2.1 随机变量及其概率分布
1．在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数为X.
问题1：X取什么数字？
提示：X＝0，1，2，…，10.
2．掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果．
问题2：这种试验的结果能用数字表示吗？
提示：可以，用数1和0分别表示正面向上和反面向上．
3．一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球．
问题3：若用X表示所含红球个数，则X的取值是什么？
提示：X＝0，1，2，3，4.
1．随机变量的定义
一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．
2．随机变量的表示方法
(1)随机变量通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．
(2)随机变量取的可能值常用小写拉丁字母x，y，z(加上适当下标)等表示.
1．抛掷一颗骰子，用X表示骰子向上一面的点数．
问题1：X的可能取值是什么？
提示：X＝1，2，3，4，5，6.
问题2：X取不同值时，其概率分别是多少？
提示：都等于.
2．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X表示取出的3 只球中的最大号码．
问题3：随机变量的可能取值是什么？
提示：X＝3，4，5.
问题4：试求X取不同值的概率．
提示：P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝；
P(X＝5)＝＝＝.
问题5：试用表格表示X和P的对应关系．
提示：
问题6：试求概率和．
提示：其和等于1.
1．随机变量X的分布列
一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，
i＝1，2，3，…，n，①
则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，也可以用下表表示：
通常将上表称为随机变量X的概率分布表，它和①都叫做随机变量X的概率分布．显然，这里的pi(i＝1，2，…，n)满足条件pi≥0，p1＋p2＋…＋pn＝1．
2．0－1分布(或两点分布)
随机变量X只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为X～0－1分布或X～两点分布，此处“～”表示“服从”．
1．随机变量是将随机试验的结果数量化；
2．随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应是人为的，但又是客观存在的；
3．随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况；
4．由于随机变量的各个可能取值之间彼此互斥，因此，随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
[例1] 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某天山东天成书业信息台接到咨询电话的个数；
(2)新赛季，某运动员在某场比赛中(48分钟)，上场比赛的时间；
(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．
[思路点拨] 要根据随机变量的定义考虑所有情况．
[精解详析] (1)接到咨询电话的个数可能是0，1，2…出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(2)该运动员在某场比赛的上场时间在[0，48]内，是随机的，故是随机变量．
(3)获得的奖次可能是1，2，3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(4)体积为64 cm3的正方体棱长为4 cm为定值，不是随机变量．
[一点通]
(1)判断一个变量是否为随机变量，关键看其试验结果是否可变，是否能用一个变量来表示．
(2)随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．
1．判断下列变量中是否是随机变量．
(1)一只小猫从出生(400 g)到长大(2 000 g)中间某个时刻的体重；
(2)解答高考数学Ⅰ卷所用的时间；
(3)某手机一天内收到短信的次数；
(4)1 000 mL水的质量．
解：(1)体重在[400，2 000]范围内，出现哪一个结果都是随机的，是随机变量．
(2)做Ⅰ卷的时间在(0，120)的范围之内，是随机变量．
(3)短信的次数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果都是随机的，是随机变量．
(4)此时水的质量为定值，不是随机变量．
2．指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某人射击一次命中的环数；
(2)投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值；
(3)某个人的属相．
解：(1)某人射击一次，可能命中的环数是0环、1环、…、10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)一颗骰子投掷两次，所得点数的最小值可以是1，2，3，4，5，6，因此是随机变量．
(3)属相是人出生时便确定的，不是随机变量.
\ [例2] 写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和Y.
(2)设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出Y所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．
[思路点拨]
―→→
[精解详析] (1)Y的可能取值为2，3，4，…，12.若以(i，j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点且骰子乙得j点，则{Y＝2}表示(1，1)；{Y＝3}表示(1，2)，(2，1)；{Y＝4}表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；…；{Y＝12}表示(6，6)．
(2)Y的可能取值为0，1，2，3，4，5.
{Y＝0}表示在遇到第1盏信号灯时首次停下．
{Y＝1}表示在遇到第2盏信号灯时首次停下．
{Y＝2}表示在遇到第3盏信号灯时首次停下．
{Y＝3}表示在遇到第4盏信号灯时首次停下．
{Y＝4}表示在遇到第5盏信号灯时首次停下．
{Y＝5}表示在途中没有停下，直达目的地．
[一点通] 此类问题的解决关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．
3．在8件产品中，有3 件次品，5 件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为X，则“X＝3”表示的试验结果是__________________________．
解析：X＝3表示前2次均是正品，第3次是次品．
答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品
4．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数为X；
(2)从4张已编号(1－4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和为X.
解：(1)X的所有可能的取值为0，1，2，其中，
X＝0表示取出的3支粉笔中有0支白粉笔，3支红粉笔；
X＝1表示取出的3支粉笔中有1支白粉笔，2支红粉笔；
X＝2表示取出的3支粉笔中有2支白粉笔，1支红粉笔；
X＝3表示取出的3支粉笔中有3支白粉笔，0支红粉笔；
(2)X可取3，4，5，6，7.其中，
X＝3表示取出分别标有1，2的两张卡片；
X＝4表示取出分别标有1，3的两张卡片；
X＝5表示取出分别标有1，4或2，3的两张卡片；
X＝6表示取出分别标有2，4的两张卡片；
X＝7表示取出分别标有3，4的两张卡片.
[例3] 袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X为此时已摸球的次数，求随机变量X的概率分布列．
[思路点拨] 解答本题先确定X的所有可能的取值，然后分别求概率，最后列表即可．
[精解详析] 随机变量X可取的值为2，3，4，
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝；
P(X＝4)＝ ＝；
所以随机变量X的概率分布列为：
[一点通] 随机变量的分布列的作用
对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值时的概率，它的分布列正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．
5．已知随机变量X的分布列为
则k的值为________．
解析：由＋＋…＋n个＝1，得k＝1.
答案：1
6．设随机变量X概率分布P＝ak(k＝1，2，3，4，5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P；
(3)求P.
解：由题意知随机变量X的概率分布如下表：
(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.
(2)P＝P＋P＋P
＝＋＋＝，
或P＝1－P＝1－＝.
(3)因为＜X＜，所以X＝，，.
故P＝P＋P＋P＝＋＋＝.
7．一个盒子中装有5个白色玻璃球和6个红色玻璃球，从中摸出两球，记X＝求X的概率分布．
解：因为X服从两点分布，P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝1－＝.
所以X的概率分布为
8. 如图所示，A，B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X，求X的概率分布．
解：由已知X的取值为7，8，9，10，
∵P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝，
P(X＝9)＝＝，P(X＝10)＝＝，
∴X的概率分布为
1．随机变量的三个特征
(1)可用数来表示；
(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；
(3)在试验之前不能确定取值．
2．求随机变量的分布列应注意的几个问题．
(1)随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．
(2)在处理随机变量的分布列时，先根据随机变量的实际意义，利用试验结果找出随机变量的取值，再求相应的概率是常用的方法．
(3)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．
课下能力提升(十)
一、填空题
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中是真命题的有________．(填写序号)
解析：根据随机变量的概念可知，①②③④都正确．
答案：①②③④
2．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝5表示的随机试验结果是________．
解析：点数之和为5，一颗3点，一颗2点，或一颗1点，一颗4点．
答案：一颗3点，一颗2点或一颗1点，一颗4点
3．设离散型随机变量X的概率分布如下：
则p的值为________．
解析：∵p＋＋＋p＝1，∴p＝.
答案：
4．设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝________．
解析：∵随机变量X等可能取1，2，3，…，n，∴取到每个数的概率均为.
∴P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，∴n＝10.
答案：10
5．随机变量X的概率分布规律P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，其中c是常数)，则P的值为______．
解析：由P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝1，
得＋＋＋＝1.
∴c＝1，
∴c＝.
P＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝＋＝＋＝＝.
答案：
二、解答题
6．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的概率分布；
(2)从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示两个球不全是白球，求X的概率分布．
解：(1)由题意知P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
故X的概率分布如下表：
(2)由题意知P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝，故X的概率分布如下表：
7.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的2倍，三级品是二级品的，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X，求X的概率分布及P(X>1)的值．
解：依题意得P(X＝1)＝2P(X＝2)，P(X＝3)＝P(X＝2)．
由于概率分布的总和等于1，故
P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝P(X＝2)＝1.
所以P(X＝2)＝.随机变量X的概率分布如下：
所以P(X>1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝.
8．袋中有3个白球，3个红球和5个黑球．从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个
黑球得0分．求所得分数X的概率分布列．
解：得分X的取值为－3，－2，－1，0，1，2，3.
X＝－3时表示取得3个球均为红球，
∴P(X＝－3)＝＝；
X＝－2时表示取得2个红球和1个黑球，
∴P(X＝－2)＝＝；
X＝－1时表示取得2个红球和1个白球或1个红球和2个黑球，
∴P(X＝－1)＝＝；
X＝0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，
∴P(X＝0)＝＝；
X＝1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球，
∴P(X＝1)＝＝；
X＝2时表示取得2个白球和1个黑球，
∴P(X＝2)＝＝；
X＝3时表示取得3个白球，
∴P(X＝3)＝＝；
∴所求概率分布列为
考前的心理准备，考前可通过心理暗示缓解紧张情绪，进行临场心理调节。紧张时可用“我能行”、“静心”、“认真”等自我暗示来稳定情绪，适当做做深呼吸。放松心情，减少压力，参加成考的学生需要将平时的家庭、学校、社会的压力全丢掉，轻装上阵。Coming back home in the evening, family and I sat and watched TV together, we are returning and eating the fruit while chatting, the whole family is happy and harmonious!考试要淡定。拿到试卷后，不要急于动笔，先浏览试题，粗略知道各题的难易、分值后合理安排答题时间。分值较小的题，如果一时做不出来，可先放一放，抢时间先做会做的题，然后再回头考虑本题。.I live very happily today! In the morning, it is very fine! Then I climb the mountain with family, the air on the mountain is very fresh, the flowers plants and trees on the mountain all seem extremely beautiful.
This kind of charm doesn't need any decoration.It comes out of your heart and reaches directly into others' hearts. 学习态度是指学习者对学习较为持久的肯定或否定的行为倾向或内部反应的准备状态。它通常可以从学生对待学习的注意状况、情绪状况和意志状态等方面加以判定和说明。So they choose to reach a compromise and become mediocre. They become the background colors in others' eyes.学生的学习态度，具体又可包括对待课程学习的态度、对待学习材料的态度以及对待教师、学校的态度等。认识成分是指学生对学习活动或所学课程的一种带有评价意义的认识和理解，它反映着学生对学习的价值的认识，它是学习态度的基础。
They won't achieve anything great to be written down in history, nor can they bring any enjoyment to the people around them. 学习态度调节学习行为，还表现在学生对学习环境的反应上。当学生在学习态度与教学环境上保持一致时，就积极努力地学习。但如果由于某些原因对学习环境（如教师、学校等）产生不良态度时，则会回避学习环境并产生不利于学习的不良行为，如逃学、反抗等。
This kind of charm doesn't need any decoration.It comes out of your heart and reaches directly into others' hearts. 学习态度是指学习者对学习较为持久的肯定或否定的行为倾向或内部反应的准备状态。它通常可以从学生对待学习的注意状况、情绪状况和意志状态等方面加以判定和说明。So they choose to reach a compromise and become mediocre. They become the background colors in others' eyes.学生的学习态度，具体又可包括对待课程学习的态度、对待学习材料的态度以及对待教师、学校的态度等。认识成分是指学生对学习活动或所学课程的一种带有评价意义的认识和理解，它反映着学生对学习的价值的认识，它是学习态度的基础。
They won't achieve anything great to be written down in history, nor can they bring any enjoyment to the people around them. 学习态度调节学习行为，还表现在学生对学习环境的反应上。当学生在学习态度与教学环境上保持一致时，就积极努力地学习。但如果由于某些原因对学习环境（如教师、学校等）产生不良态度时，则会回避学习环境并产生不利于学习的不良行为，如逃学、反抗等。
