全国100所名校2020年最新高考模拟示范卷（三）文科数学试题+答案+详解MNJ.Y

全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷（三）

（120分钟 150分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（ ）

A． B． C． D．

2．设复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知，，，则（ ）

A． B． C D．

4．已知双曲线，是双曲线渐近线上第一象限的一点，为坐标原点，且，则点的坐标是（ ）

A． B． C． D．

5．已知，则（ ）

A． B． C． D．

5．已知，，则向量，的夹角（ ）

A． B． C． D．

7．函数的大致图象为（ ）

A． B． C． D．

8．中国古典乐器一般按“八音”分类．“八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从打击乐器、弹拨乐器中任取不同的‘两音’，含有弹拨乐器的概率为（ ）

A． B． C． D．

9．已知不同直线、与不同平面，，且，，则下列说法中正确的是（ ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

10．在一次某校举行的演讲比赛中，甲、乙、丙、丁四位同学表现都很优秀，甲说：“乙这次应该是第一名”；乙说：“丁这次应该是第一名”；丙说：“第一名应该不是我”；丁说：“我不赞同乙的判断”．若这四位同学中只有一人判断正确，则获得这次演讲比赛第一名的人是（ ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

11．已知函数（其中，），其图象向右平移个单位长度得的图象，若函数的最小正周期是，且，则（ ）

A．， B．，

C．， D．，

12．已知数列，都是公差为2的等差数列，是正整数，若，则（ ）

A．220 B．180 C．100 D．80

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．若变量满足约束条件，则的最大值为________．

14．已知是正项等比数列的前项和，若，，则公比________．

15．在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为1．则三棱锥的外接球的表面积为________．

16．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线分别交于、两点，与轴的正半轴交于点，与准线交于点，且，则_______（用含的式子表示），________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．在如图所示的平面四边形中，已知，，，．

（1）求的值；

（2）求的长．

18．金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生，新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：

（1）通过估算，试判断男、女哪种性别的学生愿意投入到新生接待工作的概率更大．

（2）能否有99%的把握认为，愿意参加新生接待工作与性别有关？

附：，其中．

19．在四棱柱中，底面为正方形，，平面．

（1）证明：平面．

（2）若，求点到平面的距离．

20．已知椭圆，左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，且，为等边三角形，过点的直线与椭圆在轴右侧的部分交于、两点，为坐标原点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求直线的方程．

21．已知函数．

（1）当时（为自然对数的底数），求函数的极值；

（2）为的导函数，当，时，求证：．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），直线经过点且倾斜角为．

（1）求曲线的极坐标方程和直线的参数方程；

（2）已知直线与曲线交于，两点，满足为的中点，求．

23．[选修4-5：不等式选讲]

设函数．

（1）当时，解不等式；

（2）设，且当时，不等式有解，求实数的取值范围．

2020年普通高等学校招生全国统一考试

数学模拟测试参考答案

1．B 本题考查集合的运算，因为．所以，所以，因为，所以．

2．A 本题考复数的运算及几何意义，由，所以复数在复平面内对应点的坐标为，所以在复平面内的对应点位于第一象限．

3．C 本题考查指数、对数的大小比较，因为，，，所以．

4．D 本题考查双曲线的性质，等轴双曲线过第一象限的渐近线方程为，因为，所以点的坐标为．

5．A 本题考查三角恒等变换．∵，∴，

则．

6．C 本题考查向量的数量积．因为，所以，所以，所以．

7．A 本题考查在函数的图象与性质．因为函数为非奇非偶函数，所以函数图象不关于轴对称，排除选项C，D，当时，函数值，故排除选项B．

8．B 本题考查中国传统文化与古典概型，设事件“从打击乐器和弹拨乐器中任取两音，含有弹拨乐器”，从打击乐器和弹拨乐器中任取两音的基本事件有：（金、石），（金，木），（金，革），（金，丝），（石，革），（石，丝），（木，革），（木，革），（木，丝），（革，丝）；含有弹拨乐器的基本事件有：（金，丝），（石，丝），（木，丝），（革，丝），所以．

8．C 本题考查在空间中的线面关系．若，，可能为异面关系，故选项A不正确；

若，，可能为平行、相交或异面关系，故选项B不正确；

由面面垂直的判定定理，若，，则，故选项C正确；

若，，由面面垂直的性质定理知，当时，，故选项D不正确．

10．C 本题考查逻辑推理．由题意乙说：“丁应该是第一名”，丁说：“我不赞同乙的判断”，说明这两位同学有一个判断正确，另一个判断不正确，所以甲、丙判断不正确，所以获得这次演讲比赛第一名的人减是丙．

11．C 本题考查三角函数的图象与性质．由题意可得，因为函数的最小正周期是，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以或，因为，所以．

12．A 本题考查等差数列的综合应用．因为，所以数列是以为首项，4为公差的等差数列，所以．

解题技巧：本题为等差数列的综合应用，有一定的思维量，先确定数列是那一种数列，因为，所以数列为等差数列；再根据，求出首项的值，最后利用等差数列的项和公式即可算出结果．

13． 本题考查简单的线性规划，先作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，联立，解得，当目标函数过点时取最大值，所以．

14． 本题考在求等比数列的基本量．因为，，所以，解得或（不合题意，舍去）．

15． 本题考查多面体与球．因为，，，所以底面．因为点到底面距离为1．所以．因为，，，所以平面，故B，，即该球的直径为，．所以球的半径为，．

16． 2 本题考查抛物线的定义与平面几何知识．过点作准线的垂线，垂足为，与辅交于点，因为，所以，所，所以，根据抛物线的定义知．因为，所以，所以．根据抛物线的性质：，所以，解得，所以．

【温馨提示】2019年全国Ⅱ卷出现了两空题，2020年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都有一定概率出现两空题，故此题设置两空．

17．解：本题考查解三角形．

（1）因为，，所以．

在中，由正弦定理得，即，解得．

（2）在中，由余弦定理得，

即，解得或（不合题意，舍去）．

18．解：本题考查用频率估计概率、独立性检验．

（1）由调查数据，男学生愿意投入到新生接待工作的比率为，所以男学生愿意投入到新生接待工作的概率估计值是0.75；

女学生愿意投入到新生接待工作的比率为，所以女学生愿意投入到新生接待工作的概率估计值是0.5．所以男生愿意投入到新生接待工作的概率更大．

（2）因为的观测值，

所以有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．

19．解：本题考查线面平行，点面距．

（1）连接，设，连接，因为在四棱柱，，分别为，的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面．

（2）连接，，，因为，平面，所以，所以．因为，，设点到平面的距离为，所以，所以，因为为的中点，所以点到平面的距离．

20．解：本题考查椭圆．

（1）因为，所以，因为为等边三角形，所以，所以．

所以椭圆的标准方程为．

（2）当直线的斜率不存在时，可得，，所以，所以直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，设，．联立，化简得，所以，，，因为，，所以，所以解得或（舍去），所以直线的方程．

21．解：本题考查函数的极值与证明不等式．

（1）因为，所以当时，，因为当时，0' altImg='8baaf0ef5eac596ebf01a45909545fc1.png' w='75' h='21' class='_5'>；当时，；当时，0' altImg='8baaf0ef5eac596ebf01a45909545fc1.png' w='75' h='21' class='_5'>；所以函数在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数有极大值，当时，函数有极小值．

（2）由，可得，即，化简可得，因为，所以，即，设，构造函数，0' altImg='b7969cca32fad46fa3207f3c1f782763.png' w='168' h='54' class='_5'>，则，则有，从而有．

【解题技巧】本题为导数的综合，当证明结果较繁时我们一般可以利用分析法对其进行化简，找出要证明问题的本质；对于双变量问题，可以利用构造函数法，把双变量转化为单变量，再利用导数去探讨它的相关性质．

22．解：本题考查在极坐标与参数方程．

（1）由已知曲线的普通方程为，即，因为，，

可得，化简为．所以曲线的极坐标方程为．

直线的参数方程：（为参数，）．

（2）设对应的参数分别为，，

将直线的参数方程代入并整理，得，

所以，，

又为的中点，所以，

因此，，

所以，即．

因为，所以，

从而，即，．

23．解：本题考查绝对值不等式的解法．

（1）因为，，所以

因为．当，解得；，解得，当，解得，所以原不等式的解集为．

（2）因为，，所以，所以，因为不等式有解，所以，即，所以实数的取值范围是．