学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计( )
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较
【解析】 ∵D(X甲)>D(X乙)，
∴乙种水稻比甲种水稻整齐.
【答案】 B
2.设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为( )
A.n＝4，p＝0.6 B.n＝6，p＝0.4
C.n＝8，p＝0.3 D.n＝24，p＝0.1
【解析】 由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，
∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6.
【答案】 B
3.已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3,6,9.则D(X)等于( )
【导学号：62980057】
A.6 B.9
C.3 D.4
【解析】 E(X)＝3×＋6×
＋9×
＝6.
D(X)＝(3－6)2×＋(6－6)2×
＋(9－6)2×
＝6.
【答案】 A
4.同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)＝( )
A. B.
C. D.5
【解析】 两枚硬币同时出现反面的概率为×
＝
，故ξ～B
，
因此D(ξ)＝10××
＝
.故选A.
【答案】 A
5.已知X的分布列为
则①E(X)＝－，②D(X)＝
，③P(X＝0)＝
，其中正确的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
【解析】 E(X)＝(－1)×＋0×
＋1×
＝－
，故①正确；
D(X)＝2×
＋
2×
＋
2×
＝
，故②不正确；③P(X＝0)＝
显然正确.
【答案】 C
二、填空题
6.(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.
【解析】 设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，
则解得
所以D(ξ)＝＋
×0＋
×1＝
.
【答案】
7.(2016·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.
【解析】 由独立重复试验的方差公式可以得到
D(ξ)＝np(1－p)≤n2＝
，等号在p＝1－p＝
时成立，所以D(ξ)max＝100×
×
＝25，
＝
＝5.
【答案】 5
8.一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________.
【解析】 设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝4X.
由题知X～B(25,0.6)，
所以E(X)＝25×0.6＝15，D(X)＝25×0.6×0.4＝6，
E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，D(Y)＝D(4X)＝42×
D(X)＝16×6＝96，
所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.
【答案】 60,96
三、解答题
9.海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：
根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量.
【解】 ∵E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2).
∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；
D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.
∴D(X1)<D(X2).
由上可知，A面大钟的质量较好.
10.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4).现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.
(1)求X的分布列、期望和方差；
(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值.
【解】 (1)X的分布列为：
∴E(X)＝0×＋1×
＋2×
＋3×
＋4×
＝1.5.
D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×
＋(2－1.5)2×
＋(3－1.5)2×
＋(4－1.5)2×
＝2.75.
(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.
又∵E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
∴或
即为所求.
[能力提升]
1.若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝
，且x1＜x2，又已知E(X)＝
，D(X)＝
，则x1＋x2的值为( )
A. B.
C.3 D.
【解析】 ∵E(X)＝x1＋
x2＝
.
∴x2＝4－2x1，D(X)＝2×
＋
2×
＝
.
∵x1＜x2，∴∴x1＋x2＝3.
【答案】 C
2.设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck·
n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为( )
A.8 B.12
C. D.16
【解析】 由题意可知ξ～B，
∴n＝E(ξ)＝24，∴n＝36.
又D(ξ)＝n××
＝
×36＝8.
【答案】 A
3.变量ξ的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是________.
【解析】 由a，b，c成等差数列可知2b＝a＋c，
又a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝，a＋c＝
.
又E(ξ)＝－a＋c＝，∴a＝
，c＝
，
故分布列为
∴D(ξ)＝2×
＋
2×
＋
2×
＝
.
【答案】
4.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图233所示.
图233
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).
【解】 (1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个.”因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为
P(X＝0)＝C (1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C·0.63＝0.216，
则X的分布列为
因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，
方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
