选修42 矩阵与变换
第1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法
_word/media/image2_1.png
1. 已知矩阵M＝，MX＝Y且Y＝
，求矩阵X.
解：设X＝，则
＝
＝
，所以由
得
故X＝
.
2. 点（－1，k）在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为（－2，－4），求m，k的值.
解：
＝
，
解得
3. 已知在一个二阶矩阵M对应的变换作用下，将点（1，1），（－1，2）分别变换成（1，1），（－2，4），求矩阵M.
解：设M＝，则
＝
，即
由题意可得＝
，即
联立两个方程组，解得
即矩阵M＝.
4. 已知曲线C：x2＋2xy＋2y2＝1，矩阵A＝所对应的变换T把曲线C变成曲线C1，求曲线C1的方程.
解：设曲线C上的任意一点P（x，y）在矩阵A＝对应的变换作用下得到点Q（x′，y′），
则＝
，即x＋2y＝x′，x＝y′，
所以x＝y′，y＝.
代入x2＋2xy＋2y2＝1，
得y′2＋2y′·＋2
＝1，
即x′2＋y′2＝2，所以曲线C1的方程为x2＋y2＝2.
5. 求使等式＝
M
成立的矩阵M.
解：设M＝，
＝
，
∴ ＝
.
∴＝
，∴
∴∴ M＝
.
_word/media/image2_1.png
1. 二阶矩阵与平面向量
（1） 矩阵的概念
在数学中，把形如，
，
这样的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素.
（2） 行矩阵与列矩阵的乘法规则
[a11 a12]＝[a11×b11＋a12×b21].
（3） 二阶矩阵与列向量的乘法规则
＝
.
2. 几种常见的平面变换
（1） 当M＝时，对应的变换是恒等变换.
（2） 由矩阵M＝或M＝
（k>0，且k≠1）确定的变换TM称为（垂直）伸压变换.
（3） 反射变换是轴反射变换、中心反射变换的总称.
（4） 当M＝时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形（或点）绕某个定点逆时针旋转角度θ.
（5） 将一个平面图形投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换.
（6） 由矩阵M＝或M＝
（k∈R，k≠0）确定的变换称为切变变换.
3. 线性变换的基本性质
（1） 设向量α＝，则λα＝
.
（2） 设向量α＝，β＝
，则α＋β＝
.
（3） A是一个二阶矩阵，α，β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A（λα）＝λAα，A（α＋β）＝Aα＋Aβ.
（4） 二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）.
4. 二阶矩阵的乘法
（1） A＝，B＝
，
则AB＝.
（2） 矩阵乘法满足结合律：（AB）C＝A（BC）.
[备课札记]
1 二阶矩阵的运算
1 已知矩阵A＝，B＝
，向量α＝
.若Aα＝Bα，求实数x，y的值.
解：Aα＝，Bα＝
，
由Aα＝Bα，得
解得
_word/media/image2_1.png变式训练
已知矩阵A＝，B＝
，满足AX＝B，求矩阵X.
解：设X＝，由
＝
，
得
解得此时X＝
.
_word/media/image2_1.png, 2 求变换前后的点的坐标与曲线方程)
_word/media/image2_1.png, 2) （1） （2017·苏北四市期中）求椭圆C：
＋
＝1在矩阵A＝
对应的变换作用下所得的曲线的方程.
（2） 设M＝，N＝
，试求曲线y＝sin x在矩阵MN对应的变换作用下的曲线方程.
解：（1） 设椭圆C上的点（x1，y1）在矩阵A对应的变换作用下得到点（x，y），
则＝
＝
，
则代入椭圆方程
＋
＝1，得x2＋y2＝1，
所以所求曲线的方程为x2＋y2＝1.
（2） MN＝＝
，
设（x，y）是曲线y＝sin x上的任意一点，在矩阵MN对应的变换作用下对应的点为（x′，y′）.
则＝
，
所以即
代入y＝sin x，得y′＝sin 2x′，即y′＝2sin 2x′.
即曲线y＝sin x在矩阵MN对应的变换作用下的曲线方程为y＝2sin 2x.
_word/media/image2_1.png变式训练
在平面直角坐标系xOy中，设点A（－1，2）在矩阵M＝对应的变换作用下得到点A′，将点B（3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标.
解：设B′（x，y），
依题意，由＝
，得A′（1，2）.
则＝（2，2），
＝（x－1，y－2）.
记旋转矩阵N＝，
则＝
，
即＝
，解得
所以点B′的坐标为（－1，4）.
_word/media/image2_1.png, 3 根据变换前后的曲线方程求矩阵)
_word/media/image2_1.png, 3) 已知矩阵A＝
，直线l：x－y＋4＝0在矩阵A对应的变换作用下变为直线l′：x－y＋2a＝0.
（1） 求实数a的值；
（2） 求A2.
解：（1） 设直线l上任一点M0（x0，y0）在矩阵A对应的变换作用下变为l′上的点M（x，y），
则＝
＝
，
所以
代入l′方程得（ax0＋y0）－（x0＋ay0）＋2a＝0，
即（a－1）x0－（a－1）y0＋2a＝0.
因为（x0，y0）满足x0－y0＋4＝0，
所以＝4，解得a＝2.
（2） 由A＝，
得A2＝＝
.
_word/media/image2_1.png变式训练
（2017·镇江期末）已知实数a，b，矩阵A＝对应的变换将直线x－y－1＝0变换为自身，求a，b的值.
解：设直线x－y－1＝0上任意一点P（x，y）在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（x′，y′），
由＝
，得
因为P′（x′，y′）在直线x－y－1＝0上，
所以x′－y′－1＝0，即（－1－b）x＋（a－3）y－1＝0.
因为P（x，y）在直线x－y－1＝0上，所以x－y－1＝0.
因此解得
已知直线l：x＋y＝1在矩阵A＝对应的变换作用下变为直线l′：x－y＝1，求矩阵A.
解：设直线l：x＋y＝1上任意一点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用下，变换为点M′（x′，y′）.
由＝
＝
，得
又点M′（x′，y′）在l′上，所以x′－y′＝1，
即（mx＋ny）－y＝1.
依题意解得
所以A＝
.
_word/media/image2_1.png, 4 平面变换的综合应用)
_word/media/image2_1.png, 4) 已知M＝
，N＝
，向量α＝
.求证：
（1） （MN）α＝M（Nα）；
（2） 这两个矩阵不满足MN＝NM.
证明：（1） 因为MN＝＝
，
所以（MN）α＝＝
.
因为Nα＝＝
，
所以M（Nα）＝＝
，
所以（MN）α＝M（Nα）.
（2） 由（1）知MN＝，
NM＝＝
，
所以这两个矩阵不满足MN＝NM.
在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A（0，0），B（－1，2），C（0，3）.求△ABC在矩阵对应的变换作用下所得到的图形的面积.
解：因为＝
，
＝
，
＝
，所以A（0，0），B（－1，2），C（0，3）在矩阵
对应的变换作用下所得到的三个顶点坐标分别为A′（0，0），B′（－2，－1），C′（－3，0）.故S△A′B′C′＝
A′C′·|yB′|＝
.
_word/media/image2_1.png
1. （2017·南京、盐城模拟）设a，b∈R，若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A＝对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0.求实数a，b的值.
解：（解法1）取直线l：ax＋y－7＝0上点A（0，7），B（1，7－a）.
因为＝
，
＝
，所以A（0，7），B（1，7－a）在矩阵A对应的变换作用下分别得到点A′（0，7b），B′（3，b（7－a）－1）.
由题意，知A′，B′在直线l′：9x＋y－91＝0上，
所以解得
（解法2）设直线l上任意一点P（x，y），点P在矩阵A对应的变换作用下得到点Q（x′，y′）.
因为＝
，所以
因为点Q（x′，y′）在直线l′上，所以9x′＋y′－91＝0.
即27x＋（－x＋by）－91＝0，也即26x＋by－91＝0.
又点P（x，y）在直线l上，所以有ax＋y－7＝0.
所以＝
＝
，解得a＝2，b＝13.
2. 已知在矩阵A＝对应的变换作用下把点（1，1）变换成点（2，2）.
（1） 求a，b的值，
（2） 求曲线C：x2＋y2＝1在矩阵A的变换作用下对应的曲线方程.
解：（1） 由＝
，得
∴
（2） 设曲线C上任一点M′（x0，y0）在矩阵A对应的变换作用下得到点M（x，y），
∵ A＝，∴
＝
，
即∴
∵ 点M′在曲线C上，∴ ＋
＝1.
故所求曲线方程为x2－xy＋y2＝1.
3. 已知a，b∈R，若在矩阵M＝所对应的变换作用下把直线2x－y＝3变换成自身，试求实数a，b.
解：设直线2x－y＝3上任意一点A（x，y）在矩阵M对应的变换作用下得到点A0（x0，y0），则＝
，得
∵ 2x0－y0＝3，∴ 2（－x＋ay）－（bx＋3y）＝3.
即（－2－b）x＋（2a－3）y＝3.
此直线即为2x－y＝3，
∴解得
4. 二阶矩阵M对应的变换将点（1，－1）与（－2，1）分别变换成点（－1，－1）与（0，－2）.设直线l在矩阵M对应的变换作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程.
解：设M＝，则有
＝
，
＝
，
所以解得
所以M＝
.
设直线l上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下得到点P′（x′，y′）.
因为＝
＝
，
所以又m：x′－y′＝4，
所以直线l的方程为（x＋2y）－（3x＋4y）＝4，
即x＋y＋2＝0.
_word/media/image2_1.png
1. 求曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M＝对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.
解：设点（x0，y0）为曲线|x|＋|y|＝1上的任意一点，在矩阵M＝对应的变换作用下得到的点为（x′，y′），则
＝
，所以
所以曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M＝对应的变换作用下得到的曲线为|x|＋3|y|＝1，
所围成的图形为菱形，其面积为×2×
＝
.
2. 已知直线l：ax＋y＝1在矩阵A＝对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1.
（1） 求实数a，b的值；
（2） 若点P（x0，y0）在直线l上，且A＝
，求点P的坐标.
解： （1） 设直线l上一点（x，y）在矩阵A对应的变换作用下得点（x′，y′），则＝
，
∴ 代入直线l′，得2x＋（b＋3）y＝1，
∴ a＝2，b＝－2.
（2） ∵ 点P（x0，y0）在直线l上，∴ 2x0＋y0＝1.
由＝
，得
∴∴ P
.
3. 设数列{an}，{bn}满足an＋1＝2an＋3bn，bn＋1＝2bn，且满足＝M
，求二阶矩阵M.
解： 依题设有＝
，
令A＝，则M＝A4，
A2＝＝
.
M＝A4＝（A2）2＝＝
.
4. 已知直线l：ax－y＝0在矩阵A＝对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点（1，1），求实数a的值.
解：设P（x，y）为直线l上任意一点，在矩阵A对应的变换作用下变为直线l′上的点P′（x′，y′），则＝
，即
∴
代入ax－y＝0，整理，得－（2a＋1）x′＋ay′＝0.
将点（1，1）代入上述方程，解得a＝－1.
_word/media/image2_1.png
几种特殊的变换
反射变换：
M＝：点的变换为（x，y）→（x，－y），变换前后关于x轴对称；
M＝：点的变换为（x，y）→（－x，y），变换前后关于y轴对称；
M＝：点的变换为（x，y）→（－x，－y），变换前后关于原点对称；
M＝：点的变换为（x，y）→（y，x），变换前后关于直线y＝x对称.
投影变换：
M＝：将坐标平面上的点垂直投影到x轴上，点的变换为（x，y）→（x，0）；
M＝：将坐标平面上的点垂直投影到y轴上，点的变换为（x，y）→（0，y）；
M＝：将坐标平面上的点垂直于x轴方向投影到y＝x上，点的变换为（x，y）→（x，x）；
M＝：将坐标平面上的点平行于x轴方向投影到y＝x上，点的变换为（x，y）→（y，y）；
M＝：将坐标平面上的点垂直于y＝x方向投影到y＝x上，点的变换为（x，y）→
.
第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与
特征向量（对应学生用书（理）194～197页）_word/media/image2_1.png
_word/media/image2_1.png
_word/media/image2_1.png
1. 设二阶矩阵A，B满足A－1＝，BA＝
，求B－1.
解：∵ B＝BAA－1＝＝
，
设B－1＝，则
＝
，
即＝
，
∴
解得
∴ B－1＝.
2. 已知矩阵A＝，B＝
，求矩阵A－1B.
解：设矩阵A的逆矩阵为，
则＝
，
即＝
，
所以a＝－1，b＝c＝0，d＝，
从而矩阵A的逆矩阵为A－1＝，
所以A－1B＝＝
.
3. 已知矩阵M＝的一个特征值为－2，求M2.
解：将λ＝－2代入＝λ2－（x－1）λ－（x＋5）＝0，得x＝3.
∴ 矩阵M＝，∴ M2＝
.
4. 设是矩阵M＝
的一个特征向量，求实数a的值.
解：设是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量，则
＝λ
，故
解得
5. 已知矩阵M＝的属于特征值8的一个特征向量是e＝
，点P（－1，2）在M对应的变换作用下得到点Q，求点Q的坐标.
解：由题意知＝8×
，
故解得
∴ ＝
，
∴ 点Q的坐标为（－2，4）.
_word/media/image2_1.png
1. 逆变换与逆矩阵
（1） 对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵.
（2） 若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且（AB）－1＝B－1A－1.
（3） 利用行列式解二元一次方程组.
2. 特征值与特征向量
（1） 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量.
（2） 从几何上看，特征向量经过矩阵A对应的变换作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（λ>0），或者方向相反（λ<0）.特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量.
_word/media/image2_1.png
_word/media/image2_1.png
_word/media/image2_1.png, 1 求逆矩阵与逆变换)
_word/media/image2_1.png, 1) 已知矩阵A＝
，B＝
.求矩阵C，使得AC＝B.
解： 因为det（A）＝2×3－1×1＝5，
所以A－1＝＝
.
由AC＝B，得（A－1A）C＝A－1B，
所以C＝A－1B＝
＝
.
_word/media/image2_1.png变式训练
（2017·常州期末）已知矩阵A＝，列向量X＝
，B＝
.若AX＝B，直接写出A－1，并求出X.
解：由A＝，得A－1＝
.
由AX＝B，得X＝A－1B＝＝
.
_word/media/image2_1.png, 2 求特征值与特征向量)
_word/media/image2_1.png, 2) 求矩阵
的特征值及对应的特征向量.
解：特征多项式f（λ）＝＝（λ－3）2－1＝λ2－6λ＋8.
由f（λ）＝0，解得λ1＝2，λ2＝4.
将λ1＝2代入特征方程组，得⇒x＋y＝0，可取
为属于特征值λ1＝2的一个特征向量.
同理，当λ2＝4时，由⇒x－y＝0，
所以可取为属于特征值λ2＝4的一个特征向量.
综上所述，矩阵有两个特征值λ1＝2，λ2＝4；
属于λ1＝2的一个特征向量为，属于λ2＝4的一个特征向量为
.
_word/media/image2_1.png变式训练
（2017·苏北三市模拟）已知矩阵A＝，若A
＝
，求矩阵A的特征值.
解： 因为A＝
＝
＝
，
所以解得
所以A＝
.
所以矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝（λ－2）（λ－1）－6＝λ2－3λ－4.
令f（λ）＝0，解得矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝4.
_word/media/image2_1.png, 3 根据特征值或特征向量求矩阵)
_word/media/image2_1.png, 3) 已知矩阵A＝
.若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝
，属于特征值1的一个特征向量为α2＝
，求矩阵A，并写出A的逆矩阵.
解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，可得
＝6
，即c＋d＝6 ①.
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝，可得
＝
，即3c－2d＝－2 ②.
联立①②解得即A＝
，
所以A的逆矩阵是.
已知二阶矩阵M有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e1＝，并且在矩阵M对应的变换作用下将点（－1，2）变换成（9，15），求矩阵M.
解： 设M＝，则
＝3
＝
，
故
＝
，故
联立以上两个方程组解得
故M＝.
_word/media/image2_1.png, 4 特征值与特征向量的综合应用)
_word/media/image2_1.png, 4) 已知矩阵A＝
，向量α＝
，计算A5α.
解：因为f（λ）＝＝λ2－5λ＋6.
由f（λ）＝0，得λ＝2或λ＝3.
当λ＝2时，对应的一个特征向量为α1＝；当λ＝3时，对应的一个特征向量为α2＝
.
设＝m
＋n
，解得
所以A5α＝2×25＋1×35
＝
.
_word/media/image2_1.png变式训练
已知矩阵M＝的两个特征向量α1＝
，α2＝
.若β＝
，求M2β.
解：设矩阵M的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，
则由可解得
又β＝＝
＋2
＝α1＋2α2，
所以M2β＝M2（α1＋2α2）＝λα1＋2λ
α2＝4
＋2
＝
.
_word/media/image2_1.png
1. （2017·苏州期初）已知α＝为矩阵A＝
属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A2.
解：由条件可知，
＝λ
，
所以解得
因此A＝，
所以A2＝＝
.
2. （2017·苏州期中）已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M将点（－1，3）变换为（0，8）.
（1） 求矩阵M；
（2） 求曲线x＋3y－2＝0在矩阵M对应的变换作用下的新曲线方程.
解：（1） 设M＝，由
＝8
及
＝
，
得解得
∴ M＝
.
（2） 设原曲线上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下的对应点为P′（x′，y′），
则＝
，即
解得
代入x＋3y－2＝0并整理得x′－2y′＋4＝0，
即曲线x＋3y－2＝0在矩阵M对应的变换作用下得到的新曲线方程为x－2y＋4＝0.
3. （2017·南京、盐城期末）设矩阵M＝的一个特征值λ对应的一个特征向量为
，求实数m与λ的值.
解：由题意得＝λ
，
则解得
4. （2017·无锡期末）已知变换T将平面内的点，（0，1）分别变换成点
，
.设变换T对应的矩阵为M.
（1） 求矩阵M；
（2） 求矩阵M的特征值.
解：（1） 设M＝，则
＝
，
＝
，
得a＝3，b＝－，c＝－4，d＝4，
∴ M＝.
（2） 设矩阵M的特征多项式为f（λ），
∴ f（λ）＝＝（λ－3）（λ－4）－6＝λ2－7λ＋6.
令f（λ）＝0，则λ1＝1，λ2＝6.
_word/media/image2_1.png
1. 已知a，b是实数，如果矩阵A＝所对应的变换T把点（2，3）变成点（3，4）.
（1） 求a，b的值；
（2） 若矩阵A的逆矩阵为B，求B2.
解：（1） 由题意，得＝
，
故解得
（2） 由（1），得A＝.
由矩阵的逆矩阵公式得B＝.
所以B2＝.
2. （2017·南通、泰州模拟）设矩阵A满足：A＝
，求矩阵A的逆矩阵A－1.
解：（解法1）设矩阵A＝，则
＝
，所以a＝－1，2a＋6b＝－2，c＝0，2c＋6d＝3.
解得b＝0，d＝，所以A＝
.根据逆矩阵公式得A－1＝
.
（解法2）在A＝
两边同时左乘逆矩阵A－1，得
＝A－1
.
设A－1＝，则
＝
，
所以－a＝1，－2a＋3b＝2，－c＝0，－2c＋3d＝6.
解得a＝－1，b＝0，c＝0，d＝2，从而A－1＝.
3. 已知矩阵M＝，求逆矩阵M－1的特征值.
解：设M－1＝，
则MM－1＝＝
，
所以＝
，
所以解得
所以M－1＝
.
M－1的特征多项式为f（λ）＝＝（λ－1）
，令f（λ）＝0，解得λ＝1或λ＝
.
所以矩阵M的逆矩阵M－1的特征值为1和.
4. 已知矩阵M＝，β＝
，计算M6β.
解：矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝λ2－2λ－3.
令f（λ）＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝，α2＝
.
令β＝mα1＋nα2，得m＝4，n＝－3.
M6β＝M6（4α1－3α2）＝4（M6α1）－3（M6α2）＝4×36－3×（－1）6
＝
.
[备课札记]
