三角形里一个点作者：张景中来源：《数学金刊·高考版》2014年第01期
三角形中的一个点，居然导致经济学家致电几何学家，这里面藏有多少不为人知的奥秘？看似平凡的三角形却让众多数学家得出很多不平凡的结论，这里面真的暗藏玄机？一个小小的图形，却是数学家的万花筒，只要稍微一动，就会绽放光彩，如果信手拆开，原来只不过是几片涂有颜色的纸片而已……
一天，几何学家佩多教授接到了某位经济学家打来的电话. 这位经济学家向他请教：如果正三角形内有一个点P，那么，不管P的位置在三角形内如何变动，P到三角形三边距离之和是否总是不变的呢？
佩多教授马上给了让他满意的答复. 如图1，把△ABC分成△PAB，△PBC，△PCA.
上式右端恰好是△ABC的高！
其实，那位经济学家大可不必为此去麻烦佩多教授，一个初中二年级的学生就能给他满意的答复，因为这个题目常常被选为平面几何的习题！不过，它当初还是数学家维维安尼的一条定理呢！
但是，这个小小的习题却启发我们：从平凡的事实出发，有时a能得到并不平凡的结论.
不是吗？把△ABC一分为三，这太平凡了. 但正是这一平凡的事实和另一个平凡的公式“三角形的面积等于底乘高之半”一结合，便得出一个有趣的结论.
就在三角形内随便放一个点，这里就有不少文章可做. 例如，在图2中，当然有S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，
上面这个题目着眼于重心G所分的两线段之比，有的数学家想到了面积比，于是出了一些竞赛题 .
也许你不曾想到，三角形内的这个点也是数学家发现某些有名结论的源泉呢.
17世纪的法国数学家费马提出过这么一个问题：已知平面上有D，E，F 三点，寻求一点P，使（PD+PE+PF）最小.
事实上，在图1中，如果D，E，F恰巧是某个正三角形三边上的点，当PD，PE，PF分别与正三角形三边垂直时，P就是所要求的点.
