2019-2020学年内蒙古乌海八年级（下）期中数学试卷
一、选一选（每小题3分，共36分）
1．下列的式子一定是二次根式的是（ ）
A． B．
C．
D．
2．若，则（ ）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
3．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
4．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B．
C．
D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（ ）
A．26 B．18 C．20 D．21
6．如果梯子的底端离建筑物9m，那么长15m的梯子可以到达的建筑物的高度是（ ）
A．12m B．13m C．14m D．15m
7．如果等边三角形的边长为3，那么连接各边中点所成的三角形的周长为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．
8．能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB＝AD，CB＝CD
9．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ）
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
10．已知矩形一条对角线与一边的夹角是40度，则两条对角线所成锐角的度数为（ ）
A．50度 B．60度 C．70度 D．80度
11．下列曲线中，表示y不是x的函数是（ ）
A． B．
C． D．
12．给出下列命题，其中错误命题的个数是（ ）
①四条边相等的四边形是正方形；
②两组邻边分别相等的四边形是平行四边形
③有一个角是直角的平行四边形是矩形；
④矩形、线段都是轴对称图形
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填一填（每小题3分，共24分）
13．函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
14．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）．
15．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为 ．
16．校园里栽下一棵小树高1.8米，以后每年长0.3米，则n年后的树高L与年数n之间的函数关系式 ．其中变量是 、 ，常量是 ．
17．已知函数y＝（m﹣1）x是正比例函数，m＝ ；函数的图象经过 象限；y随x的减少而 ．
18．三角形的三边长分别为，
，
，则这个三角形的周长为 cm．
19．菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的周长为 ，面积为 ．
20．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则这个三角形的周长是 ．
三、做一做（共60分）
21．（20分）计算：
（1）（）（
﹣
）
（2）（2﹣
）2
（3）4+
﹣
+4
（4）6﹣2﹣3
22．（10分）先化简，再求值： •（x+2），其中x＝
．
23．（4分）上海磁悬浮列车在一次运行中速度V（千米/小时）关于时间t（分钟）的函数图象如图，回答下列问题．
（1）列车共运行了 分钟
（2）列车开动后，第3分钟的速度是 千米/小时．
（3）列车的速度从0千米/小时加速到300千米/小时，共用了 分钟．
（4）列车从 分钟开始减速．
24．（6分）已知y﹣3与x成正比例，且x＝4，y＝7．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当x＝9时，求y的值；
（3）当y＝2时，求x的值．
25．（10分）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E．求证：四边形OCED是菱形．
26．（10分）如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？
2019-2020学年内蒙古乌海八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选一选（每小题3分，共36分）
1．下列的式子一定是二次根式的是（ ）
A． B．
C．
D．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数对每个选项做判断即可．
【解答】解：A、当x＝0时，﹣x﹣2＜0，无意义，故本选项错误；
B、当x＝﹣1时，无意义；故本选项错误；
C、∵x2+2≥2，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；
D、当x＝±1时，x2﹣2＝﹣1＜0，无意义；故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，
表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．
2．若，则（ ）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
【分析】等式左边为非负数，说明右边3﹣b≥0，由此可得b的取值范围．
【解答】解：∵，
∴3﹣b≥0，解得b≤3．故选D．
【点评】本题考查了二次根式的性质：≥0（a≥0），
＝a（a≥0）．
3．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2＝c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12＝，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理．
4．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B．
C．
D．
【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．
【解答】解：因为：B、＝4
；
C、＝
；
D、＝2
；
所以这三项都不是最简二次根式．故选A．
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（ ）
A．26 B．18 C．20 D．21
【分析】直接根据勾股定理进行解答即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，
∴c＝＝
＝20．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，即在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
6．如果梯子的底端离建筑物9m，那么长15m的梯子可以到达的建筑物的高度是（ ）
A．12m B．13m C．14m D．15m
【分析】梯子和建筑物之间可构成直角三角形，梯子长为斜边，梯子的底端离建筑物的距离为一直角边，运用勾股定理可将另一直角边求出，即梯子可以到达建筑物的高度．
【解答】解：∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m，
∴另一直角边长＝＝12m，
故梯子可到达建筑物的高度是12m，
故选：A．
【点评】本题的关键是建立数学模型，使实际问题转化为数学问题，进行求解．
7．如果等边三角形的边长为3，那么连接各边中点所成的三角形的周长为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．
【分析】等边三角形的边长为3，根据三角形的中位线定理可求出中点三角形的边长，所以中点三角形的周长可求解．
【解答】解：连接各边中点所成的线段是等边三角形的中位线，每条中位线的长是，故新成的三角形的周长为
×3＝
．
故选：D．
【点评】本题利用了等边三角形的性质和中位线的性质，三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形，因而每个小三角形的周长为原三角形周长的．
8．能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB＝AD，CB＝CD
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定定理知，A、B、D均不符合是平行四边形的条件；
C满足两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．
9．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ）
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．
【解答】解：A，不能，只能判定为矩形；
B，不能，只能判定为平行四边形；
C，能；
D，不能，只能判定为菱形．
故选：C．
【点评】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
10．已知矩形一条对角线与一边的夹角是40度，则两条对角线所成锐角的度数为（ ）
A．50度 B．60度 C．70度 D．80度
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等求出另一条对角线与一边的夹角，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵矩形一条对角线与一边的夹角是40度，
∴另一条对角线与一边的夹角也是40度，
根据三角形的外角性质，两条对角线所成锐角的度数为40°+40°＝80°．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题．
11．下列曲线中，表示y不是x的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的意义即可求出答案．
【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以B不正确．
故选：B．
【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
12．给出下列命题，其中错误命题的个数是（ ）
①四条边相等的四边形是正方形；
②两组邻边分别相等的四边形是平行四边形
③有一个角是直角的平行四边形是矩形；
④矩形、线段都是轴对称图形
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平行四边形、矩形、正方形的判定以及轴对称的性质可知．
【解答】解：①四条边相等的四边形不一定是正方形，错误；
②两组邻边分别相等的四边形不一定是平行四边形，错误；
③正确；
④正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查平行四边形、矩形、正方形的判定以及轴对称的性质．
二、填一填（每小题3分，共24分）
13．函数y＝的自变量x的取值范围是 x＞
．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：3x﹣1＞0，
解得：x＞．
故答案为：x＞．
【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面 合格 （填“合格”或“不合格”）．
【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格．
【解答】解：∵802+602＝10000＝1002，
即：AD2+DC2＝AC2，
∴∠D＝90°，
同理：∠B＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴这个桌面合格．
故答案为：合格．
【点评】本题考查的是勾股定理逆定理在实际中的应用，以及矩形的判定，关键是熟练掌握勾股定理逆定理与矩形的判定方法；勾股定理逆定理：在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形；矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
15．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为 ．
【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边上的高．
【解答】解：设斜边长为c，高为h．
由勾股定理可得：c2＝32+42，
则c＝5，
直角三角形面积S＝×3×4＝
×c×h
可得h＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了利用勾股定理求直角三角形的边长及利用面积法求直角三角形的高，是解此类题目常用的方法．
16．校园里栽下一棵小树高1.8米，以后每年长0.3米，则n年后的树高L与年数n之间的函数关系式 L＝0.3n+1.8 ．其中变量是 L 、 n ，常量是 0.3和1.8 ．
【分析】根据函数的表示方法以及常量变量的定义进行填空即可．
【解答】解：树高L与年数n之间的函数关系式：L＝0.3n+1.8，
变量L，n；常量0.3，1.8；
故答案为L＝0.3n+1.8；L，n；0.3和1.8．
【点评】本题考查了函数的表示方法，掌握函数的表示方法以及常量变量的定义是解题的关键．
17．已知函数y＝（m﹣1）x是正比例函数，m＝ ﹣1 ；函数的图象经过 第二、四 象限；y随x的减少而 增大 ．
【分析】根据正比例函数的定义可以求得m的值，然后根据正比例函数的性质即可得到该函数的图象所在的象限和y随x的减小而如何变化．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣1）x是正比例函数，
∴，
解得，m＝﹣1，
∴y＝﹣2x，
∴该函数的图象在第二、四象限，y随x的减小而增大，
故答案为：﹣1，第二、四，增大．
【点评】本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答．
18．三角形的三边长分别为，
，
，则这个三角形的周长为 5
cm．
【分析】三角形的三边长的和为三角形的周长，所以这个三角形的周长为+
+
，化简合并同类二次根式．
【解答】解：这个三角形的周长为+
+
＝2
+2
+3
＝5
+2
（cm）．
故答案为：5+2
（cm）．
【点评】本题考查了运用二次根式的加减解决实际问题．
19．菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的周长为 20 ，面积为 24 ．
【分析】由菱形的对角线长分别为6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，可求得菱形的面积，由勾股定理可求得AB的长，继而求得周长．
【解答】解：如图，AC＝6，BD＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝3，OB＝
BD＝4，
∴AB＝＝5，
∴菱形的周长是：4AB＝4×5＝20，面积是： AC•BD＝
×6×8＝24．
故答案为：20，24．
【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
20．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则这个三角形的周长是 12或7+ ．
【分析】分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，②3和4都是直角边，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，由勾股定理得：第三边长是＝
，此时周长＝3+4+
＝7+
；
②3和4都是直角边，由勾股定理得：第三边长是＝5，此时周长＝3+4+5＝12；
综上所述，第三边的长为12或7+．
故答案为：12或7+．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
三、做一做（共60分）
21．（20分）计算：
（1）（）（
﹣
）
（2）（2﹣
）2
（3）4+
﹣
+4
（4）6﹣2﹣3
【分析】（1）直接利用平方差公式计算得出答案；
（2）直接利用完全平方公式计算得出答案；
（3）首先化简二次根式，进而合并得出答案；
（4）首先化简二次根式，进而合并得出答案．
【解答】解：（1）（）（
﹣
）＝6﹣2＝4；
（2）（2﹣
）2
＝20+2﹣4
＝22﹣4；
（3）4+
﹣
+4
＝4+3
﹣2
+4
＝7+2
；
（4）6﹣2﹣3
＝6﹣2×﹣3×
＝6﹣﹣
＝6﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
22．（10分）先化简，再求值： •（x+2），其中x＝
．
【分析】先把分式因式分解，约分化简为最简形式，再把数代入求值．
【解答】解：原式＝•（x+2）
＝；（6分）
x＝时，
．（8分）
【点评】此题是分式与整式的乘法运算，分子、分母能因式分解的先因式分解；注意应该把x+2看成一个整体．
23．（4分）上海磁悬浮列车在一次运行中速度V（千米/小时）关于时间t（分钟）的函数图象如图，回答下列问题．
（1）列车共运行了 8 分钟
（2）列车开动后，第3分钟的速度是 300 千米/小时．
（3）列车的速度从0千米/小时加速到300千米/小时，共用了 2 分钟．
（4）列车从 5 分钟开始减速．
【分析】（1）根据函数图象的坐标，解答即可；
（2）根据函数图象的坐标，解答即可；
（3）根据函数图象的坐标，解答即可；
（4）根据函数图象的坐标，解答即可．
【解答】解：（1）列车共运行了8分钟；
故答案为：8；
（2）列车开动后，第3分钟的速度是300千米/小时；
故答案为：300；
（3）列车的速度从0千米/小时加速到300千米/小时，共用了2分钟；
故答案为：2；
（4）列车从5分钟开始减速．
故答案为：5．
【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键．
24．（6分）已知y﹣3与x成正比例，且x＝4，y＝7．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当x＝9时，求y的值；
（3）当y＝2时，求x的值．
【分析】（1）先设出函数的解析式为y﹣3＝kx，再将x＝4，y＝7代入即可求得函数的关系式．
（2）把x＝9代入y＝x+3即可求得．
（3）把y＝2代入y＝x+3即可求得．
【解答】解：（1）设函数的解析式为y﹣3＝kx
∵把x＝4，y＝7代入解析式中得k＝1
∴y﹣3＝x
即：y＝x+3．
（2）把x＝9代入y＝x+3得
y＝9+3＝12．
（3）把y＝2代入y＝x+3得，2＝x+3，
解得：x＝﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，比较简单，同学们要熟练掌握．
25．（10分）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E．求证：四边形OCED是菱形．
【分析】由DE∥AC，EC∥BD，易得四边形OCED是平行四边形，又矩形的对角线相等且平分，可得OC＝OD，则四边形OCED是菱形．
【解答】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OD＝OC，
∴四边形OCDE是菱形．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，掌握基本的性质与判定是解决问题的关键．
26．（10分）如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？
【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC＝2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理得CE＝1.5米，所以AE＝0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2.5米，BC＝1.5米，故AC＝＝
＝2米，
在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝（1.5+0.5）米，故EC＝＝
＝1.5米，
故AE＝AC﹣CE＝2﹣1.5＝0.5米．
【点评】本题主要考查了勾股定理的实际应用，此题中主要注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长，即可计算下滑的长度．
