2019年四川省资阳市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意
1．（4分）﹣3的倒数是（ ）
A．﹣ B．
C．﹣3 D．3
2．（4分）如图是正方体的展开图，每个面都标注了字母，如果b在下面，c在左面，那么d在（ ）
A．前面 B．后面 C．上面 D．下面
3．（4分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．a3+a2＝a5 C．a6÷a3＝a2 D．（a3）2＝a6
4．（4分）如图，l1∥l2，点O在直线l1上，若∠AOB＝90°，∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
5．（4分）在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（ ）
A．4个 B．5个
C．不足4个 D．6个或6个以上
6．（4分）设x＝，则x的取值范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．无法确定
7．（4分）爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走了15分钟回到家中．下面图形中表示爷爷离家的距离y（米）与爷爷离开公园的时间x（分）之间的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（ ）
A．5π B．6π C．20π D．24π
9．（4分）4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、b满足（ ）
A．2a＝5b B．2a＝3b C．a＝3b D．a＝2b
10．（4分）如图是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤0 C．0≤m≤1 D．m≥1或m≤0
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）截止今年4月2日，华为官方应用市场“学习强国”APP下载量约为88300000次．将数88300000科学记数法表示为 ．
12．（4分）一组数据1，2，5，x，3，6的众数为5．则这组数据的中位数为 ．
13．（4分）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是 ．
14．（4分）a是方程2x2＝x+4的一个根，则代数式4a2﹣2a的值是 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，点D为边AB的中点，连结CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE′的位置．若CE′∥AB，则CE′＝ ．
16．（4分）给出以下命题：
①平分弦的直径垂直于这条弦；
②已知点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）均在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y2＜y3＜y1；
③若关于x的不等式组无解，则a≥﹣1；
④将点A（1，n）向左平移3个单位到点A1，再将A1绕原点逆时针旋转90°到点A2，则A2的坐标为（﹣n，﹣2）．
其中所有真命题的序号是 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（9分）化简求值：（﹣1）÷
，其中x＝2．
18．（10分）为了解“哈啰单车”的使用情况，小月对部分用户的骑行时间t（分）进行了随机抽查，将获得的数据分成四组（A：0＜t≤30；B：30＜t≤60；C：60＜t≤120；D：t＞120），并绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）求D组所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（2）小月打算在C、D两组中各随机选一名用户进行采访，若这两组中各有两名女士，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．
19．（10分）如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若PA＝1，求点O到弦AB的距离．
20．（10分）为了参加西部博览会，资阳市计划印制一批宣传册．该宣传册每本共10页，由A、B两种彩页构成．已知A种彩页制版费300元/张，B种彩页制版费200元/张，共计2400元．（注：彩页制版费与印数无关）
（1）每本宣传册A、B两种彩页各有多少张？
（2）据了解，A种彩页印刷费2.5元/张，B种彩页印刷费1.5元/张，这批宣传册的制版费与印刷费的和不超过30900元．如果按到资阳展台处的参观者人手一册发放宣传册，预计最多能发给多少位参观者？
21．（11分）如图，直线y＝x与双曲线y＝（x＞0）相交于点A，且OA＝
，将直线向左平移一个单位后与双曲线相交于点B，与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）求直线BC的解析式及k的值；
（2）连结OB、AB，求△OAB的面积．
22．（11分）如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．
（1）求渔船B航行的距离；
（2）此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60°方向，A渔船在点D的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号）
23．（12分）在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→C的路径运动，运动时间为t（秒）．过点E作EF⊥BC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH．
（1）如图，当AB＝BC＝8时，
①若点H在△ABC的内部，连结AH、CH，求证：AH＝CH；
②当0＜t≤8时，设正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式；
（2）当AB＝6，BC＝8时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，求t的值．
24．（13分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+
交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2019年四川省资阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意
1．（4分）﹣3的倒数是（ ）
A．﹣ B．
C．﹣3 D．3
【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：∵﹣3×（﹣）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选：A．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．
2．（4分）如图是正方体的展开图，每个面都标注了字母，如果b在下面，c在左面，那么d在（ ）
A．前面 B．后面 C．上面 D．下面
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“a”与“f”是相对面，
“b”与“d”是相对面，“d”在上面，
“c”与“e”是相对面，“c”在左面，“e”在右面．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
3．（4分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．a3+a2＝a5 C．a6÷a3＝a2 D．（a3）2＝a6
【分析】根据同底数幂的乘法和除法以及幂的乘方判断即可．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，错误；
B、a3+a2不能合并，错误；
C、a6÷a3＝a3，错误；
D、（a3）2＝a6，正确；
故选：D．
【点评】此题考查同底数幂的乘法和除法，关键是根据同底数幂的乘法和除法以及幂的乘方的法则解答．
4．（4分）如图，l1∥l2，点O在直线l1上，若∠AOB＝90°，∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【分析】先根据∠1＝35°，l1∥l2求出∠OAB的度数，再由OB⊥OA即可得出答案．
【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝35°，
∴∠OAB＝∠1＝35°．
∵OA⊥OB，
∴∠2＝∠OBA＝90°﹣∠OAB＝55°．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关键．
5．（4分）在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（ ）
A．4个 B．5个
C．不足4个 D．6个或6个以上
【分析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案．
【解答】解：∵袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，
∴红球的个数比白球个数多，
∴红球个数满足6个或6个以上，
故选：D．
【点评】本题主要考查可能性大小，只要在总情况数目相同的情况下，比较其包含的情况总数即可．
6．（4分）设x＝，则x的取值范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．无法确定
【分析】根据无理数的估计解答即可．
【解答】解：∵9＜15＜16，
∴，
故选：B．
【点评】此题考查估算无理数的大小，关键是根据无理数的估计解答．
7．（4分）爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走了15分钟回到家中．下面图形中表示爷爷离家的距离y（米）与爷爷离开公园的时间x（分）之间的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由题意，爷爷在公园回家，则当x＝0时，y＝900；从公园回家一共用了45分钟，则当x＝45时，y＝0；
【解答】解：由题意，爷爷在公园回家，则当x＝0时，y＝900；
从公园回家一共用了20+10+15＝45分钟，则当x＝45时，y＝0；
结合选项可知答案B．
故选：B．
【点评】本题考查函数图象；能够从题中获取信息，分析运动时间与距离之间的关系是解题的关键．
8．（4分）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（ ）
A．5π B．6π C．20π D．24π
【分析】根据圆的面积和矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：圆所扫过的图形面积＝π+2π×2＝5π，
故选：A．
【点评】本题考查了圆的面积的计算矩形的面积的计算，圆的周长的计算，中点圆所扫过的图形面积是圆的面积与矩形的面积和是解题的关键．
9．（4分）4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、b满足（ ）
A．2a＝5b B．2a＝3b C．a＝3b D．a＝2b
【分析】先用a、b的代数式分别表示S1＝a2+2b2，S2＝2ab﹣b2，再根据S1＝2S2，得a2+2b2＝2（2ab﹣b2），整理，得（a﹣2b）2＝0，所以a＝2b．
【解答】解：S1＝b（a+b）×2+
+（a﹣b）2＝a2+2b2，
S2＝（a+b）2﹣S1＝（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2，
∵S1＝2S2，
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
整理，得（a﹣2b）2＝0，
∴a﹣2b＝0，
∴a＝2b．
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
10．（4分）如图是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤0 C．0≤m≤1 D．m≥1或m≤0
【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M的范围可知
【解答】解：如图1所示，当t等于0时，
∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴A（0，﹣3），
当x＝4时，y＝5，
∴C（4，5），
∴当m＝0时，
D（4，﹣5），
∴此时最大值为0，最小值为﹣5；
如图2所示，当m＝1时，
此时最小值为﹣4，最大值为1．
综上所述：0≤m≤1，
故选：C．
【点评】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m的值为解题关键．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）截止今年4月2日，华为官方应用市场“学习强国”APP下载量约为88300000次．将数88300000科学记数法表示为 8.83×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将88300000用科学记数法表示为：8.83×107．
故答案为：8.83×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（4分）一组数据1，2，5，x，3，6的众数为5．则这组数据的中位数为 4 ．
【分析】先根据众数的概念得出x的值，再将数据重新排列，从而根据中位数的概念可得答案．
【解答】解：∵数据1，2，5，x，3，6的众数为5，
∴x＝5，
则数据为1，2，3，5，5，6，
∴这组数据的中位数为＝4，
故答案为：4．
【点评】考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而错误，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
13．（4分）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是 720° ．
【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．
【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，
该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．
故答案为：720°．
【点评】解答本题的关键是求出该正多边形的边数与熟记多边形的内角和公式．
14．（4分）a是方程2x2＝x+4的一个根，则代数式4a2﹣2a的值是 8 ．
【分析】直接把a的值代入得出2a2﹣a＝4，进而将原式变形得出答案．
【解答】解：∵a是方程2x2＝x+4的一个根，
∴2a2﹣a＝4，
∴4a2﹣2a＝2（2a2﹣a）＝2×4＝8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．
15．（4分）如图，在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，点D为边AB的中点，连结CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE′的位置．若CE′∥AB，则CE′＝ ．
【分析】如图，作CH⊥AB于H．首先证明∠ACB＝90°，解直角三角形求出AH，再证明CE′＝AH即可．
【解答】解：如图，作CH⊥AB于H．
由翻折可知：∠AE′C＝∠AEC＝90°，∠ACE＝∠ACE′，
∵CE′∥AB，
∴∠ACE′＝∠CAD，
∴∠ACD＝∠CAD，
∴DC＝DA，
∵AD＝DB，
∴DC＝DA＝DB，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝5，
∵•AB•CH＝
•AC•BC，
∴CH＝，
∴AH＝＝
，
∵CE∥AB，
∴∠E′CH+∠AHC＝180°，
∵∠AHC＝90°，
∴∠E′CH＝90°，
∴四边形AHCE′是矩形，
∴CE′＝AH＝，
故答案为．
【点评】本题考查翻折变换，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
16．（4分）给出以下命题：
①平分弦的直径垂直于这条弦；
②已知点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）均在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y2＜y3＜y1；
③若关于x的不等式组无解，则a≥﹣1；
④将点A（1，n）向左平移3个单位到点A1，再将A1绕原点逆时针旋转90°到点A2，则A2的坐标为（﹣n，﹣2）．
其中所有真命题的序号是 ②③④ ．
【分析】①平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故错误；
②由k＜0，则函数在二、四象限，根据函数的增减性即可求解；
③直接解不等式即可；
④根据平移和旋转的性质即可求解．
【解答】解：①平分弦的直径垂直于这条弦，应该为：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故错误；
②反比例函数y＝（k＜0）在二、四象限，当x＜0时，y＞0；x＞0时，y＜0，且x增大，y增大，故y1＞y3＞y2，故正确；
③若关于x的不等式组无解，a≥﹣1，正确；
④将点A（1，n）向左平移3个单位到点A1，则A1（﹣2，n），将A1绕原点逆时针旋转90°到点A2，A2的坐标为（﹣n，﹣2），正确．
以上正确的都为真命题，故答案为：②③④．
【点评】本题考查的是命题的判断，涉及到反比例函数、解不等式、图象的平移和旋转、圆的基本知识等，难度不大．
三、解答题：（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（9分）化简求值：（﹣1）÷
，其中x＝2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝[﹣
]•x（x+1）
＝•x（x+1）
＝，
当x＝2时，
原式＝＝2．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18．（10分）为了解“哈啰单车”的使用情况，小月对部分用户的骑行时间t（分）进行了随机抽查，将获得的数据分成四组（A：0＜t≤30；B：30＜t≤60；C：60＜t≤120；D：t＞120），并绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）求D组所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（2）小月打算在C、D两组中各随机选一名用户进行采访，若这两组中各有两名女士，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．
【分析】（1）由A组人数及其所占百分比求得总人数，再乘以C组百分比求得其人数，继而根据各组人数之和等于总人数求出D的人数，用360°乘以D组人数所占比例；
（2）依据树状图，可得共有12种等可能的情况，其中选中一名男同学和一名女同学的情况有6种，即可得到选中一名男同学和一名女同学的概率．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为6÷30%＝20（人），
∴C组人数为20×20%＝4（人），
则D组人数为20﹣（6+7+4）＝3（人），
∴D组所在扇形的圆心角的度数为360°×＝54°，
补全图形如下：
（2）树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中选中一名男同学和一名女同学的情况有6种，
∴选中一名男同学和一名女同学的概率为＝
．
【点评】本题考查的是列举法（树形图法）和扇形统计图的知识，读懂频数分布直方图和利用统计图获取正确是解题的关键，注意信息在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°比．
19．（10分）如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若PA＝1，求点O到弦AB的距离．
【分析】（1）由切线的性质得出PA＝PB，∠PAC＝90°，证出△APB是等边三角形，得出∠BAP＝60°，即可得出答案；
（2）作OD⊥AB于D，由垂径定理得出AD＝BD＝AB，由等边三角形的性质得出AB＝PA＝1，AD＝
，由直角三角形的性质得出AD＝
OD＝
，求出OD＝
即可．
【解答】解：（1）∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴PA＝PB，∠PAC＝90°，
∵∠APB＝60°，
∴△APB是等边三角形，
∴∠BAP＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣∠BAP＝30°；
（2）作OD⊥AB于D，如图所示：
则AD＝BD＝AB，
由（1）得：△APB是等边三角形，
∴AB＝PA＝1，
∴AD＝，
∵∠BAC＝30°，
∴AD＝OD＝
，
∴OD＝，
即求点O到弦AB的距离为．
【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理、切线长定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点；熟练掌握切线的性质和垂径定理是解题的关键．
20．（10分）为了参加西部博览会，资阳市计划印制一批宣传册．该宣传册每本共10页，由A、B两种彩页构成．已知A种彩页制版费300元/张，B种彩页制版费200元/张，共计2400元．（注：彩页制版费与印数无关）
（1）每本宣传册A、B两种彩页各有多少张？
（2）据了解，A种彩页印刷费2.5元/张，B种彩页印刷费1.5元/张，这批宣传册的制版费与印刷费的和不超过30900元．如果按到资阳展台处的参观者人手一册发放宣传册，预计最多能发给多少位参观者？
【分析】（1）设每本宣传册A、B两种彩页各有x，y张，根据题意列出方程组解答即可；
（2）设最多能发给a位参观者，根据题意得出不等式解答即可．
【解答】解：（1）设每本宣传册A、B两种彩页各有x，y张，
，
解得：，
答：每本宣传册A、B两种彩页各有4和6张；
（2）设最多能发给a位参观者，可得：2.5×4a+1.5×6a+2400≤30900，
解得：a≤1500，
答：最多能发给1500位参观者．
【点评】此题考查一元一次不等式的应用，关键是根据题意列出方程组和不等式解答．
21．（11分）如图，直线y＝x与双曲线y＝（x＞0）相交于点A，且OA＝
，将直线向左平移一个单位后与双曲线相交于点B，与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）求直线BC的解析式及k的值；
（2）连结OB、AB，求△OAB的面积．
【分析】（1）根据平移的性质即可求得直线BC的解析式，由直线y＝x和OA＝即可求得A的坐标，然后代入双曲线y＝
（x＞0）求得k的值；
（2）作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，联立方程求得B点的坐标，然后根据S△AOB＝S梯形AEFB+S△BOF﹣S△AOE＝S梯形AEFB，求得即可．
【解答】解：（1）根据平移的性质，将直线y＝x向左平移一个单位后得到y＝x+1，
∴直线BC的解析式为y＝x+1，
∵直线y＝x与双曲线y＝（x＞0）相交于点A，
∴A点的横坐标和纵坐标相等，
∵OA＝，
∴A（1，1），
k＝1×1＝1；
（2）作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，
解得
或
∴B（，
），
∵S△AOB＝S梯形AEFB+S△BOF﹣S△AOE＝S梯形AEFB，
∴S△AOB＝S梯形AEFB＝（1+
）（1﹣
）＝2．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．
22．（11分）如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．
（1）求渔船B航行的距离；
（2）此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60°方向，A渔船在点D的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号）
【分析】（1）由题意得到∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）过B作BE⊥AE于E，过D作DH⊥AE于H，延长CB交DH于G，得到四边形AEBC和四边形BEHG是矩形，根据矩形的性质得到BE＝GH＝AC＝20，AE＝BC＝20，设BG＝EH＝x，求得AH＝x+20，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意得，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20，
∴AB＝2BC＝40海里，
答：渔船B航行的距离是40海里；
（2）过B作BE⊥AE于E，过D作DH⊥AE于H，延长CB交DH于G，
则四边形AEBC和四边形BEHG是矩形，
∴BE＝GH＝AC＝20，AE＝BC＝20，
设BG＝EH＝x，
∴AH＝x+20，
由题意得，∠BDG＝60°，∠ADH＝45°，
∴x，DH＝AH，
∴20+
x＝x+20，
解得：x＝20，
∴BG＝20，AH＝20+20
，
∴BD＝＝40，
AD＝AH＝20
+20
，
答：中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里，到外国渔船A的距离是（20+20
）海里．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
23．（12分）在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→C的路径运动，运动时间为t（秒）．过点E作EF⊥BC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH．
（1）如图，当AB＝BC＝8时，
①若点H在△ABC的内部，连结AH、CH，求证：AH＝CH；
②当0＜t≤8时，设正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式；
（2）当AB＝6，BC＝8时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，求t的值．
【分析】（1）①如图1中，证明△AEH≌△CGH（SAS）即可解决问题．
②分两种情形分别求解：如图1中，当0＜t≤4时，重叠部分是正方形EFGH．如图2中，当4＜t≤8时，重叠部分是五边形EFGMN．
（2）分三种情形分别求解：①如图3﹣1中，延长AH交BC于M，当BM＝CM＝4时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．②如图3﹣2中，延长AH交CD于M交BC的延长线于K，当CM＝DM＝3时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．③如图3﹣3中，当点E在线段AC上时，延长AH交CD于M，交BC的延长线于N．当CM＝DM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．
【解答】解：（1）①如图1中，
∵四边形EFGH是正方形，AB＝BC，
∴BE＝BG，AE＝CG，∠BHE＝∠BGH＝90°，
∴∠AEH＝∠CGH＝90°，
∵EH＝HG，
∴△AEH≌△CGH（SAS），
∴AH＝CH．
②如图1中，当0＜t≤4时，重叠部分是正方形EFGH，S＝t2．
如图2中，当4＜t≤8时，重叠部分是五边形EFGMN，S＝S△ABC﹣S△AEN﹣S△CGM＝×8×8﹣2×
（8﹣t）2＝﹣t2+32t﹣32．
综上所述，S＝．
（2）如图3﹣1中，延长AH交BC于M，当BM＝CM＝4时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．
∵EH∥BM，
∴＝
，
∴＝
，
∴t＝．
如图3﹣2中，延长AH交CD于M交BC的延长线于K，当CM＝DM＝3时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易证AD＝CK＝8，
∵EH∥BK，
∴＝
，
∴＝
，
∴t＝．
如图3﹣3中，当点E在线段AC上时，延长AH交CD于M，交BC的延长线于N．当CM＝DM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易证AD＝CN＝8．
在Rt△ABC中，AC＝＝10，
∵EF∥AB，
∴＝
，
∴＝
，
∴EF＝（16﹣t），
∵EH∥CN，
∴＝
，
∴＝
，
解得t＝．
综上所述，满足条件的t的值为s或
s或
s．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
24．（13分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+
交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+，m＝﹣4+
＝﹣
，B的坐标为（4，﹣
），将A（3，2），B（4，﹣
）代入y＝﹣
x2+bx+c，解得b＝1，c＝
，因此抛物线的解析式y＝
；
（2）设D（m，），则E（m，﹣m+
），DE＝（
）﹣（﹣m+
）＝
＝﹣
（m﹣2）2+2，当m＝2时，DE有最大值为2，此时D（2，
），作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此时PD+PA最小；
（3）作AH⊥y轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，由M（1，4），A（3，2），可得AH＝MH＝2，H（1，2）因为∠AQM＝45°，∠AHM＝90°，所以∠AQM＝∠AHM，可知△AQM外接圆的圆心为H，于是QH＝HA＝HM＝2设Q（0，t），则
＝2，t＝2+
或2﹣
，求得符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2﹣
）、Q2（0，2
）．
【解答】解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+，
m＝﹣4+＝﹣
，
∴B的坐标为（4，﹣），
将A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣
x2+bx+c，
解得b＝1，c＝，
∴抛物线的解析式y＝；
（2）设D（m，），则E（m，﹣m+
），
DE＝（）﹣（﹣m+
）＝
＝﹣
（m﹣2）2+2，
∴当m＝2时，DE有最大值为2，
此时D（2，），
作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．
PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此时PD+PA最小，
∵A（3，2），
∴A'（﹣1，2），
A'D＝＝
，
即PD+PA的最小值为；
（3）作AH⊥y轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，
∵抛物线的解析式y＝，
∴M（1，4），
∵A（3，2），
∴AH＝MH＝2，H（1，2）
∵∠AQM＝45°，
∠AHM＝90°，
∴∠AQM＝∠AHM，
可知△AQM外接圆的圆心为H，
∴QH＝HA＝HM＝2
设Q（0，t），
则＝2，
t＝2+或2﹣
∴符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2﹣）、Q2（0，2
）．
【点评】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题的关键．
