案例一、“观察物体”的案例片断——观察长方体（二年级上册）
【课堂写真】
最多看到三个面
这节课的观察对象——一个长方体的大纸箱醒目地摆在教室中央，学生们分组坐在教室的四周。
“同学们，老师今天带来了一个大大的长方体。待会儿你们可以上来观察，站在不同的位置观察，看看每个位置能看到几个面？”
老师的话音刚落，二十几个学生都纷纷离座，围着长方体。前面的学生靠长方体太近又挤，挡住了后面学生的视线。有些学生可能什么也没有观察到，就回到自己的座位。
一会儿，老师请学生汇报观察的结果。
第一个学生走到长方体旁边，指着长方体的一个顶点说：“我看到这个尖尖的地方。”“你看到了几个面？”老师问道。
“看到三个面。”学生应答。
“很好。谁和他看到不一样的？”
“我看到两个面。”一个学生上来指了指他看到的两个面。
“和他一样看到长方体两个面的同学，请举起手。”有几个学生举了手。
“还有和他们观察的结果不一样的吗？”
一个男生上来，演示了他所站的位置只能看到一个面。这时，老师又请“只看到一个面”的学生举手。这一次，只有两个学生举手。
“还有没有不一样的观察结果？”
一个女生又上来，她站到不同于刚才三个同学所站的位置，说：“从这里只能看到三个面。”
“你也是看到了三个面。”老师说。
女生又重复一句：“只能看到三个面。”可是老师对她的“只能”没有回应。老师转向全班，问道：
“有没有看到的不是一个面、两个面或三个面的？”
这个问题，没有一个学生应答，于是老师接着总结道：“今天我们得到一个很重要的知识，观察长方体最多只能看到它的三个面。”
正面、上面和侧面
老师打开电子屏幕，边演示“课件”边解说：“我们看到了长方体正对着我们的一个面；伸伸脖子，又看到长方体的上面；再歪一歪头，还能看到长方体的另一个面。”接着，她依次向学生介绍看到的三个面的名称，特别说明长方体正对着我们的面是正面。
知道了长方体的正面、上面和侧面后，让每个学生在教室里找一个物体，来辨认它的正面、上面和侧面，并分别贴上相应的卡片。老师强调：“先找到物体的正面，再确定它相应
的上面和侧面。”
学生找的物体有铅笔盒、课桌、讲台等。有一个女生找自己身体的三个面贴上卡片，老师特别展示了她的“作品”，让小组长给她插上一面小旗。
教室中央的长方体也被贴上了很多卡片。在这个长方体的同一个面上，有贴“正面”的，也有贴“上面”的。在交流时，一个女生指着长方体的上面说，“这是我贴的正面??”老师也给予肯定。
（上述教学片断的视频大约9分。）
【案例讨论】
1．这个教学案例把教材中“观察讲台”的情境图变成观察一个长方体的实践活动，你认为这样处理合适吗？观察讲台与观察长方体有什么区别呢？
2．案例中组织学生观察长方体的活动过程，对学生个体而言，进行了哪些有价值的数学思考或空间想象？这个过程对发展学生个体的空间观念有实效吗？谈谈你的看法或建议？
3．学习二年级上册“观察物体”这一课，需要以学生哪些已有的知识或经验为基础？这个案例把新知与学生已有的经验结合起来了吗？
4．有个女生把“正面”的卡片贴到长方体上面的位置，从而在长方体的同一个面上有的贴“正面”有的贴“上面”，为什么会发生这些情况？发生了这些情况，临场你会怎么处理？
5．根据教材提供的情境图，怎样来设计这节课的数学活动？谈谈你的教学设计和教学策略。
【教学评析或建议】
用教材教，而不是教教材。这是课程改革深入人心的一个重要的观念。但创造性地使用教材，必须要以深入研究教材的编写意图与内涵为前提。
一年级上册学过“位置与顺序”单元，学生已经知道铅笔盒（长方体）有前、后、上、下、左、右等六个面，并经历过用前、后、上、下、左、右等词汇来描述身边物体的相对位置与顺序。一年级下册学过“观察物体”单元，学生也获得了从不同的位置（或方向）去观察同一个物体，所看到物体的形状是不同的体验。这些都是二年级上册再学习“观察物体”的重要的认知基础。
选择观察教室里的讲台，而不选一个抽象的长方体来观察。一个重要原因是学生熟悉的讲台比抽象的长方体更容易区别它的前、后、上、下、左、右等六个面，因此也就容易描
述如下的情境图中老师、笑笑、淘气与讲台的相对位置。
通过学生讨论、交流和老师的参与，帮助所有学生都认识到：笑笑站在面对讲台的左面，与讲台距离大约一步的地方观察讲台；淘气站在讲台前面靠右侧，与讲台距离大约两步的地方观察讲台。
接着，第二个学习任务是：老师、笑笑和淘气分别站在不同的位置观察讲台，他们看到讲台的形状是不同的。请“连一连，下面的图形是谁看到的？
允许一些无法独立做出判
断的学生，模仿书中的情境图，
站在老师、笑笑或淘气所站的
位置看讲台，获得直观的体验
后，再完成“连一连”的学习
任务。
第三个学习任务是：想一想站在不同位置看讲台，最多能看到几个面？想不来的学生，可以再去看一看。这个学习活动可以引伸，让学生讨论：为什么最多只能看到讲台的三个面？所看到的这三个面有什么联系？讨论这些问题有助于发展学生观察能力与合情推理的经验。
如果看到讲台的正面，就不可能同时看到它讲台后面；如果看到讲台的上面，就不可能同时看到讲台的下面；如果看到讲台的右面，就不可能同时看到讲台的左面。当我们所站的位置能看到讲台的三个面时，就不可能同时看到与这三个面相对的另外三个面。所以，不管站在什么位置，最多只能看到讲台的三个面。而且这三个面不是讲台六个面中的任意三个面，而是具有一个公共顶点的三个面。也许二年级学生无法完整地表达上述思想，但让他们经历对这些问题的思考与讨论，最后倾听老师的解说，促进他们进行反思性学习，对丰富他们的空间经验与发展他们的内部语言（思维）是有意义和帮助的。
第四个学习任务是：辨认长方体物体的正面、上面和侧面。这是名称学习，可以用有意义的接受学习的方式进行教学。重要的是要把这些新的名称与学生已有的长方体物体的前面、上面、左面或右面等概念联系起来。
案例二、“分一分与除法”的案例片断——分桃子（二年级上册）
【课堂写真】
认识平均分
“同学们见过拔河比赛吗？”
“见过。”
“我们班也要组织两队进行拔河比赛。愿意参加‘多拉’队的站在这一边（指讲台右边），愿意参加‘蓝猫’队的站在这一边（指讲台左边）。”
统计出‘蓝猫’队有11人，‘多拉’队有13人后，老师让学生回到自己的座位。“就按这样组成两队来比赛，你们满意吗？”老师问。
“不满意。”
“这样的比赛公平吗？”老师又问。
“不公平。”
一个学生站起来说，“他们队（多拉队）要分给我们一人。”
“两队各有12人，就是分得‘同样多’。我们给每队分得同样多的分法，取个好听的名字，叫‘平均分’。”老师边说边板书：“同样多”、“平均分”。
接着，老师先后请两位学生说一说“什么叫平均分”。又通过实物投影仪先后展示如下两种分物操作的结果，由学生来判断它们是否平均分；并把不是平均分的改变成平均分。
图1图2
学生的应答和表现都得到了老师的赞赏：“了不起，一下子你们就知道了什么是‘平均分’。”
动手分一分
“你们想不想动手分一分东西呢？”老师提出第一个分桃子的问题：“8个桃子怎么平均分给猴大哥与猴小弟呢？”每个同学可以利用8张桃子图片，动手分一分。
学生很快就分好了。
四个孩子先后上实物展台边演示边介绍他们不同的分法：
第一个孩子：“先分4个给猴大哥，再分4个给猴小弟。”
第二个孩子：“第一次先分2个给猴大哥，分2个给猴小弟；第二次再分2个给猴大哥，分2个给猴小弟。”
第三个孩子：“我是一个一个地分，猴大哥1个，猴小弟1个，这样分4次把桃子分完，猴哥猴弟都分到4个桃子。”
第四个孩子：“第一次先分3个给猴大哥，分3个给猴小弟；剩下2个再分给猴哥猴弟各1个。”
对上述每一种分法，老师都给予积极的肯定。
这时，一位学生提出自己的分法：“猴大哥让猴小弟，所以猴大哥分3个，猴小弟分5个。”老师也给予他鼓励，但提醒他要“平均分”。
老师又提出第二个分桃子的问题：“8个桃子要平均分给猴爸、猴妈、猴大哥与猴小弟，该怎么分呢？”
交流的时候，有的学生是2个、2个分的，有的是1个、1个分的。但有一个学生注意到了平均分给2人与平均分给4人之间的联系，提出了与众不同的分法：“猴哥分到的4个桃子中拿出2个给猴爸，猴弟也拿出2个给猴妈。”
老师提出第三个分桃子的问题：“8个桃子要平均分给5个小朋友，要怎么分呢？”一个学生说：“先分给每个小朋友1个桃子；剩下的3个桃子，可以切开，每人分给半个桃子；最后把剩下的半个桃子切成5小块，每人再分给1小块。”另一个学生说：“剩下的3个桃子，每个都切成5小块，每个小朋友可以再分到3小块。”
“行。”老师在肯定他们分法的同时，反复强调：“切桃子时，每一块要同样大。”最后，老师问：“每人先分1个，剩下的3个不分了。这样的分法是不是平均分？”“是。”学生应答。
老师总结道：“平均分有时刚好分完，叫没有剩余的平均分；有时有剩余，叫有剩余的平均分。”
（上述教学片断的视频大约19分。）
【案例讨论】
1．这个案例的设计意图很明显，把学生对“平均分”的认知与学生“分一分”的实际操作分开，从而把“平均分”这个知识点突出出来，体现出“先知识，后应用”的教学思路。你认为，这样的教学设计与新世纪（版）“分桃子”这一节教材的编写特点与意图一致吗？
2．案例中，先后三次分桃子的活动，桃子的总数保持不变（8个），只改变平均分成的份数。也许这种问题变式的设计能节省呈现问题情境所花费的时间，但却削弱了后续问题情境对学生思维的挑战性。平均分的挑战性恰恰是在分的数目的不断增加上（教材中的问题
教材中“小狗分骨头”的问题情境，应该采取哪些与“小猫分鱼”不同的教学策略，发展学生解决问题的经验呢？
让学生独立解决问题：把图中骨头
平均分给3只小狗，每只小狗分几根？
①用小棒代替骨头平均分成3堆。
每个学生必须学会小数目平均分的实际
操作。
②尝试怎样利用图形，用画圈或连线的方法，解决问题。
③讨论下面两种画法，分别是怎样图示平均分的结果的？
根据骨头被排成2行9列的特征，于是把每3列的骨头圈成一圈，全部骨头就被圈成3圈。所以每只小狗都分到一个圈里的6根骨头（左上图所示）。
有3只小狗平均分骨头，因此把每3根骨头圈成一圈，这样可圈成6圈。每只小狗在每一圈里都分到1根骨头，所以每只小狗都分到6根骨头（右上图所示）。
从“借小棒分”到“借图形分”，不仅仅是解决问题的策略不同，更为重要的目的是发展解决问题的思维水平，促进学生的从操作思维向表象思维发展。表象思维是进一步发展分析思维（抽象思维）的必要的阶梯。事实上，上述两图的内在联系就是一句乘法口诀；“三六十八”，其中已经孕伏了可以利用乘法口诀求商的算法原理。
教材是把“平均分”作为生活概念来处理，不作为科学概念来处理。生活概念是由感受性的意义组成的，本节学生通过解决问题的活动，感受到“一样多”、“同样多”、“平均分”是一回事，是同一个意思不同的表述，这就足够了。教学的重点是平均分的实际操作的过程，获得平均分的实际经验，以及这个过程与实际经验将如何被逐步抽象化、数学化的。让学生充分经历这个过程，才能深刻体会除法的意义，理解除法的价值。也可以说，教材编写的意图是通过经历“分一分”活动的数学化的过程去建构和体验除法的意义，而不是用定义等逻辑的方法去界定什么是除法的。这一点，新旧教材有显著区别。
案例三、“统计与猜测”的案例片断——摸球游戏（小学二年级上册）
【课堂写真】
第一次摸球游戏
“今天，我们要一起来学习可能性的知识。”老师在黑板上板书“可能性”后，拿起一个圆柱形的盒子，说道：“每个小组的桌面上都有一个这样的盒子，盒子外面写着什么呀？”
“三个白球，三个黄球。”学生齐声答道。
“是的。每个盒子里面都放着三个白球和三个黄球。”老师继续说道，“如何摸球呢？看，老师把手伸进盒子，搅一搅，摸到了一个球。你们猜猜是什么颜色的球？”
“白球。”“黄球。”学生猜着。老师拿出一看，“是黄球。”
“哇！”猜中的学生兴高采烈。
“第一次摸到黄球，就在表格的‘黄球’栏目上打1个‘√’。”老师一边展示表格一边强调对摸球结果进行统计的要求。
老师把摸出的黄球放回盒后，又做了一次摸球示范，摸出的是一个白球，她强调；“这一次要在表格的‘白球’栏目上打1个‘√’。每人都有两次摸球的机会，组长要做好每一次摸球的记录。”
学生分组玩起了摸球游戏，我摸你猜，你摸我猜，玩得很高兴，很开心。
“你们看，从摸球的结果能看到什么呢？”老师在启发学生发言。
“第2小组与第3小组摸到黄球与白球的次数，刚好相反。”
“每组都摸了8次。”
显然，学生没有说出教师希望的结论。老师进一步启发道：“是不是摸到的都是白球？是不是一定摸到黄球？”
“不是。”
“那该怎么说摸球的结果呢？”
一个学生答道：“可能摸到白球，也可能摸到黄球。”
“说得好。”老师表扬了她，接着又问道：“可能摸到黑球吗？”
“不可能。因为盒子外面没有写有黑球。”一个女生说道。
“那可能摸到红球吗？”老师追问。
“不可能。因为盒子里也没有红球。”
这时，一个男生提出质疑：“如果有一个老板把盒子外面的字写错了，那怎么办？”“你的意思是不能相信盒子外面写的字，要查看盒子里放的是什么颜色的球，是吗？”老师帮助学生把意思表达清楚。
这时，一个女生站起来说道：“刚才我看了盒子里面的球，真的没有红球，所以不可能摸到红球。”
老师在盒子里放入一个绿球，问道：“现在可能摸到绿球吗？”
“可能。”学生异口同声。
“现在摸球的可能性有几种？”老师追问。
“有三种。可能是白球，可能是黄球，也可能是绿球。”学生深信不疑。
“摸到不同颜色的球的可能性有几种，与盒子时放几种颜色的球有关；放入的球的颜色越多，摸到不同颜色的球的可能性也越多。”老师对这次摸球游戏做了总结。
第二次摸球游戏
每小组都换了一个继续做摸球游戏的盒子。盒子外面没有写盒子里放着什么颜色的球。这一次是比赛。每组摸十次，组员轮流摸，摸球时眼睛不能看盒子；小组长只要记录摸到黄球的次数。最后，哪个组摸到黄球的次数最多，哪组就获胜。
第三和第四两小组摸了几次都没摸到黄球，学生开始怀疑盒子里可能没有放黄球，想揭开看看，但立即被老师阻止了。
各组汇报摸球结果：第一小组摸到6个黄球，第二小组摸到3个黄球，第三和第四小组都没摸到黄球，第五和第六小组摸球十次全是黄球。
老师宣布：这次比赛第五和第六两个小组同时获胜。可是立即遭到反对：“我们盒子里全是白球，当然摸不到黄球了。”
“是不是这样，现在大家可以揭开盒子看一看。”
的确，各组盒子里的球不一样：第一和第二小组盒子里有黄球也有白球，第三和第四小组全是白球，第五和第六小组全是黄球。
“有的小组全部是黄球，所以摸到的都是黄球，当然我们会输了。”第四小组的一位学生说。
“也就是说这次比赛输或赢不取决于同学们摸，而是取决于盒子里球的颜色，是吧。”老师说，“那么各组能不能根据摸球的结果和看到盒子里白球、黄球的个数，说一说你们的想法。”
第二小组代表说：“我们盒子里黄球个数比白球少，所以摸到黄球的可能性小。”“你们组可能摸到黄球吗？”老师追问。
“可能。”
第六小组的一位女生：“我们盒子里有10个黄球，我们也摸到10次黄球。”
“你们可能摸到白球吗？”
“不可能。”
“你们可能摸到黄球吗？”
“一定可能。”
“是一定？还是可能？”老师问。
“一定可能。”
“一定的情况下还要不要说可能呢？”老师又问。有几个学生摇头。但一个学生站起来，还是说“一定可能。”教室泛起一阵笑声。
“谁来帮他。”
第一个说“一定可能”的学生这回明白了，老师让他起来纠正，这一次他说对了：“一定摸到黄球。”
老师转向第三和第四小组，问道：“没摸到黄球的小组，该怎么说？”
“我们盒子里都是白球，所以不可能摸到黄球。”
“说得很好。那你们一定摸到白球吗？”
“一定。”
（上述教学片断的视频大约18分。）
【案例讨论】
1．这是小学生第一次感受不确定现象的教学案例。这个案例，学生是否感受到在摸球游戏中有些摸球的结果可能发生，有些不可能发生，有些则一定发生？案例中两次摸球游戏的目的有何不同，达到各自的目的了吗？
2．游戏是群体合作的活动。为了提高游戏的有序性和有效性，案例中两个摸球游戏的教学设计，你认为有哪些值得借鉴的地方，或者还有待改进的地方？你会如何设计摸球游戏？
3．第二次摸球，盒子里放了10个球，但不知道是什么颜色的球。如果摸了10次，每次都摸出1个黄球（摸出的球要重新放入盒子，才能再摸下一次），那么盒中的球一定都是黄球呢？还是可能都是黄球？让学生讨论这个问题，你认为有必要吗？
4．如果在盒子里放10个球，并且把它们从1到10编了号。摸10次，每次摸出1个球（摸出的球要重新放入盒子，才能再摸下一次），那么下列哪些结果一定发生，哪些可能发生，哪些不可能发生？
⑴每一个号码的球都被摸到一次。
⑵每一次都摸到5号球。
⑶摸到的10个球中，至少有1个是5号球。
⑷5次摸到单号球，另外5次摸到双号球。
⑸摸到的10个球中，有1个是没编号的。
⑹摸到的10个球，它们的号码都不小于1，而且不大10。
把发生可能性很小的事情，认为是不可能发生的事情；把发生可能性很大的事情，认为是一定会发生的事情。这是中小学生对可能性认识上普遍存在的误区。讨论上述问题，对克服学生这个认识误区有帮助吗？如果你认为这些问题对二年级小学生来说要求太高了，那么，这样的问题放在哪个年级来讨论比较合适？
【教学评析或教学建议】
案例中“第一次摸球游戏”就是
根据教材提供的情境图设计的。这个
案例的教学设计，有以下几个个值得
借鉴的特点：
小组合作进行游戏活动，人
人都是游戏的参与者、合作者和体验
者。②游戏规则与要求，以老师直观
形象的示范方式来呈现。③把游戏与
简单的统计活动有机结合起来。④游
戏成为课程资源（摸球结果的统计
表）动态生成的途径。⑤重视学生对摸球结果的语言描述，在生生互动与师生互动的过程中，实现教学目标。
案例中“第二个摸球游戏”
是根据教材“连一连”的素材设
计的。而且游戏以比赛的形式展
开，增加的趣味与悬念；同时也
创造了学生之间、师生之间合
作、互动的机会。
有的小组摸的全是黄球，有
的摸到的有黄有白，有的摸到的
一个黄球也没有，统统是白球。
为什么摸到黄球的个数如此悬
殊？学生们很自然要追究盒子里究竟是什么颜色的球。这样的情景创设，充分调动了学生主动探究的积极性。盒子揭开一看，他们就发现了这个游戏是不公平的，比赛的胜负是被盒子里放入的不同颜色的球所决定。
进而，老师要求各组针对各组摸球的结果与盒中球的颜色，发表看法。我们看到，如果没有老师的问题启发，学生很难能够自发地用“可能摸到黄球”、“不可能摸到黄球”或“一定摸到黄球”等概括的语言来描述摸球结果。所以，这个教学环节，可以回到教材，让每一个学生都独立去“连一连”，让学习又回到个体，促进个体对“可能”、“不可能”或“一定”进行反思和体验。
这个案例启发我们，教材提供的情境是需要老师进行教学论加工的。把教材中静态的情境图，设计成创造性、操作性的活动的学习课题，是需要老师付出创造性劳动的。
案例四：《分数的初步认识》教学片断案例
【课堂写真】
一、创设情境，导入新课
1、谈话引入
（1）师：同学们，知道今天是什么节日吗？（中秋节）同学们喜欢吃月饼吗？（喜欢）那如果老师把4个月饼平均分给两个小朋友，每个小朋友能吃到几个月饼？（每人两个）
（2）师：为什么这么分的呢？（他们每人2个）也就是他们分得一样多。像这样每份分得一样多的叫作：板书（平均分）把4个月饼平均分成2份，每份是2个。（边说边媒体出示分饼过程）
（3）师：如果把2个月饼，平均两个小朋友，每人分到几个？（1个）
师：嗯，每人1个。（边说边媒体出示分饼过程）
2、引出1/2及含义
（1）师：如果把一个月饼平均分给两个小朋友，那每个小朋友得到多少呢？（半个）
看老师把这个饼平均分了（边说边媒体出示分饼过程）。
这两份的大小应该是怎样的？（一样大）
师：这半个你可以怎么表示？（学生随便说）我们可以用1/2来表示小朋友们注意看，（教师板书）中间短短的横线表示我们把一个月饼平均分，横线下面的2表示把月饼平均分成2份，横线上面的1表示其中的1份，这个数叫分数，读作二分之一，我们一起读读这个分数。
师：现在抬起手来我们一起来写写。先写中间的横线，再写横线下面的2，然后写横线上面的1。
3、理解含义
（1）师：谁来说说，2表示什么？（表示把一个月饼平均分成两份）
1表示什么？（表示其中的一份）
那1/2表示什么？（引导学生说完整，最后概括出并板书：把一个月饼平均分成两份，每份是这个月饼的1/2。）叫3个同学说，再同桌互说。
（2）师：（指着媒体说）这一块是整个月饼的1/2，(指另一部分)那这一块呢?（也是1/2）
4．动手操作深化认识
（1）让我们一起动手来分分月饼的1/2。（生动手，师巡视指导。）
取个别学生的1/2进行展示
师：这1/2是怎么得来的？（生答）
（2）师：现在老师要把一个月饼平均分给4个小朋友，每人得多少？（1/4；那我们就把手中的圆纸片当成是月饼，把它平均分成4人份，看看1/4有多大）（我们就把手中的圆纸片当做月饼，把它平均分成4份，取其中的一份看看有多大）（口头要求：折出1/4，并用彩笔涂出1/4）
反馈：请同学说出是怎么得到1/4的。教师在黑板上展示学生的各种不同折法不同形状的纸，（展示正确的示范要求学生能说出：我把一个圆平均分成4份，一份就是这个圆的1/4。展示错误的示范，要求下面的同学能找出其错误的地方，比如没有平均分等）
【教学评析或教学建议】：
这是《分数的初步认识》的教学片断，因执教那天正好是中秋节的特殊怀，教师首先选择用最接近学生生活的月饼着手，再用最生活化地分月饼开始，一步步向分数挺进。当一个月饼分给两个同学时，学生们自然而然想到“半个”，那么教师就要从这“半个”月饼入手引导学生认识分数并使他们感受到分数的意义。当学生理解“半个”月饼就是1/2个月饼后，教师就从实物转到圆纸片上，方便学生动手实践。而学生的动手实践也正是使学生能更深入理解1/2的含义。真正理解1/2后，就让学生自己动手寻找1/4，这时就能体现学生对于1/2的理解程度，也使学生巩固分数的含义。这样，学生从生活实际出发，在生活中学习分数，在动手中理解分数，由易到难，使学生的思维转化比较自然，这样学生也学得比较轻松些。
案例五：《认识分数》教学片断——《分一分》（三年级下册）
【教学背景】：
《认识分数》是北师大版教材三年级下册第五单元的教学内容。教材简单而寓意精深，立足生活而视野开阔，它从学生的生活实例入手，渐变到理性的思考，符合学生身心发展规律，便于知识积累和能力提高。
教学案例：
片断一：分苹果，由“半个”引入分数。
学生独学完成以下2项任务。
1．分一分：
2个苹果，平均分给2人，每人能分个。
1个苹果，平均分给2人，每人能分个。
2．想一想：“半个”或“一半”可怎么表示？用自己喜欢的方式表示出来。
交流汇报：
师:怎样分公平?
生:平均分。
师：“半个”怎么表示比较方便？
生：用1/2来表示比较方便。
师：1/2叫什么？
生：叫分数。
师：是的，它叫分数。今天我们就来认识又一个新朋友——分数。
【片断分析】：学生由整数认识过渡到分数的认识，是数概念的一次拓展。
通过分苹果的活动制造矛盾冲突，让学生体验“半个”无法用原来所认识的整数表示，从而产生一种心里渴求：用什么来描述“半个”呢？由此激发学生的创造性思维，同时让学生亲身体会分数产生的必要性。
片断二：动手操作，认识1/2
背景：课前以小组为单位，1～6号各准备一个平面图形(1～6号分别为：长方形、平行四边形、圆、等腰三角形、等腰梯形、空心箭头)。
学生独学下列4项任务。
1．折一折、涂一涂：
折出自己手中图形的1/2，并涂上颜色。
2．说一说：你涂出的1/2所表示的意义。
3．想一想：没涂色的部分是不是该图形的1/2？
4．生活中哪些事物还可以用1/2表示。
小组内交流独学的收获和疑问。
全班交流展示：
生1：我折的是长方形，把它横着对折，竖着对折，其中一部分就是它的1/2，这样我就有2种折法。
生：长方形还可以对角折，这样就有4种折法。
师：可是这样折两部分不能完全重合呀？
生：我认为并不需要完全重合，只要是把它平均分成了2份就行，其中的1份就是它的1/2。
生2：我折的是平行四边形，我是这样折的(演示两种不同的折法)，这一半就是它的1/2。
生3：我折的是圆，对折就行，其中的一部分就是它的1/2。而且我们小组发现：由于圆有无数条对称轴，所以有无数种折法，无论沿哪一条对称轴对折，都可以得到一个1/2。
……
【片断分析】：为学生提供直观形象的感性材料，让他们亲自动手折一折、涂一涂、说一说、想一想，为他们开辟探索实践的天地。他们用自己的双手去操作，用自己的眼睛去观察，用自己的耳朵去倾听，用自己的头脑去思考，亲自经历了分数概念的感知、理解、概括的过程。他们在体验与探究的学习活动中感受到了学习数学的乐趣，同时学生的抽象概括能力、逻辑思维能力和口头表达能力都得到了培养。学生通过动手操作、小组交流及教师的合理引导、点拨，完全把知识内化了，知道分数要建立在平均分的基础上，在学习过程中，兴趣盎然，在老师不经意的追问下，学生建立了数感，理解了“分数的意义”，也获得了成功的体验。
案例六：《加倍与一半》案例片断及其分析
一．背景综述：
21世纪教育的四大支柱是让学生学会学习、学会生存、学会做事、学会合作。从小培养学生的学习能力和学习方法，让学生学会学习是基础教育的重要内容。随着二期课改的不断深入，数学教学也不单单是原来做数学。现今的数学不仅注重学生学习经验的建构和积累，注重学生学习过程的体验，同时也注重学生多方面的学习能力，如“听和说”，再也不是单单在语文课上的基本要求了，它们作为一种学习能力和方法，渗透到了各个学科，尤其是在低年级的数学教学中。
根据低年级儿童现有的基本知识和技能，在数学学习中写的较多时还是限于数、算式或是简单的符号，很多知识点只能通过“听和说”来完成教学，因此，学生听、说的能力在低年级数学学习中就显得尤为重要。基于这一点，在二期课改“让学生学会学习”的理念指导下，我们从学生“听和说”的能力培养上入手，对如何培养学生的学习能力，让学生学会学习，为继续学习和终身学习服务这一项目展开了教学研究活动，并围绕这一主题，进行了实践和反思。
结合学校近期举办的新区“聚焦课堂”教学展示活动，我们选了一年级第一学期的“加倍与一半”这一教学内容开展研究，经历了多次的实践、反思和改进，收获颇多。
二．实践反思
“加倍与一半”这一内容的主要教学目标就是让学生通过系列的情境和操作，理解加倍与一半的含义，并会算出一个数的加倍或一半，从中培养学生“听说”等多方面的能力。
第一次教学实践：
师：小朋友，我们已经知道了加倍的意思，也会算出一个数的加倍是几，下面，就让我们用学到的本领来做一个小练习好吗？
生：好。
出示表格：
师：观察表格，那一行填得最完整？
生：（齐答）第一行最完整。
师：第一行的每一格中都有些什么？
生：第一格是一个２，第二格有２个圆，第三格是２个圆的加倍，第四格是２的加倍算式，第五格是２的加倍的得数。
师：对，这张表格中还有很多格空缺，我们一起来把表格填完整好吗？
生：好。
2分钟后汇报。
生1：第二行的第一格填3。
师：为什么这里填3？
生1：因为最后一个是6，3的加倍是6。第二格画三个圆，第三格上面画3个圆，下面画3个圆，第四格写算式3＋3。
师：所得真对。请小朋友继续来说一说。
……
师：小朋友真棒，我们把表格填完整了。
……
反思：
这一环节的实践中，学生在基本理解了加倍的含义并会计算出一个数的加倍之后，通过这样一个小练习，达到巩固的作用。通过对第一行的观察和基本表述，大多数学生基本正确地完成了表格的填写，并能用自己的语言方式简单的表述，基本达到了练习与巩固的教学效果。
但同时，我们也发现：在表格反馈时，由于学生的年龄特点，语言表达繁冗，不精炼。每个学生在语言表述是都根据自己的想法说，以至于在反馈时，未能吸引其他小朋友的注意力，没有真正体现出学生之间、师生之间的交流与协作。因此，在反馈到后面几行时，学生出现注意力不集中，自顾自在看表格，未能养成认真听他人说话的习惯。正对这一现象，我们针对反馈的方式与学生学习能力的培养上考虑，进行了第二次的实践。
第二次教学实践：
师：小朋友，我们已经认识了加倍这个好朋友，也会算出一个数的加倍是几，下面让我们用学到的本领来做一个小练习好吗？
生齐答：好。
（出示表格）
师：观察表格，第一行最完整，第一行的每一格中都有些什么？小组里一起说一说。
汇报。
生：第一格是一个2，第二格有2个圆，第三格是2个圆的加倍，第四格是2的加倍算式，第五格是2的加倍的得数。
师：说得对，老师把你的话用一句简单的句子来概括。出示句式：
一份是_2___，_2___的加倍就是_2+2____等于_4____。跟老师一起来说一说。
生齐说一遍。
师：接下来，我们一起先把表格填完整，然后用这样的句式把你填的内容跟小组里的同学一起说一说。
2分钟后汇报。
生1：我来说第二行，一份是3，3的加倍就是3+3等于6。（教师根据学生所说逐一用媒体显示答案）
师：为什么这里的一份是3？
生1：因为最后一个是6，3的加倍才是6。
师：说得真好。谁来继续说一说，你填了些什么？
……
生按照句式逐一汇报结果。
师：小朋友真棒，都能用一句话来说出你的答案，真了不起。
生：老师，我发现最后一列的数都是双数。
师：观察得真仔细，我们发现，一个数的加倍原来都是双数呀。
……
反思：
在第二次的实践中，针对第一次实践中学生语言表达不规范，不简练的情况，我先让学生观察表格第一行的内容，并在小组里互相说一说，使学生能在集体交流中学会“听与说”，学会自主学习，在学生发言给予肯定后，我运用“一份是___，___的加倍就是_________等于____”的句式概括学生的冗长的回答，并让学生仔细听后跟我读一读。在之后的汇报中，虽然第一个学生在使用句式汇报时不太熟练，但之后的几个学生都能够较熟练和规范地运用句式来说出自己的填表结果和想法，其他学生也都跟着用句式说一说，学习氛围良好，基本解决了第一次教学实践的不足，使学生在做数学题的同时，学会听，学会说，学会交流，学会学习。当然，我们也发现，学生在套用一定说话的同时，语言的自由度和创造力受到了一定的限制，因此，语言的规范性和创造性之间的统一也是我们今后继续努力的方向。
三．分析与小结
通过实践与研究，我们发现，培养学生的听说能力，教师不仅要有较好的语言基本功，也要注重平时积累，使用学生喜欢和容易接受的儿童化语言，规范地表达数学问题和自己的想法，真正学会在听与说的能力培养中学会学习。
1．了解学生的语言知识结构。让学生学会听和说，首先要了解学生的语言基本能力，如低年级学生的语言基本能力，识字有限，教师在使用语言时应注意语言的儿童化和简洁，使学生能在听了之后跟着说；而高年级学生的语言知识能力稍强，教师则应更多地注重语言的规范性和严谨性。
2．具备良好的语言基本功。要让学生有好的听说习惯和能力，教师本身就应具备良好的语言基本功，注重平时语言的积累，善于用简单易懂而规范的语言来表达数学问题，在平时的教学中，注重自身数学语言的表达，从而吸引学习的学习注意力。
3．培养学生良好的听说习惯。教师在运用规范严谨又符合学生年龄特征的语言表述问题的同时，学生能逐渐养成认真听的习惯，同时潜移默化地，学生也会像教师一样尝试用精简的、易于自己同伴理解的语言来表达自己的想法，给与他们适时地鼓励，培养他们良好的“听说”习惯。
总之，我们应根据学生的知识结构和年龄特征，引领学生在做数学的同时，真正学会“听与说”，学会学习，在数学学习中培养多方面的能力，真正体现素质教育的核心。
案例七：《找规律》教学案例片断及反思
【课堂写真】
片段1
创设情境，感知“间隔排列”
师：小朋友，你们喜欢玩游戏吗？
生：喜欢。
师：那好，下面我们就先来玩个游戏，游戏的名字叫——“猜猜看”
师（点击课件：一面黄旗，一面红旗……有规律的排列，最后一面是要学生猜的）：猜一猜，最后一面是什么颜色的？
生：是黄色的。
师：哇，你们都是这样想的吗？（点击课件，出现结果。）猜得真准，谁来说说你是怎么想的呢？
生1：我看老师是一面黄色、一面红色摆的。
生2：我通过观察发现小旗是按照黄色、红色这样的顺序一直排下去的。所以，红色的下一个就应该是红色的了。
师（点击课件：一只苹果，一串葡萄，有规律的排列，中间有一个是要学生猜的）：你再来猜一猜，中间的那个应该是什么？
师：小朋友们观察真仔细。像这样的排列，我们叫间隔排列。（板书：间隔排列）
【反思】关注学生的生活经验和已有的知识体系是《标准》的重要理念之一。课的开始就设计选取富有儿童情趣的活动内容，激发学生的学习兴趣，获得愉悦的数学学习体验，同时也促进学生主动构建有关数学知识（间隔排列），为学生下面在观察课本中的主题图找到这种间隔排列，以及发现间隔排列的事物在个数上的规律奠定基础。
但是，现在想来，也许用一个就可以了吧？毕竟是小学四年级的学生了，对这样的间隔排列还是很了解的。
片段2
情景引入，探索规律
师（多媒体呈现主题图）：小朋友，在这幅图上你看到了什么？
生：兔子、蘑菇、大树、……
（在试上的时候我是没有安排这一个环节的，因为我觉得这样会打乱学生的思维，刚刚已经认识了“间隔排列”，如果直接问学生，“在这幅图上你有没有发现和刚才我们看到的这种‘间隔排列’呢？”可能效果会好一点，学生的思维会连贯一些。但是有一个问题出现了：学生对图上的事物的称呼是五花八门。这又给下面的教学带来了麻烦，所以，为了统一名称，我在正式上课是又加了这个环节。）
师：在这幅图中你有没有发现和我们刚才看到的这种“间隔排列”呢？（给学生充分观察的时间）
师：把你的发现和同桌的小朋友交流一下。
师：你发现了什么？
生：我发现兔子和蘑菇是间隔排列的。（师随即板书：兔子蘑菇）
师：你能不能数一数，兔子有几只，蘑菇有几个？（根据学生的回答教师在兔子、蘑菇的后面板书：87）
师：排在第一的是谁？最后是谁？那蘑菇是排在什么地方的呢？（根据学生的回答在兔子的上面写了“中间物体”，在蘑菇的上面写了“两端物体”。）
师：你还发现了什么？
（这时，出现了一个小插曲：有的学生受导入中游戏的影响，对兔子耳朵的颜色较起了真。还有的学生对兔子的耳朵的方向和穿的衣服的款式动起了脑筋。这显然不是我想要的结果。我很匆忙的说：“哦，这些不是我们今天要讨论的。”就这样搪塞了过去。事后我又看了看我了我的课件，明白这个课件的确有问题，当然，我在这节课中的教学机智还是很不成熟的。最起码我可以让学生再仔细看看，让学生在错误中生成新的教学资源啊！可惜我没有把握住。）
（还有两个即手帕和夹子，篱笆和木桩方法上是差不多的，主要是让更多的学生参与发现，参与交流，让更多的学生能体验到发现的乐趣。）
师：请小朋友横着观察一下每一组中两种物体的数量，它们有没有什么共同的地方？把你的发现和小组里的小朋友交流一下。注意，要让他们能理解你的意思。
师：你发现了什么？
生：我发现兔子比蘑菇多1，夹子比手帕多1，……
师：你能结合它们的位置说一说吗？
生：排在两端的兔子比排在中间的蘑菇多一个。
……
【反思】这样设计的意图是：1、让学生自己观察图，自己发现其中的规律，比老师一条一条地呈现，更赋予思维的空间和思维的广度。2、让学生通过我的引导和观察感受到：兔子（夹子、木桩）是排在两端的，而蘑菇（手帕、）是排在中间的。因为这节课的最终目的就是要让学生明白：间隔排列的两种物体，如果两端物体是一样的，那么排在两端的物体的个数要比排在中间物体的个数多一个。所以，我觉得要让学生明白个数的规律，首先要让学生感知排列上的特点。只有具备这种特点的排列，它才具备这种数量上的规律。在教学过程中我一直就强调了两端物体是一样的。
现在我也有这样的思考：1、这样的强调是否有用，我是不是干脆搞一个反例，如再出示一个不是两端一样的例子：兔子、蘑菇、兔子、蘑菇。让学生从直观上再次明白：原来不是所以的间隔排列都有数量上的规律，还得有个前提，那就是得两端的物体必须是一样的。2、教师通过有序的板书，一下就将无序的数据整理清楚，对学生思维的发展是不是又定了方向？
案例八：“圆锥的体积”教学案例片断与反思
与其它版本的教材一样，苏教版义务教育小学数学第十二册教材中同样安排了有关“圆锥的体积”的教学内容。虽然是非课改年级，但我们一直努力尝试着用课改理念来指导教学。本课的教学重点是“发现关系，实现转化，推导公式”，经过思考，我们设想：让学生通过操作实验，探究等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系，从而推导出圆锥体积的计算公式。下面就是教学方案实施过程中的一个片段。
【案例片断】
师：圆锥的体积可能与什么有关？
生1：与它的底面积有关。
生2：与它的高有关。
(出示一组图片，观察，验证猜想)
师（小结）：圆锥的体积与底面积和高有关。
(出示一组等底等高的圆柱和圆锥)
师：观察一下，它们有怎样的关系？
生：它们的底面积相等，高也相等。
(师用实物验证，演示：等底等高)
师：猜一猜，这里的圆锥体积和圆柱的体积有怎样的关系？
生：圆锥的体积是圆柱的体积的。
师：还有其它想法吗？
生：可能是。
……
师：请各小组利用等底等高的一组圆柱和圆锥，做实验来验证你们的猜想。
生动手实验，填写表格：
圆柱与圆锥的底、高的关系 几次把空圆柱倒满
底 高
实验
实验结论
学生汇报操作过程，说实验中的发现：圆锥的体积是它等底等高的圆柱体积的。
师：(出示一组不等底等高的圆柱、圆锥)这里的圆锥体积还是圆柱体积的吗？
生：好像不是。
师：请你们利用不等底等高的圆柱和圆锥，再做一次实验。
生再次做实验，完成表格。
汇报实验结果，强化V=sh这一公式中的“等底等高”条件。
【教后反思】
原来设想实验操作能调动学生的多种感官参与学习活动，促进学生多种思维能力的协调发展，而且，实验操作符合学生“爱动”的特点，比单纯看书、听讲更有利于知识的内化，学生兴趣一定很浓厚。谁知，事与愿违，在这节课上，学生的兴趣状态一直处于下降趋势。
经过反思，我们意识到了本节课的问题所在：虽然学生一直处于活动之中，但这种实验操作是在教师的控制下进行的，学生只是被动地运用手中的学具，去验证对等底等高的圆锥、圆锥体积之间关系的猜想。至于研究方法的确定、实验材料的选择等都是由教师替学生完成的。也就是说，教师为了得出圆锥体积公式，让学生机械地从事着对课本内容的模拟，而且，教师关注更多的是操作的结果，为了完成教学任务而压缩了操作的时间和空间。在这种实验操作中，学生也许理解了数学知识，但却没有获得思维能力、情感态度等方面的进步与发展。
于是我们想到：为学生创设问题情境，使他们产生探究的欲望，给他们提供多维互动的交流的空间，让他们真正成为探究活动的主人。
经过讨论，我们调整了教学活动方案，下面就是在另一个班进行了第二次教学的片段。
【案例片断】
揭示学习课题后，让学生自由地说一说用什么方法能求出圆锥的体积。学生想出的方法有：变形成圆柱、长方体，放入水中求上涨的水的体积，把空圆锥装满水倒入量杯或量筒，等等。
师：这些方法都很好，都是把圆锥转化成我们学过的立体图形。今天，我们共同探究一种更为一般的计算圆锥体积的方法。你愿意选择哪一种立体图形来作为研究的工具？
生：圆柱体。
师：为什么呢？
生：因为它和圆锥的共同点很多，都有一个曲面，而且底面都是圆形。
生：我猜想它们的体积之间有一定的联系。
师：请各小组从实验器材（两只圆柱和两只圆锥容器）中选一只圆柱和圆锥，做实验来验证你们的猜想。
生动手实验，记录下各自的发现。
汇报操作过程，说实验中的发现。
生1：我们用空圆柱装满米后倒入空圆锥，三次倒完，圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的。
生2：我们是用空圆锥装满米后倒入空圆柱，三次正好倒满，说明圆锥的体积是圆柱的3倍。
生3：我们的发现和第二组一样。但是，我们只倒了一次，量了一下，发现米的高度正好占圆柱高的，也可以说明圆锥的体积是圆柱的。
生4：我们不同意他们的观点。我们发现，圆锥的体积是圆柱的。
生5：我们这一组实验结果：圆锥的体积是圆柱的。
生6：……
师根据这些实验组的汇报，把结论分成两大类：1、圆锥的体积是圆柱的；2、圆锥体积不是圆柱的。
师：请小组相互间交流一下，找一找结论不一样的原因。
持有两种不同观点的实验小组互换实验器材，进行实验操作。
生再次汇报交流，经过辨析，得出结论：在等底等高的情况下，圆锥的体积是圆柱的。如果不等底不等高，圆锥的体积有可能不是圆柱的。
概括公式V锥=V柱=sh
(等底等高)
【教后反思】
以上的教学过程，学生表现得积极主动，课堂上时时闪烁着创新思维的火花。和第一次活动相比，虽是同样经历了“猜想------验证------解释”的知识建构过程，但是可以看出，学生的思维是发散的，实验方法是多样的，材料选择是自由的，所以操作探究是主动的，合作交流是投入的。正如《数学课程标准》所指出的：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。对此，我们绝不能简单地从字面上认为，只要有实验操作就能实现属于学生自己的自主探究。也就是说，自主探索的过程仅有实验操作是不够的。
【感悟与探讨】
结合上面两个教学案例的对比分析，我们认为：
1、自主探索应该着眼于让学生思考和寻找探索主题与自己已有知识体验之间的关联，这样探索才有比较清晰的探索思路，否则，就会出现“脚踩西瓜皮，滑到哪里算哪里。”的糟糕局面。这种思考和寻找显然是需要一个过程，我们的一些教师正是为了让探索进入顺畅的“绿色通道”，于是“越俎代庖”，直接给出一种假设，让学生通过实验来验证。在第一个案例中，学生之所以没有兴趣，正是由于缺少内在的实验动机。第二个案例中，教师先通过发散性的问题，让学生运用转化的方法自由地想出求圆锥体积的方法，再加以巧妙引导，使学生自然想到选择“圆柱”作为研究工具。由此看出，我们不但要使学生能够进行某种目的和意义的实验操作，还要使他们懂得为什么要这样操作，这样才真正体现实验操作的价值。
2、在探究过程中，教师要善于“营造一个激励探索和理解的气氛”。不能让学生局限于一个狭窄的空间。第二个案例中，学生自由选择材料，记录下自由的发现，所以，在汇报交流时，才有不同实验方法的交流互补(实质上是思维方法的互补)，才有对不同实验结果的争辩与质疑。这样，真正“为学生提供了启发性的讨论模式”。
3、引导学生对实验操作得出的结论进行反思，是实验探究的一个很重要的环节。现在不少探究课，学生确实在很认真地展示问题、合作探究，但是对探究出的东西，教师没能让学生再进行进一步的领悟与反思，所以，新课标提出的过程性发展目标实际上还是没能真正实现。上面第一个案例中，学生对V=sh这一结论的前提条件缺少反思的真正体验，仅仅是通过教师的提问(实际上是提醒)下完成的。第二个案例，学生因为选择的材料不同，得出了大相径庭的结论，引发了激烈的矛盾冲突，由此激起了自觉的反思，进而激发了下一轮实验探究活动的内在动机。应该说，学生对实验结论进行反思，这也是一种过程，而且是比单纯的实验操作更有意义的一种过程。
数学教学是数学活动的教学，活动性是新课程的重要理念，正如马克思所说：“人类的特性恰恰就是自动自觉的活动”，新课程所提倡的活动是外显活动和内隐活动的统一，是操作活动和思维活动的统一，它的价值就是引导学生在操作中有所思、有所感、有所悟、有所得，落实学习的主体性，实现三位一体的发展目标。
