044《高观点下的几何学》
《高观点下的几何学》练习题参考答案一一、填空题。1．公理法的三个基本问题是（相容性问题）、（独立性问题）和（完备性问题）。2．公理法的结构是（原始概念的列举）、（定义的叙述）、（公理的叙述）和（定理的叙述和证明）。3．仿射变换把矩形变成平行四边形4．仿射变换把平行线变成平行线5．仿射变换把正三角形变成三角形二、简答题。1．试给一个罗氏几何的数学模型。答：罗氏几何的（Cayley-F.kLein）模型在欧氏平面上任取一个圆，把圆内部的点所构成的集合看成是罗氏“平面”。罗氏平面几何的原始概念解释成：罗氏点：圆内的点；罗氏直线：圆内的开弦（两个端点除外，它们可称为无穷远点）。结合关系：圆内原来的点和线的结合关系；介于关系：圆内弦上三点的介于关系；运动关系：欧氏平面上，将圆K变成自身的射影变换。罗氏平行公理（在罗氏平面上）通过直线外一点至少存在两直线与已知直线不相交。2．试给一个黎曼几何的数学模型答：黎曼几何的（F.KLein）模型黎曼几何的原始概念解释成：黎氏点：欧氏球面上的点，但把每对对径点看成一点；黎氏直线：球面上的大圆；黎氏平面：改造后的球面。黎氏点与黎氏直线的基本关系：(1通过任意两个黎氏点存在一条黎氏直线；(2通过任意两个黎氏点至多存在一条黎氏直线；(3每条黎氏直线上至少有两个黎氏点；至少存在三个黎氏点不在同一条黎氏直线上。黎曼几何平行公理：黎氏平面上任意两条直线相交。3．简述公理法的基本思想。答：若干个原始概念（包括元素和关系）、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几何的基础。全部元素的集合构成了这种几何的空间。在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明，原始概念、定义、公理和定理按照逻辑关系有
次序地排列而构成命题系统——逻辑结构，这就是公理法思想。4．简述公理系统的独立性答：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这跳公理在公理系统中是独立的。如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。5．试着陈述非欧几何是怎样产生的？答：众所周知，欧几里得《几何原本》是演绎体系的里程碑，虽然它不尽完善，但它确实是建立科学演绎体系的最早的代表作，它一经问世，就引起了学术界的广泛关注，欧几里得之后的数学家们在对《几何原本》的研究过程发现，它的第五公设的内容不象前四条公设叙述的那么简单，同时它又是在第二十九条命题之后才出现的，于是这些数学家很自然提出这样一个问题：是否底五公设它不是一条公理，而是一条命题呢？与是他们试图去论证第五公设的独立性，在这种论证过程中，罗巴切夫斯基与黎曼分别建立了新的无矛盾的科学演绎体系，即罗氏及何与黎曼几何，这两种几何与欧氏几何有共同的绝对几何公理体系，只是平行公理不同。6．简述公理系统的完备性。答：如果公理系统的所有模型都是同构的，则称这个公理系统是完备的，或称其具有完备性。7．简述公理系统的相容性。答：公理系公理系统的相容性是指这个系统的所有构成要素是无矛盾的。任何一个公理系统都要满足无矛盾性。证明公理系统的相容性常用的方法是模型法。三、选择题。1．三角形内角和等于180度与（A）A欧氏平行公理等价B罗氏平行公理等价C椭圆几何平行公设等价D不可判定2．欧氏几何与非欧几何的本质区别为（A）A平行公设不同B结合公理相同C绝对公设不同D结合公理不同