309-磁感应强度：毕奥—萨伐尔定律、磁感应强度叠加原理

磁感应强度：毕奥—萨伐尔定律、磁感应强度叠加原理

1．选择题

ADCAC CAADB A

2．判断题

对对错对对 对对错错

3．填空题

； 0 ； 垂直纸面向里 ； ； ； ；

； 垂直纸面向内 ； ； ； ；

在X=2的直线上 ； 0 ； ； ； ；

4. 计算题

1．如图一半径为R的带电塑料圆盘，其中有一半径为r 的阴影部分均匀带正电荷，面电荷密度为，其余部分带负电荷，面电荷密度为，当圆盘以角速度旋转时，测得圆盘中心O点的磁感应强度为零，问R与r满足什么关系？

解：带电圆盘的转动，可看作无数的电流圆环的磁场在O点的叠加，某一半径为的圆环的磁场为

而 （2分）

（2分）

正电部分产生的磁感应强度为

（2分）

负电部分产生的磁感应强度为

（2分）

令 （2分）

2．一段导线先弯成图（a）所示形状，然后将同样长的导线再弯成图（b）所示形状。在导线通以电流I后，求两个图形中P点的磁感应强度之比。

（a）

（b）

解：图中（a）可分解为5段电流。

处于同一直线的两段电流对P点的磁感应强度为零，其他三段在P点的磁感应强度方向相同。

长为l的两段在P点的磁感应强度为 （2分）

长为2l的一段在P点的磁感应强度为 （2分）

所以 （2分）

图（b）中可分解为3段电流。处于同一直线的两段电流对P点的磁感应强度为零，半圆弧在P点的磁感应强度为

所以 （2分）

两个图形中P点的磁感应强度之比 （2分）

3．半径为R的木球上密绕有细导线，相邻的线圈彼此平行地靠着，以单层盖住半个球面共有N匝，如图所示。设导线中通有电流I，求在球心O处的磁感应强度。

解：取坐标系如图。

（2分）

它们在O点产生的磁感应强度： （2分）

根据，，

有 （3分）

O点磁感应强度： （3分）

4．一长直导线ABCDE，通有电流，中部一段弯成圆弧形，半径为，，求圆心处的磁感强度。

解：载流导线BCD段在O点产生的磁感强度

方向垂直纸面向里。 （3分）

AB段在O点产生的磁感强度

式中, ,，代入得

方向垂直纸面向里。 （2分）

DE段在O点产生的磁感强度

式中，，代入得

方向也是方向垂直纸面向里。 （2分）

整个载流导线在O点产生的磁感强度

方向垂直纸面向里 （3分）

5．A和B为两个正交放置的圆形线圈，其圆心相重合。A线圈半径m，匝，通有电流A；B线圈半径m，匝，通有电流A。求两线圈公共中心处的磁感应强度。（Tm/A）

解：两线圈在各自圆心处的磁感应强度分别为

T （3分）

T （3分）

两线圈在各自圆心处的磁感应强度相互垂直，所以在公共中心处的磁感应强度大小为

T （3分）

与的夹角为 （1分）

6．宽度为b 的无限长薄铜片，通有电流。求铜片中心线正上方P点的磁感强度。

解：将薄铜片分成无限多个宽度为的细长条，如图，把每个长条当成载有电流的长直导线。 （1分）

每条长直导线在P点产生的磁感强度大小

,方向位于平面内且与垂直。 （3分）

的分量为和，由于铜片对y 轴对称，所以长条电流的分量代数和为零。故铜片在P点的磁感强度的大小

（3分）

如铜片为无限大平面，即,于是

（3分）

7．一个塑料圆盘，半径为R，带电q,均匀分布于盘表面上，圆盘绕通过圆心垂直盘面的轴线转动，角速度为。试求在圆盘中心处的磁感强度。

解 盘上的电荷密度。在圆盘上取一个半径为r宽为的细环,它所带的电量。 （1分）

这转动的带电细环相当于一个圆电流，其电流：

（3分）

它在盘心处所产生的磁感强度

（3分）

整个圆盘在盘心的磁感强度

方向垂直盘面。 （3分）

8．电流为的一长直导线在点被折成角，若用同样导线将两点连接，且，求三角形中心点的磁感应强度。

解：由图可知为等边三角形，所以，电流在处分为两支路和，设三角形每条边上的电阻值相同为，边加边与边并联得

而

解得 （2分）

利用载流直导线磁感应强度表示式，设垂直图面向里为正向，导线和在点的磁场强度为

（2分）

导线在点的磁感应强度为

（2分）

半无限长电流、在点磁感应强度为

（2分）

由叠加原理，点的磁感应强度为

方向垂直图面向里。（2分）

9．两根直导线与铜环上两点连接，如图所示，并在很远处与电源相连接。若圆环的粗细均匀，半径为，直导线中电流。求圆环中心处的磁感应强度。

解：电流在点分为两支路为和，设为单位弧长电阻，弧长与并联，得

即 （1分）

以垂直图面向里为正向，所以

（2分）

支路在圆环中心点磁感应强度方向垂直图面向里，大小为

（2分）

两支路在点的磁感应强度叠加，得. （2分）

半无限长直电流延长线过圆心， 点的磁感应强度等于半无限长直电流在点磁感应强度，得

方向垂直图面向里。（3分）

10．一无限长的载流导线中部被弯成圆弧形，如图所示，圆弧形半径为cm，导线中的电流为A。求圆弧形中心点的磁感应强度。

解：两根半无限长直电流在点的磁感应强度方向同为垂直图面向外，大小相等，以垂直图面向里为正向，叠加后得

（3分）

圆弧形导线在点产生的磁感应强度方向垂直图面向里，大小为

（3分）

二者叠加后得 （3分）

方向垂直图面向里。 （1分）

11．一无限长的载流导线中部被弯成圆弧形，并用同样的直导线将两点连接，如图所示，圆弧形半径为cm，导线中的电流为A。求圆弧形中心点的磁感应强度。（Tm/A）

解：电流在点分为两支路和，每一支路上的电阻值应有长度成正比，且两点间电压恒定，得 （1分）

在点有

由以上两式可得

（2分）

有 方向垂直图面向里。 （2分）

方向垂直图面向外。 （2分）

方向垂直图面向外。 （3分）

12：如图，宽为的薄长金属板，处于平面内，与y轴平行，设板上电流强度为，试求：（1）轴上点的磁感应强度的大小和方向；（2）当时，结果又如何？

解：（1）取坐标如图所示，在距原点为处取宽为的细长直导线带，所载电流为 （1分）

则在点产生的磁感应强度方向垂直图面向里，大小为

（2分）

整个薄长金属板在点产生的磁感强度大小为

（3分）

方向垂直图面向里。 （1分）

（2）将对数函数做幂级数展开，即

当时略去高次项，得

（3分）

结果表明在与薄长金属板距离足够远处的磁场近似于长直电流的磁场。

13；一根无限长导线弯成如图形状，设各线段都在同一平面内（纸面内），其中第二段是半径为R的四分之一圆弧，其余为直线。导线中通有电流I，求图中O点处的磁感强度。

解：将导线分成1、2、3、4四部分，各部分在O点产生的磁感强度设为。

根据叠加原理，O点的磁感强度为 （1分）

因均为0，故， 方向 （3分）

方向 （3分）

其中， ，

方向 （3分）

14．如图所示，一个无限长直导线，其中部被弯成半圆形状，环的半径cm，当导线中通有电流4A时，求垂直于环面的轴线上距离O点为40cm处的P点的磁感应强度大小。（Tm/A）

解：半圆弧在P点产生的磁感应强度

T （2分）

（1分）

T （2分）

式中

两段直电流在P点产生的磁感应强度，只有z分量

T （2分）

P点的总磁感应强度的大小为

T （3分）