用GARCH模型预测股票指数波动率

Abstract 2

1.引言 3

2.数据 6

3.方法 7

3.1．模型的条件平均 7

3.2. 模型的条件方差 8

3.3 预测方法 9

3.4 业绩预测评价 9

4.实证结果和讨论 12

5.结论 16

References 18

Abstract

This paper is designed to make a comparison between the daily conditional variance through seven GRACH models. Through this comparison, to test whether advanced GARCH models are outperforming the standard GARCH models in predicting the variance of stock index. The database of this paper is the statistics of 21 stock indices around the world from 1 January to 30 November 2013. By forecasting one –step-ahead conditional variance within different models, then compare the results within multiple statistical tests. Throughout the tests, it is found that the standard GARCH model outperforms the more advanced GARCH models, and recommends the best one-step-ahead method to forecast of the daily conditional variance. The results are to strengthen the performance evaluation criteria choices; differentiate the market condition and the data-snooping bias.

This study impact the data-snooping problem by using an extensive cross-sectional data establish and the advanced predictive ability test. Furthermore, it includes a 13 years’ period sample set, which is relatively long for the unpredictability forecasting studies. It is part of the earliest attempts to inspect the impact of the market condition on the forecasting performance of GARCH models. This study allows for a great choice of parameterization in the GARCH models, and it uses a broad range of performance evaluation criteria, including statistical loss function and the Mince-Zarnowitz regressions. Thus, the results are more robust and diffusely applicable as compared to the earliest studies.

KEY WORDS: GARCH models; volatility, conditional variance, forecast, stock indices.

1.引言

波动性预测可以运用到投资组合选择，期权定价，风险管理和以波动性为基础的交易策略。GARCH模型族被广泛的运用在模拟预测金融资产的波动性。另一个普遍运用的模式为简单的时间序列模型，例如指数加权移动平均（EWMA）模型和复杂随机波动性模型(Poon and Granger,2003)。对不同金融市场波动性的预测，Ederington在2005年发现GARCH模型通常的表现优异于EWMA模型。同样的，关于随机过程的波动率建模，有强有力的证据证明随机波动模型的样品性能堪比GARCH模型 （Fleming and Kirby,2003）.

标准GARCH模型于1986年被Bollerslev提出后，为了规范条件方差，更多复杂的GRACH模型参数被提出。这些先进的GARCH模型试图去更好的捕捉经验主义观察到条件方差的过程。例如，EGARC模型，GJR模型，TGARCH模型和NGARCH模型获得的负返回流的非对称性效应。更为广义的参数化，像APARCH模型和HGARCH模型，包含大量较为简单的GARCH模型（Zakoian, 1994）。尽管如此，用复杂的GARCH模型族来预测成绩并未让人留下深刻印象。Bali和Demirtas（2008）利用GARCH模型，EGARCH模型和TGARCH模型预测S&P500的未来指数。他们发现EGARCH模型最精准的预测了未来实际的波动性。Cao和Tsay在1992年提出EGARCH模型对小型股票提供了最好的长期预测，但是对于大型股票来说，其他时间序列模型会更为适合。Alberg（2008）发现EGARCH模型为Tel Aviv Stock Exchange(TASE)的股票指数提供了最好的方差预测。然而，Ederington 和Guan却指出在对大量资产种类波动性进行预测的过程中，GARCH模型和EGARCH模型是没有显着差别的。Lee在1991年提出，GARCH模型对样本外预测成绩取决于损失评估标准。2004年，Taylor比较了五种不同的GARCH模型，发现GJR和IGARCH模型是最好的。利用均方根误差，平均绝对误差和平均绝对百分比误差的GJR模型被Brailsford认为是最好的（1996）。但是，Franses和Van在同年利用方差中值作为损失标准，发现QGARCH和GARCH模型在样本外预测上的表现优于GJR模型。预测汇率的波动性，Brooks和Bruke（1998）发现GARCH模型倾向于均方误差，但不建立在平均绝对误差的标准上。2004年，Balaban发现在预测汇率波动性上，EGARCH模型为最优，GJR模型为最差。但是，预测的优异取决于所选的损失标准。

因为严重参数化的模型更有利于获得多维度的波动性数据，因此一个好的实例在转变为样本外预测时可能并不重要。在样本外预测能力方面，简单的模型往往比复杂模型更有优势。通过比较330中ARCH类型的预测模型，Hansen和Lunde（2005）发现并没有证据证明GARCH模型优异于其他复杂的模型。但是，建立在对IBM股票市场的研究基础上，发现非对称的GARCH模型比GARCH模型表现更好。同时，非对称GARCH模型在美国国债收益率一周前预测上表现最为突出。大量的研究结果表明，在样本外预测成绩上，简化的GARCH模型优于严重参数化的模型（Hwang，2005）。可是，另一组研究数据表明较为复杂的GARCH模型对波动性提供更好的预测。Ulu在2005年提出QGARCH模型在样本外预测上表现的更好。Hansen和Lunde通过比较一系列GARCH模型，发现APARCH模型在预测上比过于简单的GARCH模型更为准确（2006）。对马德里股市指数（IBEX-35）波动性的预测，Niguez提出分整APARCH模型提供了最为准确的预测（2008）。Antonakakis和Darby则提出FIGARCH模型对工业化国家的汇率波动性预测提供了最好的依据，然后IGARCH模型则是服务于发展中国家（2013）。最终，一定量的研究提供了不同的结果，并且建议预测时间段和市场状况可能决定了预测最佳模型的选择。模型化和预测汇率的波动性，Akgul和Sayyan发现在GARCH模型族中没有明显的优胜者（2008）。通常最佳的预测时间段为10-30天，非对称GARCH模型和线性GARCH模型的预测结果在数据上是一致的（Kisinbay,2010）。但是，对于时间段较短的预测，非对称性模型会更有优势。Chiang 和Huang提出GARCH模型中在牛市表现突出，然而在熊市中则应选择EGARCH模型（2011）。

综上所述，对于哪个GARCH模型能够提供最为精准的预测并没有共识。不同的研究，不同的时间段，不同的资产组合和不同的评价标准会导致不同的GARCH模型参数。但是，通常在非对称模型和对称模型中选择前者。

通过对全球21个股票指数用7种不同的GARCH模型进行分析,并且选用适当的基准,损失标准和对数据偏误的预防。数据探测法的问题在于GARCH模型相关预测文献的相互渗透。当在单一数据库的基础上比较不同GARCH模型时，某个模型可能比基准模型表现的更为出色，因为偶然性代替了优越的预测能力。根据出样品的性能，用不同的数据去支持不同的GARCH模型这一方式是被普遍接受的。因此，现有的文献充斥着大量相矛盾的实证证据。主观上的结果证明GARCH模型的预测成绩对数据的设置是很敏感的，同时没有一个GARCH模型可以为所有的股票指数提供最好的预测。因此，一个宽泛的分类排列数据设置对用GARCH模型评估预测近期数据是重要的。例如，Hansen和Lunde在2005年的研究中指出，可争辩的为在目前最为全面的文献为330种ARCH类别模型预测能力的比较仅仅建立在2个数据集的基础上，即每日邮报外汇汇率和IBM日收益。本文将通过两种方式尽量避免数据偏误问题。首先，利用全球21个国际股票指数超过13年的数据来比较GARCH模型族的预测成绩。其次，将引用Hansen在2005年提出的高级预测能力测试（SPA）与GARCH模型进行比较。SPA模型为比较多样的预测模型提供了数据结构，这可以保证本文的实证结果不会受到数据集的影响，同时可以反映出GARCH模型真正的预测能力。

此研究的另一个贡献为检验不同GARCH模型在不同市场条件下的预测能力。市场情况对利益产生过程和投资者行为有很大的影响。但是，这方面并没有吸引到足够多对波动性学术研究的认识。我们分别在牛市和熊市两种市场条件下比较GARCH模型的预测结果。这种调查研究会产生一些有价值的论断。例如，GRACH模型的相对预测表现对现行的市场状况是敏感的，而且这种差别在牛市中更为显着。在方法论取向上，允许有更多参数化的设置，从而保证有充分弹性模拟复杂的波动动态。为了缓解GARCH模型滚动估计的计算负担，一些研究会对所有GRACH模型运算过程假设最简单的设定滞后期（p=q=1）。但是，这种假设是有约束性的。因此，利用赤迟信息（AIC）准则来决定优化滞后期。此外，许多的成绩评价标准用来比较预测模型。为了证明本文的发现是有根据的，将运用四种统计损失函数，扎诺维茨回归和SPA检测来比较预测结果。发现先进的GARCH模型与标准GARCH模型相比并未提供更好的样本外预测。大量令人迷惑的GARCH模型在文献中被提出，试图把条件方差步骤与程式化事实相混合。然而那些先进的GARCH模型可能有利于理解条件方差多方面的特征。我们的结论指出这些并没有在预测应用中提供任何额外的价值。先进的GARCH模型参数很有可能带有历史数据的特质，与条件方差过程的未来实现没有联系，这对于未来成绩的预测有着负面影响。从实用性出发，此文会解决模型选择问题，标准的GARCH模型对于未来的预测已经足够。对于以后的研究，主要的应用为可能需要额外的调查来检测参数的持续性。例如，如果杠杆效应的参数长期高度不稳定，剔除这个因素可能会提高模型样本外预测的表现。

本文将会第二部分将会讨论在分析中运用到的数据集；第三部分将会描述比较GRACH模型族预测成绩时所用到的方法；第四部分将会讨论实证结果；第五部分将做出总结。

2.数据

利用全球21个主要股票市场从2001年1月1日到2013年11月30的每日结算价作为数据集。8个样本来自欧洲，9个来自于亚太地区和4个来自于美洲。数据来自于彭博金融数据库，用GARCH模型族预测了每个股票市场的日波动率。出于可比性的考虑，所有股票市场取样的时间阶段和样本外预测的数量都是一致的。为了确保一致性，我把所有样本数据截为3395交易日数据。部分数据从雅加达证券交易所综合指数取得。

3.方法

3.1．模型的条件平均

Awatani和Corradi在2005年用6个不同的条件平均等式为依据比较了不同的GRACH类模型。他们发现在不同条件平均等式下，预测表现排行保持一致。例如选用最早由Engle在1987年提出的一般等式：

其中rt和δt2时间t的条件均值和条件方差，εt代表时间t的新制度发明。值得注意的是这些技术参数是简单模型的结合，如恒定的平均模型(u1=0)和零均值模型（u0=u1=0）。

3.2. 模型的条件方差

关于GARCH模型族的文献记录是广泛的.但是,本文只选用七个更为普遍的GARCH模型,即GARCH, EGARCH, GJR-GARCH,TGARCH,AVGARCH,APARCH和NGARCH，等式如下。这些等式由Hansen和Lunde在2005年提出。

这里δt2为时间t的方差。εt制度创新等市场外界因素，并且et=εtδt-1为时间t的标准化创新。当εt>0时，εt+=εt；当εt≤0时，εt+=0。同样地，当εt≤0时，εt- =εt；当εt>0时，εt- =0。其余的参数则代表最大似然估计方式下的参数估计。

3.3 预测方法

对每一个指数，产生了1394个一期预测数据，利用2000个固定滚动窗口大小的观测值，重新估计每个时间段的参量。这些参数由最大似然率方法估量。因为对评估窗口的最佳规模没有具体的理论性描述，因此估计的选择通常是主观的。一般来说，选择大型的评估窗口是满足统计需要的，会提高参数估计的效率。一个实用的考虑为，利用一个足够大的评估窗口可以避免基于似然估计的控制弊端，特别是估量参数较多的GARCH模型时。可是，利用长估计窗可能在相等的权重方案下是有反作用的。例如移动平均模型，可能会被过去信息所影响以后不再相关。可是，这种考虑可能不适用于GARCH以指数方式缩减权重，会限制数据的作用。

对估计窗长度的选择（N=2000天）是建立在之前用GARCH模型预测应用的基础上。之前的预测研究表明利用相似的估计方式包括：Ferulano在2009年提出N=2000天， 75个金融资产属于混合资产组合；Vinga在2012年提出N=2000天，利用标准普尔500指数；Hansen和Lunde在2005年提出N=2000，利用IBM股票数据；Alberg在2008年指出N=1911天，利用TA100股票指数；最后，Karmakar和Shukla在2015年提出，N是在2210天和2272天之间浮动，建立在6个国际股票指数基础上。接下来，将引进一些符合注释。N代表估计窗的规模。M为样本外预测的数量（本文为1394个）。δt2为时间t的真实方差。δt2的样本回归函数形式为其一期预测值，建立在rt-1,rt-2,…,rt-n的信息基础上。t=N+1,…,N+M为预测模型估计参数的向量。最佳模型的选择建立在AIC的基础上。

3.4 业绩预测评价

业绩预测的评价是一个意义重大的任务因为以下2个原因。首先，真正的条件方差不是可以直观观测到的。其次，对于选择一个最好的预测模型没有固定的衡量标准。为了解决第一个问题，高频率的数据库通常把方差看作为真实条件方差的近似值（Anderson，2003）。但是这对获得所有股票指数高频率的数据是不实际的，我们把基于范围的估计量作为真实条件方差的代用品，看作是可供选择的。进一步说，由于观测值的数据量太大，高频数据的处理过程在计算上是复杂的，同时受不定期间隔时间段和微观结构噪音影响。基于范围估计的因素，效率通常为历史方差数据的5到14倍（Yang and Zhang，2000）。Alizadeh发现基于范围波动的代替品是高度有效率的，并且强化微观结构的影响。实证证据也证实了基于范围估计量可以规范模型潜在的波动。Shu和Zhang在2006年发现基于范围估计量为日波动性整合提供了非常精确的估计。最近，Todorova对法兰克福股票指数的研究表明所有基于范围的估计量要优异于传统以日收益为基础的估计量（2012）。

目前有4种较为重要的基于范围波动率估计量分别为帕金森估计量，德国克拉斯估计量，罗杰和萨切尔估计和杨张估计。本文将选用杨和张日波动率估计，等式如下：

这里，Oi，Hi，Li和Ci分别代表在时间t时的开盘价，最高价，最低价和收盘价。对数收益率为Oi=ln Oi-lnCi-1， hi=lnHi-lnOi，li=lnLi-ln Oi， ci=lnCi-ln Oi。在收益均值中，n为杨张估计日方差时所选用的样本数。在2000年，杨张估计证实了n=2时可达到峰值效率。因此我们在本文中选用2天数据。

第二个问题是为选择出的最佳预测模型选择适合的业绩评价标准。普遍的途径为在多重损失函数的基础上评价预测竞争。我们选用由Koopman在2005年提出的关于损失函数的四个等式：

这里δt2的样本回归函数为t的方差预测，δt2则为时间t的真实方差。样张估计量作为δt2真实方差估计量的代表。 Patton在2011年证实，在错综负责的代理量前，一些损失函数可能会选择一些对于真实方差数据来说并不完美的预测。在这些所选的损失函数中，MSE是唯一一个强有力的代替量。尽管如此，在已存在的学术研究角度从竞争性和比较性的角度考虑，我们从所有损失标准中评价预测结果。

同样，也可利用扎诺维茨回归模型。作为一个长期运用在预测分析中的模型，在此过程中，真实的方差系列δt2回归函数基础上退化。在此回归中，R2用来分析评价预测的准确度。最后，我们利用Hansen在2005年提出的“卓越预测能力测试”（SPA）来比较各个预测模型。这种方式的争论点在于，对于不同的数据样本，一个简单的模型在反对其余模型时仅可提供少量的信息。在一个具体的样本中，一个预测模型可能因为信息偏误造成的机遇而优异于其他模型，并不是卓越的预测能力。SPA检测为多种预测模型相比较提供了统计框架。文章剩余部分，GARCH模型将被选做为基准模型，其余的六种模型则被看作为竞争模型。

4.实证结果和讨论

图2比较了不同GARCH模型在不同损失标准下预测的精确度，并且提供了模型排名数据。数列A为在MSE标准下7种GARCH模型的比较。对任何一个股票指数，都由一（最佳）到七（最差）排列。GARCH模型以2.952的平均值胜出于其他所有模型。TGARCH以3.667的数据排名第二。APARCH预测成绩最差，数据为5.095。有意思的是，APARCH模型与GARCH的规格最为相似，他是GARCH，TGARCH，AVGARCH, GJR和NGARCH模型的综合。

为了检测数据是否比预期机会更为重要，我们在零假设下观察累计二次概率，通常零假设为每个模型成为最佳模型的概率是均等的。结果中p的数值代表最好排名指标中统计的显着性(数列A)。相似的，最差排名指标同样与p数值相联系。GARCH和EGARCH模型股票指数最多的2个最佳模型，二项相关测试建议这些数据在10%水平统计性显着。但是，EGARCH模型在九个股票指数预测中表现为最差模型，然后GARCH模型从未被评为最差模型。最终，我们选择GARCH模型作为基准并以MSE衡量为标准与其他模型相比较。我们发现在5%的置信区间内，GRACH的MSE中位数明显低于NGARCH,APARCH和GJR模型。

数列B是以HMSE标准为基础的比较结果。在均值排名中，GARCH模型仍以最低的均值3.333从其他所有模型中脱颖而出。TGARCH模型以3.476的均值位列第二位。AVGARCH模型预测成绩最差，均值为4.476。众多的指数中，GARCH，TGARCH和NGARCH模型经常作为最佳模型；而AVGARCH和NGARCH模型总是排名最后。威氏符号秩次检验表明在10%的置信区间内，GARCH模型的HMSE中值明显低于NGARCH,APARCH和GJR模型。

数列C是以MAE标准为衡量基础比较各种模型。在这里，GARCH模型为最佳模型，APARCH模型为最差模型，均值分别为2.762和4.905。TGARCH模型排名第二，均值为3.524。GARCH模型在9个股票指数中都排名最佳且从未出现在最差的位置。威市符号秩次检验表明在5%的置信区间内，GARCH模型中值明显低于NGARCH,APARCH,GJR模型中值。最终，数列D在HMAE标准基础上比较各模型，各个模型的成绩是很相似的。GARCH模型的均值仍未最低，尽管与别的模型数值相比差别是微小的。NGARCH模型的表现在不同的股票指数中波动比较大。他在7个股票指数中表现为最佳模型，但在8个指数中表现为最差模型。GARCH模型在4个指数中为最佳模型在一个指数中表现最差。

图二：在不同损失标准的基础上比较各GRACH模型预测的精准度

注： 对任一个指数把各模型从一（最好）到七（最差）排列。统计性显着1%和5%的水平分别由‘*’和‘**’显示。

为了检测此结论是否适用于不同的市场环境，把整体样本时间段分为五个连续的子时间段：四个子时间段为279天，剩余一个子时间段为278天。对任何一个股票指数来说，根据他们真正的收益将其分类。把子时间段分为最高收益和最低收益，作为上升趋势和下降趋势时间段。性能评估的运用是把市场上升趋势和下降趋势分开分析，图三为分析结果。简单的说，我们只描述了不同GARCH模型的均值排行。与之前结果一致，GARCH模型在所有损失标准比较中都有着出色表现。这种GARCH的优异表现在上升趋势的市场条件下表现的更为显着。在上升的市场环境下，GARCH和NGARCH模型表现最好；在下降趋势市场环境下，GARCH和APARCH模型表现最好，AVGARCH和NGARCH模型表现最差。

图四为建立在扎诺维茨回归基础上GARCH模型预测精确度的比较。R2的数值高代表模式的预测结果越接近于真实情况。这个分析确定了我们早期的结论，GARCH模型的均值最低，为1.81，因此仍为最优秀模型。在假设GARCH模型的中值与其他所有模型的中值相等的情况下进行威市符号秩次检验，发现这个假设是毫无意义的。

注： 对任一个指数把各模型从一（最好）到七（最差）排列。统计性显着1%和5%的水平分别由‘*’和‘**’显示。

接下来，以GARCH模型为基准模型进行SPA检测。SPA检测的假设为，对于所选的损失标准，没有比GARCH模型更为优异的。因此，若P值低于0.05，则证明GARCH模型至少比其余一个模型优异。表5为SPA检测结果，在MSE, MAE,HMSE和HMAE损失标准下，GARCH模型分别被12，13，10和12个股票指数所青睐。平均下来，对大部分的股票样本指数来说，不管损失标准选择，GARCH模型优异于其他6个竞争模型。为了检测各个指数选择基准模型-GARCH模型的次数是不是明显高于所期望的机会值，假设所有模型成为最佳模型的机会是均等的，得出在此假设下的累积二项概率。对于所有的损失函数来说，这个零假设拒绝哪怕是为0.1%水平的显着性。因此，结果是令人侧目的，不管损失标准函数选择如何，基准模型的预测结果都明显优异于其他竞争模型。

5.结论

我们把GARCH模型与其他六个先进的GARCH模型相比较，分别为EGARCH,GJR-GAARCH,TGARCH,AVGARCH,APARCH和NGARCH模型。选取21个全球主要股票市场13年的指数为样本，发现GARCH模型为日条件方差的一期预测最佳模型。这个结论不管成绩评价标准如何选择和市场情况如何都是有依据的。广泛的数据库选择和SPA检测的应用使结论避免了偏误问题。这个结论与Hansen和Lunde在2005年的发现相一致。先进的GARCH模型参数可能在复杂模式中实时检测方差的变化过程。但是，这些模型更青睐于以研究历史数据的性质，这与条件方差未来的发展趋势是没有联系的，这会对它们的预测业绩产生副作用影响。本文的实证证据表明以后者作用为主，并且基础的GARCH模型经常给股票指数方差的一期预测提供最佳结果。我们的结果符合简约原则，这与样本外成绩预测相一致，简约模型通常比复杂模型更受欢迎。我们相信不管被哪种理论性质所吸引，过度参数化的GARCH模型都不是预测应用的首选模型。例如，普遍认为线性的GARCH模型对非对称性模型和收益率分布偏斜的模型分析预测是不充分的。可是，Gokcan在2000年提出GARCH模型提供了最好的样本外预测，甚至当回归属于偏态分布。我们的结论与之前大部分的学术研究相一致，认为非线性分析的GARCH模型，例如EGARCH和GJR-GARCH模型与GARCH模型相比，没有提供更好的预测结果（Balaban,2004）。

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