证明根号2是无理数的八种方法

怎样证明是一个无理数

是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.

换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明是一个无理数，从而体会这一点.

证法1：尾数证明法.假设是一个有理数，即可以表示为一个分数的形式=.其中(a,b)=1，且a与b都是正整数.则.由于完全平方数的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此的尾数只能是0、2、8中的一个.因为，所以与的尾数都是0，因此的尾数只能是0或5，因此a与b有公因数5，与(a,b)=1矛盾！因此是无理数.

这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数.

证法2：奇偶分析法.假设=.其中(a,b)=1，且a与b都是正整数.则.可知a是偶数，设a=2c,则，，可知b也是偶数，因此a、b都是偶数，这与(a,b)=1矛盾！因此是无理数.

希帕索斯就是用这种方法证明了不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.

证法3：仿上，得到，易见b>1，否则b=1，则=a是一个整数,这是不行的. 改写成.因为b>1，因此b有素因子p，因此p整除或a，总之，p整除a，因此p同时整除a与b，这与(a,b)=1矛盾.

证法4：仿上，得到，等式变形为，因为b>1，因此存在素因子p，p整除a+b或a-b之一，则同时整除a+b与a-b，因此p整除a，因此p是a、b的公因数，与(a,b)=1矛盾.

证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此，，其中与都是素数，与都是正整数，因此=2，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此是无理数.

证法6：假设=，其中右边是最简分数，即在所有等于的分数中，a是最小的正整数分子，在的两边减去ab有，，即，右边的分子2b-a<a，这与a是最小的分子矛盾，因此是无理数.

证法7：连分数法.因为=1，因此，

，将分母中的用代替，有，不断重复这个过程，得=，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是1分母为正整数的有限连分数，因此是无理数.

证法8：构图法。以上诸多证法的关键之处在于，证明没有正整数解。若不然，可以b、a为边构造正方形(b),因为，因此图中空白部分的面积等于中间黑色阴影部分的面积，它们都是正方形，这就找到了一组更小的正整数(a,b)满足，无穷递降下去，这个过程可以无限进行，矛盾！