重庆市江津区田家炳中学2016-2017学年高二（下）期中数学试卷（文科）

2016-2017学年重庆市江津区田家炳中学高二（下）期中数学试卷（文科）

一、选择题（共60分，每小题5分）

1．命题“∃x0∈R，”的否定是（　　）

A．不存在x0∈R， B．∃x0∈R，

C．∀x∈R，x2+x+1＜0 D．∀x∈R，x2+x+1≥0

2．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．函数y=ax+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（　　）

A．（0，1） B．（0，3） C．（1，0） D．（3，0）

4．我国南宋时期的《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行下列算法的程序框图时，若输入的n=4，x=2，则输出V的值为（　　）

A．15 B．31 C．63 D．127

5．参数方程（θ为参数）和极坐标方程ρ=﹣6cosθ所表示的图形分别是（　　）

A．圆和直线 B．直线和直线 C．椭圆和直线 D．椭圆和圆

6．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取60名高中生做问卷调查，得到以下数据：

由以上数据，计算得到K2的观测值k≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是（　　）

A．在样本数据中没有发现足够证据支持结论“作文成绩优秀与课外阅读量大有关”

B．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关

C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关

D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关

7．函数的图象是（　　）

A． B． C． D．

8．设f（x）=lg，g（x）=ex+，则 （　　）

A．f（x）与g（x）都是奇函数 B．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数

C．f（x）与g（x）都是偶函数 D．f（x）是偶函数，g（x）是奇函数

9．使得函数f（x）=lnx+x﹣2有零点的一个区间是（　　）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

10．若a=20.5，b=logπ3，c=log20.5，则（　　）

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a

11．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（　　）

A． B． C．5 D．6

12．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈﹣1，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是　 　．

16．设P是边长为a的正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则；类比到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4=　 　．

三、解答题（共70分，17-21题每小题12分，22题10分）

17．已知全集U=R，A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|2≤x＜5}，C={x|x＞a}．

（1）求A∩（∁UB）；

（2）若A∪C=C，求a的取值范围．

18．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．

（1）将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，试求实数m的值．

19．已知函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）．

（1）当a=2时，求关于实数m的不等式f（3m﹣2）＜f（2m+5）的解集．

（2）求使成立的x值．

20．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至4月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：

（1）请根据1至4月份的数据，求出y关于x的线性回归方程=bx+a；

（2）根据线性回归方程，估计昼夜温差为14℃时，就诊人数为多少人？

（参考公式：b=，a=﹣b．）

21．已知f（x）=（a2﹣a﹣1）xa（a是常数）为幂函数，且在第一象限单调递增．

（1）求f（x）的表达式；

（2）讨论函数g（x）=在（﹣，+∞）上的单调性，并证之．

22．已知函数f（x）=|x﹣2|+2，g（x）=m|x|（m∈R）．

（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＞5；

（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．

2016-2017学年重庆市江津区田家炳中学高二（下）期中数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共60分，每小题5分）

1．命题“∃x0∈R，”的否定是（　　）

A．不存在x0∈R， B．∃x0∈R，

C．∀x∈R，x2+x+1＜0 D．∀x∈R，x2+x+1≥0

【考点】2J：命题的否定．

【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题．

∴命题p：∃x0∈R，使x02+x0+1＜0的否定是：∀x∈R，x2+x+1≥0．

故选：D

2．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；18：集合的包含关系判断及应用．

【分析】先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．

【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；

反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3

故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件

故选A．

3．函数y=ax+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（　　）

A．（0，1） B．（0，3） C．（1，0） D．（3，0）

【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点．

【分析】由于函数y=ax （a＞0且a≠1）图象一定过点（0，1），可得函数y=ax+2图象一定过点（0，3），由此得到答案．

【解答】解：由于函数y=ax （a＞0且a≠1）图象一定过点（0，1），故函数y=ax+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（0，3），

故选B．

4．我国南宋时期的《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行下列算法的程序框图时，若输入的n=4，x=2，则输出V的值为（　　）

A．15 B．31 C．63 D．127

【考点】EF：程序框图．

【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．

【解答】解：∵输入的x=2，n=4，

故v=1，

i=3，v=1×2+1=3

i=2，v=3×2+1=7

i=1，v=7×2+1=15

i=0，v=15×2+1=31

i=﹣1，跳出循环，输出v的值为31，

故选：B．

5．参数方程（θ为参数）和极坐标方程ρ=﹣6cosθ所表示的图形分别是（　　）

A．圆和直线 B．直线和直线 C．椭圆和直线 D．椭圆和圆

【考点】QH：参数方程化成普通方程．

【分析】将极坐标方程、参数方程化为普通方程，再去判断即可．

【解答】解：极坐标ρ=﹣6cosθ，两边同乘以ρ，得ρ2=﹣6ρcosθ，

化为普通方程为x2+y2=﹣6x，即（x+3）2+y2=9．

表示以C（﹣3，0）为圆心，半径为3的圆．

参数方程（θ为参数），利用同角三角函数关系消去θ，

化为普通方程为，表示椭圆．

故选D．

6．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取60名高中生做问卷调查，得到以下数据：

由以上数据，计算得到K2的观测值k≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是（　　）

A．在样本数据中没有发现足够证据支持结论“作文成绩优秀与课外阅读量大有关”

B．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关

C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关

D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关

【考点】BO：独立性检验的应用．

【分析】根据所给的观测值，同临界值表中的临界值进行比较，根据P（k≈9.643＞7.879）=0.005，可得结论．

【解答】解：∵k≈9.643＞7.879，

P（k≈9.643＞7.879）=0.005

∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关．

故选：D．

7．函数的图象是（　　）

A． B． C． D．

【考点】4T：对数函数图象与性质的综合应用．

【分析】求出函数的定义域，通过函数的定义域，判断函数的单调性，推出选项即可．

【解答】解：因为，解得x＞1或﹣1＜x＜0，

所以函数的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．

所以选项A、C不正确．

当x∈（﹣1，0）时，是增函数，

又因为y=lnx是增函数，所以函数是增函数．

故选B．

8．设f（x）=lg，g（x）=ex+，则 （　　）

A．f（x）与g（x）都是奇函数 B．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数

C．f（x）与g（x）都是偶函数 D．f（x）是偶函数，g（x）是奇函数

【考点】3K：函数奇偶性的判断．

【分析】根据函数奇偶性的定义，对f（x）与g（x）的奇偶性依次加以验证，可得f（x）是奇函数且g（x）是偶函数，由此即可得到本题答案．

【解答】解：首先，f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），g（x）的定义域是R，两个函数的定义域都关于原点对称

对于f（x），可得f（﹣x）=lg=lg

∴f（﹣x）+f（x）=lg（×）=lg1=0

由此可得：f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）是奇函数；

对于g（x），可得g（﹣x）==+ex

∴g（﹣x）=g（x），g（x）是定义在R上的偶函数

故选：B

9．使得函数f（x）=lnx+x﹣2有零点的一个区间是（　　）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

【考点】52：函数零点的判定定理．

【分析】由题意可得函数的定义域（0，+∞），令f（x）=lnx+x﹣2，然后根据f（a）•f（b）＜0，结合零点判定定理可知函数在（a，b）上存在一个零点，可得结论．

【解答】解：由题意可得函数的定义域（0，+∞），令f（x）=lnx+x﹣2

∵f（1）=﹣＜0，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0

由函数零点的判定定理可知，函数y=f（x）=lnx+x﹣2在（2，3）上有一个零点

故选C．

10．若a=20.5，b=logπ3，c=log20.5，则（　　）

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a

【考点】72：不等式比较大小．

【分析】利用指数函数和对数函数的性质即可得出．

【解答】解：∵20.5＞20=1，0＜logπ3＜logππ=1，log20.5＜log21=0，

∴a＞b＞c．

故选A．

11．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（　　）

A． B． C．5 D．6

【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．

【分析】将x+3y=5xy转化成=1，然后根据3x+4y=（）（3x+4y），展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值．

【解答】解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，

∴=1

∴3x+4y=（）（3x+4y）=+++≥+2=5

当且仅当=时取等号

∴3x+4y≥5

即3x+4y的最小值是5

故选：C

12．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈0，2）时，f（x）=log2（x+1），

所以f（﹣2 017）+f（2 018）=﹣1+0=﹣1．

故选：A．

二、填空题（共20分，每小题5分）

13．在复平面内，复数z=的共轭复数对应的点位于第　四　象限．

【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z=的共轭复数对应的点的坐标得答案．

【解答】解：∵z==，

∴，

∴复数z=的共轭复数对应的点的坐标为（），位于第四象限．

故答案为：四．

14．设函数f（x）=，若f（a）+f（﹣1）=3，则a=　e或　．

【考点】5B：分段函数的应用．

【分析】根据分段函数的表达式求出f（﹣1），进而求出f（a）=1，解方程即可．

【解答】解：f（﹣1）=（）﹣1=2，

则由f（a）+f（﹣1）=3，得f（a）=﹣f（﹣1）+3=3﹣2=1，

若a＞0，则f（a）=|lna|=1，即lna=1或lna=﹣1，即a=e或a=，

若a＜0，则f（a）=（）a=1，

则a=0不成立，

故a=e或a=，

故答案为：e或．

15．已知函数f（x）=ax2+（a﹣3）x+1在区间﹣3，0﹣1，+∞）上单调递减，

∴﹣≤﹣1，得﹣3≤a＜0．

综上可知，实数a的取值范围是．

16．设P是边长为a的正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则；类比到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4=　　．

【考点】F3：类比推理．

【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．

【解答】解：类比P是边长为a的正△ABC内的一点，

本题可以用一个正四面体来计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，

如图：

由棱长为a可以得到BF=a，BO=AO=，

在直角三角形中，根据勾股定理可以得到

BO2=BE2+OE2，

把数据代入得到OE=a，

∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，

故答案为： a．

三、解答题（共70分，17-21题每小题12分，22题10分）

17．已知全集U=R，A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|2≤x＜5}，C={x|x＞a}．

（1）求A∩（∁UB）；

（2）若A∪C=C，求a的取值范围．

【考点】1H：交、并、补集的混合运算．

【分析】（1）解不等式得A，根据补集和交集的定义写出A∩（CUB）；

（2）由A∪C=C，得A⊆C，根据集合C、A得出a的取值范围．

【解答】解：（1）A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，

且B={x|2≤x＜5}，U=R，

∴CUB={x|x＜2，或x≥5}，

∴A∩（CUB）={x|﹣1≤x＜2}；

（2）由A∪C=C，得A⊆C，

又C={x|x＞a}，A={x|﹣1≤x≤3}，

∴a的取值范围是a＜﹣1．

18．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．

（1）将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，试求实数m的值．

【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．

【分析】（1）利用三种方程的转化方法，将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，圆心到直线的距离d==，即可求实数m的值．

【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，所以ρ2=4ρcosθ，它的直角坐标方程是：x2+y2=4x，即：（x﹣2）2+y2=4，…

直线l的参数方程是（t是参数），直线l的直角坐标方程为y=x﹣m…

（2）由题意，圆心到直线的距离d==，

∴=，∴m=1或m=3…

19．已知函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）．

（1）当a=2时，求关于实数m的不等式f（3m﹣2）＜f（2m+5）的解集．

（2）求使成立的x值．

【考点】7J：指、对数不等式的解法．

【分析】（1）由a=2得函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，把不等式f（3m﹣2）＜f（2m+5）化为，求出解集即可；

（2）由得出方程x﹣=，求出方程的解并检验是否满足条件．

【解答】解：（1）由a=2得，函数f（x）=log2x在定义域（0，+∞）上单调递增，

所以不等式f（3m﹣2）＜f（2m+5）可化为：

，

解得＜m＜7；

（2）由，

得loga（x﹣）=loga，

即x﹣=，

化简得2x2﹣7x﹣4=0，

解得x=﹣或x=4；

检验得x=﹣，x=4都满足题意，

故x=﹣或x=4；．

20．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至4月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：

（1）请根据1至4月份的数据，求出y关于x的线性回归方程=bx+a；

（2）根据线性回归方程，估计昼夜温差为14℃时，就诊人数为多少人？

（参考公式：b=，a=﹣b．）

【考点】BK：线性回归方程．

【分析】（1）分别求出x，y的平均数，求出回归方程的系数，从而求出回归方程即可；

（2）将x的值代入回归方程求出y的估计值即可．

【解答】解：（1）由题知=11， =24，

由公式求得==，

再由=﹣﹣b，求得=，

∴y关于x的线性回归方程为=x﹣，

（2）当x=14时，人

∴估计昼夜温差为14℃时，就诊人数为32人．

21．已知f（x）=（a2﹣a﹣1）xa（a是常数）为幂函数，且在第一象限单调递增．

（1）求f（x）的表达式；

（2）讨论函数g（x）=在（﹣，+∞）上的单调性，并证之．

【考点】3E：函数单调性的判断与证明；4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．

【分析】（1）由f（x）为幂函数，且在第一象限单调递增，列出方程组，能求出f（x）的表达式．

（2）推导出g（x）=x++3，利用定义法和分类讨论思想能求出结果．

【解答】解：（1）∵f（x）=（a2﹣a﹣1）xa（a是常数）为幂函数，且在第一象限单调递增．

∴由题意得：，解得a=2，

∴f（x）=x2．

（2）g（x）===x++3，

任取x1，x2∈（﹣），且x1＜x2，

则g（x1）﹣g（x2）=（）﹣（+3）

=（x1﹣x2）+（）=，

①当﹣＜0时，x1x2﹣2＜0，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，

∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），

∴g（x）在（﹣，0）上单调递减．

②当0＜时，x1x2﹣2＜0，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，

∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），

∴g（x）在（0，）上单调递减．

③当时，x1x2﹣2＜0，x1﹣x2＜0，x1x2＜0，

∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），

∴g（x）在．…

2017年7月28日