借助于标准正态分布表求值
例 设![]()
8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png服从![]()
a263792f24431eedaec005a80696abb0.png，求下列各式的值：
（1）![]()
1ff7e327472a0721517a941d1edb70fd.png （2）![]()
f87cdc4e96ad3b050a7630810137ff97.png （3）![]()
bba87e10c0cd02d4ceacb1acf8ca5b88.png
分析：因为![]()
8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png用从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值．但由于表中只列出![]()
c42c2337e22524aa1ec8c855ad686032.png的情形，故需要转化成小于非负值![]()
e13259d2529b4e564252208883274335.png的概率，公式：![]()
3a878d31321b850177df2f2c54d28712.png和![]()
6b086c9220a70f9ce7a4af7b105d674e.png有其用武之地．
解：（1）![]()
20945a7036f7508454327a14a4913d27.png
（2）![]()
e340061230f4743231fb554083de7d0c.png
（3）![]()
ce55e6c2e93f974335bee745064c56cf.png
![]()
9e686237a31019bbdd106bad0cf5bfaf.png
说明：要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便．相反其简捷的效果更突出了核心内容．左边的几个公式都应在理解的基础上记住它，并学会灵活应用．
求服从一般正态分布的概率
例 设![]()
6f2f7304141c15bf565f34aa10b8e335.png服从![]()
42e89fed36c1347ab15f64fc46d4e48c.png试求：
（1）![]()
61cd91191e7278ba5dded5077456057b.png （2）![]()
efe7a03609124e13117324275e43cafa.png
（3）![]()
654370edba941191997cc93adb2e182c.png （4）![]()
2bbbd2b525cdd65ffdee0429c681abcb.png
分析：首先，应将一般正态分布![]()
a945d9b9fc9d33d11624752789d8bb54.png转化成标准正态分布，利用结论：若![]()
9b011b976b37a01c59338c184c588f65.png，则由![]()
8ed35a89a04ff8ed9e61f1b964c792f8.png知：![]()
c0640700030bc250f9a6d53ed9164e62.png其后再转化为非负标准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果．
解：（1）![]()
3e04ead5dfc9ff168e513ed1ace278d3.png
（2）![]()
6db4a62a3635aa69cf37b8575fbd77f9.png
（3）![]()
33f2f22f4ca5b5652df04c807cd42178.png
（4）![]()
420d37d3e0b8029e4b4044be45d936b8.png
![]()
1f3a5ed2bfe1cbe9b7af3e182c2f406e.png
![]()
17f8b6cc0f1e930afdb8ebed69b2c85d.png
说明：这里，一般正态分布![]()
7899d37f2d9225c28092dca792df5b72.png，总体小于![]()
9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的概率值![]()
d76f2c4d6bdf142af5106c3f36e9e970.png与![]()
7c8dd1c91c135794fb2384dd7f4317a1.png和![]()
0911b013586db2b7b3931d576365e91e.png是一样的表述，即：![]()
de8700b1d484de425449ddae6b344908.png
服从正态分布的材料强度的概率
例 已知：从某批材料中任取一件时，取得的这件材料强度![]()
8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png服从![]()
af94ae6bfb0386ff34df9c6eb80b11d2.png
（1）计算取得的这件材料的强度不低于180的概率．
（2）如果所用的材料要求以99％的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合这个要求．
分析：这是一个实问题，只要通过数学建模，就可以知道其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”的问题；本题的第二问是一个逆向式问法，只要把握实质反向求值即可．
解：（1）![]()
8df0ed9fcbc01a42958c2c71b8357cd7.png
![]()
21deedc508c15f39cccd038854ff4729.png
（2）可以先求出：这批材料中任取一件时强度都不低于150的概率为多少，拿这个结果与99％进行比较大小，从而得出结论．
![]()
8d236ea563000f1eda94d9bf6240734a.png
即从这批材料中任取一件时，强度保证不低于150的概率为99.73％＞99％，所以这批材料符合所提要求．
说明：“不低于”的含义即在表达式中为“大于或等于”．转化“小于”后，仍须再转化为非负值的标准正态分布表达式，从而才可查表．
公共汽车门的高度
例 若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1％以下设计的，如果某地成年男子的身高![]()
47c5a99fe14e1a45af65a8e14adca692.png（单位：㎝），则该地公共汽车门的高度应设计为多高？
分析：实际应用问题，分析可知：求的是门的最低高度，可设其为![]()
d3cb0a4f68f48dcb146565b43a281e32.png，使其总体在不低于![]()
9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的概率值小于1％，即：![]()
ef12f3c37741e0ad35db40ec4e7b11a4.png，从中解出![]()
9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的范围．
解：设该地公共汽车门的高度应设计高为![]()
9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.pngcm，则根据题意可知：![]()
31ea31bbf7672042409bf628cd2e5ac3.png，由于![]()
47c5a99fe14e1a45af65a8e14adca692.png，
所以，![]()
3ca13de0bd5e51b7a5a491228e13277d.png
也即：![]()
2ea0aeec00105a98dc61398a41195aa9.png
通过查表可知：![]()
da77cff941d5a9acc8325b2793ce751d.png
解得：![]()
5fa4b49d757b31b18d43b12bbce0cd9d.png
即该地公共汽车门至少应设计为189cm高．
说明：逆向思维和逆向查表，体现解决问题的灵活性．关键是理解题意和找出正确的数学表达式．
学生成绩的正态分布
例 某班有48名同学，一次考试后数学成绩服从正态分布．平均分为80，标准差为10，问从理论上讲在80分至90分之间有多少人？
分析：要求80分至90分之间的人数，只要算出分数落在这个范围内的概率，然后乘以总人数即可，而计算这个概率，需要查标准正态分布表，所以应首先把这个正态总体化成标准正态总体．
解：设x表示这个班的数学成绩，则x服从![]()
5843708a70bb6d555d959b2a5965b88c.png
设![]()
d0b709fb36a59645aea04f1e60ac18cf.png则z服从标准正态分布![]()
a263792f24431eedaec005a80696abb0.png．
查标准正态分布表，得：
![]()
ae1350401824b75017761155d705f796.png
所以，![]()
fb5e06653aff8a4be528ba59100b863c.png
∴![]()
85f3e199729db23e3e9cce89635171b2.png．
说明：这类问题最容易犯的错误是没有转化成标准正态分布就直接求解，一般地，我们在解决正态总体的有关问题时均要首先转化成标准正态总体．
