等。
（IV）可以重合的量，彼此相等。
（V）整体大于部分。
现代数学把“公设”和“公理”看作同义词，使用时不加区别。但是欧几里得采纳了古希腊哲学家兼逻辑家亚里士多德（Aristotle）的观点，即公理是适用于一切研究领域的原始假设，而公设则仅仅是适用于正在考虑的这一特定学科的原始假设。
我们熟悉的毕达哥拉斯定理（即勾股定理）就是本篇的命题47和命题48。
第二篇有14个命题，利用线段代替数来研究数运算的几何代数法。比如，两数的乘积变成两边长等于两数的矩形的面积。
第三篇有37个命题，讨论圆以及与之有关的线和角等。
第四篇有16个命题，讨论圆的内接和外切多边形。
第五篇有25个命题，讨论量和量之比的比例理论。（当时只对可公度量，后来推广到一般量）
第六篇有33个命题，利用比例理论讨论相似形。
第七、八、九篇共有102个命题，讲述数论，即讲述关于整数和整数之比的性质。本篇把数看成线段，但论证并不依赖于几何。
第十篇有115个命题，对于给定量不可公度的量进行分类。
第十一篇有39个命题，讨论空间直线与平面的各种位置关系
第十二篇有18个命题，讨论面积和体积。
第十三篇有18个命题，主要讨论五种正多面体。
(二) 《几何原本》的特点
1. 封闭的演绎体系
《几何原本》是数学中最早形成的演绎体系。
在形式上，它是以少数原始概念（不定义概念），如点、线、面（虽然《几何原本》中“定义”了这三个概念，但后来的推演中却没有利用这些定义，而且这些定义只是几何形象的直观描述，严格他说并不能算作定义。因此一般仍将这三个概念看作《几何原本》中的不定义概念）等等，和不证明的公设和公理为基础，运用亚里士多德所创立的逻辑学，把当时所知的几何学中的主要命题（定理）全部推演出来，从而形成一个井然有序的整体。
在这个整体中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。
因此，《几何原本》是一个封闭的体系。当然，《几何原本》在证明某些命题时确实运用了除公设、公理和逻辑之外的“直观”。但是那只是个别现象，并不影响整个体系。
另外，从《几何原本》与当时的社会生产、生活的关系看，它的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。
所以，《几何原本》是一个比较完整的、相对封闭的演绎体系。
2. 抽象化的内容
希腊人在研究几何方面的功绩之一是把数学变成抽象化的科学。希腊人之前，古埃及和巴比伦数学是经验的数学，计算田地大小，计算物体的书目，都有实际目的，而希腊人研究数学摆脱了实际，它们不关注这些概念和现实事物的关系，他们的几何里没有田地，也没有一张桌子，他们竭力主张的是寻找事物的普遍性，想从自然界和人的思想的千变万化的过程中，分离抽象出某些共同点，这种追求理性、讲究逻辑的哲学思想使得几何不再停留在经验的数量变化上，使对数学的认识从感性阶段提高到理性阶段。
因此，《几何原本》中研究的都是一般的、抽象的概念和命题，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，从一些给定的概念和命题出发演绎出另一些概念和命题。它不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。在《几何原本》中研究了所有的矩形（即抽象的矩形概念）的性质，但是从未讨论一个具体的矩形实物的大小。《几何原本》探讨了数（自然数）的若干性质，却不涉及具体的数的计算及其应用。它排斥各种理论的实际应用，对抽象的尺规（无刻度的直尺和圆规）作图却推崇备至。重视抽象理论、而不注重数学理论的现实原型及其具体应用，乃是该著作的显著特点。
3. 公理化的方法
古希腊时期的数学主要是研究几何。他们不仅把几何形成了系统的理论，而且创造了研究数学的方法。作为现代数学的一种基本表述方法和发展方式的公理化方法，在数学上就是以欧几里得《几何原本》为开端的。
根据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的结构，知识都是从初始原理中演绎出的结论。欧几里得《几何原本》恰恰体现了这一想法，欧几里得用尽可能少的原始概念和一组不证自明的命题（公设和公理），利用逻辑推理法则，对当时的几何知识重新组织，建成一个演绎系统。
具体地看，在第一篇中开头的5个公设和5个公理，是全书其它命题证明的基本前提，接着给出23个定义，然后再逐步引入和证明定理。定理的引入是有序的，在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。以后各篇除了不再给出公设和公理外也都照此办理。
这种处理知识体系与表述方法就是公理化方法。
(三) 《几何原本》的意义
《几何原本》中的数学思想，是古希腊数学思想的集中表现，既是古希腊时期对数学认识的一个飞跃，同时它也是近代西方数学的主要源泉。
巴比伦，古埃及的数学是经验的数学知识的积累，没有严格证明，只有零零散散的知识，《几何原本》根据几何材料的内在联系，用概念作为判断和推理的基础逐步形成了数学证明的观念，这是对数学认识的一个质的飞跃。几何原本的诞生将人们的数学观念提升到了一个很深的层次。
《几何原本》自成书之后，在数学界产生巨大而深远的影响。它曾经统治几何学的学习，在世界各地以各种不同的文字，共出了千余版，仅次于《圣经》，大约成为西方世界历史中翻版和研究最广的书，称得上是世界上最杰出的课本。我国在明清两代也有过译本。它被奉为数学教育的依据，人们正是从这本书里认识到数学是什么，证明是什么。
正如斯威克（J. Swick）所说：“《几何原本》对于职业数学家，这书常常有着一种不可逃避的迷惑力，而它的逻辑结构大概比世界上任何其他著作更大地影响了科学思想。”多少年来，千千万万人通过欧几里得几何的学习得到了逻辑的训练，从而步入科学的殿堂。而且，《几何原本》所开创的公理化方法不仅成为一种数学陈述模式而且还被移植到其它学科，并且促进它们的发展。
二、 《九章算术》
《九章算术》，简称《九章》，作者不详，是中国现存最古老的数学书，约成书于公元1世纪的东汉初期。
秦始皇建立统一的封建帝国之后，统一了文字和度量衡制度；到了西汉，社会经济和文化得到迅速发展，因此有必要，也有可能对先秦时期已经积累起来的、丰富的数学知识，进行较为系统的整理，形成专门的数学理论。
据史书记载，秦时掌管过国家图书的张仓，西汉时的大司农耿寿昌以及许商、杜忠等人都编写过，或校订过算书，《九章算术》就是在这些算书的基础上，系统总结了先秦和东汉初年我国数学成就，经历代名家补充、修改、增订而逐步形成的。至迟在1世纪时，已有了现传本的内容。现传世的《九章算术》是三国时魏晋数学家刘徽于263年注释的版本。
(一) 《九章算术》的基本内容
《九章算术》是算经十书中最重要的一种，“九章”是指书中内容分为九章，“算”指算筹，简称“筹”，“术”指解题的方法，因而“算术”是指用筹演算的原理和方法，包括了现在所说的算术、代数和几何的各种算法。
《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。现将各章内容简介如下：
第一章“方田”，列题38个，立术21条。着重介绍各种形状地亩面积的计算与分数的运算。“方”有单位面积的意思，“方田”则是计算一块田含多少个单位面积的方法。分数的运算包括分数的四则运算、约分、大小比较和求几个分数的算术平均数等。
第二章“粟米”，列题46个，立术33条，讨论各种粮食之间互相兑换的问题。“粟”是谷类。这类问题都通过比例来解决。
第三章“衰分”，列题20个，立术22条，涉及的内容比较杂，其算法大体上多属于比例配分问题。“衰（音崔cui）”是按比例，“分”是分配。
第四章“少广”，列题24个，立术16条，专讲开平方、开立方问题。“少”是多少，“广”宽广。“少广”是由已知面（体）积，求其一边的宽广是多少的问题。本章给出了“开方术”、“开圆术”、“开立方术”和“开立圆术”这四种重要算法。
第五章“商功”，列题28个，立术24条，专讲各种土木工程中所提出的各类几何体体积的求解。“商”是商量或度量，“功”是工程。
第六章“均输”，列题28个，立术28条，主要讲处理行程和合理解决征税的问题。
第七章“盈不足”，列题20个，立术17条，主要讲运用“盈不足术”解应用问题，涉及的内容多与商业有关。
第八章“方程”，列题18个，立术19条，专讲线性方程组的解法。“方”就是把一个算题用算筹列成方阵的形式，“程”是度量总名，程式之意。另外本章还提出了正负数的不同表示法和加减运算法则。
第九章“勾股”，列题24个，立术19条，主要研究勾股定理及其应用。本章继承和发展了商高提出的勾股定理，并且开创了直角三角形相似法和出入相补原理。
(二) 《九章算术》的特点
1. 开放的归纳体系
从《九章算术》的内容可以看出，书中所涉及的都是当时社会生产和生活方面需要解决的数学问题。如，田亩测量、工程建设、交通运输、税收商业等，几乎包括了当时社会生产和生活的各个领域。因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。这与《几何原本》追求逻辑的完美形成了鲜明的对照。
《九章算术》的表述体系有两个特点：一是先举出某一社会生活领域中一个或几个问题，由此归纳出解决这一类问题的一般方法一一"术"；再把该领域内多类"术"归总成章，得出解决该领域内各类问题的方法。方田、商功、均输、粟米、衰分等章都是这样的表述方法。二是按解决某类问题所需要的数学方法进行归纳，找出许多不同领域的问题都可应用的相同计算方法，从中得出普遍的数学模型归纳成章。例如盈不足、方程、勾股、少广等章为这类表述方法。无论哪一种表述方法，从知识体系的逻辑性角度看，采用的都是从个别到一般的归纳法体系。
因此，综观全书，《九章算术》是一个开放的归纳体系。
2. 算法化的内容
《九章算术》全书246个问题，均属计算问题，并以计算法则一一"术"来构建全书。即使几何问题，讨论的也是求积等方面的内容，不专门论述或求证几何图形间或图形的各元素间的关系，所以它是一本以算法为中心的经典的数学名著，这与古希腊注重逻辑理论体系的数学名著《几何原本》完全不同。
3. 模型化的方法
从数学方法论的角度看，《九章算术》普遍使用了数学模型方法。各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转化成数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程，即先给出数学模型，然后再举出可以应用的原型，例如，“勾股”、“方程”等章，其标题就是数学模型的名称。这种算法化的理论体系主要是由它的实用性为目的的指导思想所决定的。
(三) 《九章算术》的意义
1. 《九章算术》的成书标志着中国传统数学体系的形成，其问题及思想方法对后世的影响巨大而深远
《九章算术》从问世起，人们便由它来学习数学。到隋唐时期开始建立国立学校，其中有算学科，该书被列为重要的教科书。在民间此书也广泛流传，所以，古代研究数学的人大都是从《九章算术》开始，有些人正是通过对它的研究取得重要成就，成为历史上杰出的数学家，其中最著名的有刘徽、祖冲之父子、贾宪等。也就是说，《九章算术》不但在普及数学知识方面起过巨大作用，而且还在培养和造就数学家方面起到了促进作用。《九章算术》在我国的影响还表现在著作体例方面。《九章算术》以后的许多数学著作都按其格式编写，注重实用，不注意逻辑结构，采用“问题一答案一算法”的体例。甚至一些著作的书名都沿用“九章”两字，如《数书九章》、《详解九章算法》等。
2. 《九章算术》中的数学成就是多方面的
它是世界上最早系统叙述分数运算的著作；关于负数的论述也是世界上最早的。印度发现负数的记录最早见于7世纪。表示负数的梵文，与汉人的“负”字相同，这证明我国负数概念对印度数学是有影响的。至于西欧，直到17世纪才认识负数。当《九章算术》中的各种比例算法传到欧洲时，引起了欧洲人的极大兴趣，他们称之为“黄金算法”，认为它是各种算法中最宝贵的算法。我国古代叫这种算法为“今有术”，它早于印度数学书籍所载的“三率法”。《九章算术》用“盈不足术”来解决算术中的难题。这种算法约在9世纪传入阿拉伯，13世纪转传入欧洲后，得到广泛的运用和发展。阿拉伯人把盈不足术叫做“契丹算法”，从这个名称演变出“震旦”（中国）一词，可见它确系由我国传播出去的。
3. 《九章算术》对中国周边国家数学及社会的发展也有一定的作用
在隋唐时期《九章算术》就已传入朝鲜、日本。对日本、朝鲜等东方诸国的数学发展有过很大作用。人们现在越来越认识到《九章算术》不仅对我国古代数学影响极大，而且对世界数学的发展也起着重要的作用，因而引起各国学者、专家的重视，前苏联、日本、德国、英国等国都有《九章算术》译本。
4. 《九章算术》的思想方法不仅对古代数学的发展产生了重大影响，而且也是现代数学思想发展的源泉
在现代数学的发展过程中，一再重现这种思想。如在17世纪微积分产生初期，就不是靠理论的严格，而是靠实际应用的成功来保证其“可靠性”的。现代应用数学是按应用方向或主要应用的数学模型来分类的。现代数学是一个开放的系统，成为各门科学的方法或工具。随着电子计算机的蓬勃兴起，更进一步肯定了以发展算法和计算技术为中心的中国传统数学的长处。中国科学院院士、著名数学家吴义俊教授在几何定理的机器证明领域所取得的成就，正是以《九章算术》为代表的中国传统数学特色在现代条件下的发扬光大。
(四) 古希腊数学与中国古代数学的比较
《几何原本》是古希腊数学的代表，而中国古代数学以《九章算术》为代表。
古希腊数学和中国古代数学有许多共同之处。但是，由于希腊和中国这两个文明古国的社会制度、数学和哲学的关系、文化背景及统治阶级对数学的态度等方面的差异．又决定了希腊与中国古代数学的很大不同。
首先，从内容上，古希腊数学以定性研究为主，以几何研究为中心；中国数学则以定量研究为主，以算法研究为中心。
其次，希腊数学不是用来解决实际问题的，他们所研究的内容都是离开具体应用对象的相当抽象的性质。相反，中国古代数学的目的就是实际应用，并在应用中发展。离开实际应用的纯理论数学在中国未占主流。
第三，从形式上说，希腊数学都包括命题的证明，并试图构成一个演绎体系。与此不同，中国传统数学的特色是构造性、计算性和机械化。中国古代数学著作则采取应用问题集的形式。
第四，由于中国古代数学家追求实际应用的效果，而古希腊数学家强调逻辑的严密，因此中国古代数学家没有像希腊人那样受悖论困扰。
思考题：
1. 简单叙说《几何原本》思想方法的特点。
2. 简单叙说《几何原本》的体例。
3. 简单叙说《九章算术》思想方法的特点。
4. 简单叙说《九章算术》的体例。
