易拉罐形状和尺寸的最优设王小妹 李梅

易拉罐形状和尺寸的最优设计

摘要

本文通过对多种易拉罐的测量和分析，建立并分析了关于易拉罐形状和尺寸的最优设计模型。

模型一.， 我们首先求出了在体积一定，表面积最小的情况下，易拉罐的高与半径比为1：2，通过比较测量数据，“红牛”的外形与所求结果基本相符，但“可口可乐”等绝大多数与实际测量值不相符，这说明材料厚度是设计时不可或缺的条件。这样求得高与半径比为1：4，这与大多数的易拉罐测量值相符合。有些易拉罐考虑到饮料产生的压强，则侧面与底面的厚度不可同一而论。相对铝制易拉罐而言铁制易拉罐不可一次冲压而成，所以还要以焊接接口的工作来判断优劣。我们再次通过极值法做出判断，即焊缝长度最短为最优。

模型二，考虑易拉罐上部的正圆台对模型一最优设计的影响，给出此情况下的最优设计。设圆柱体的半径为已知量，圆柱的高和圆台的高与半径为变量。在总体积是定值的限制下，求极值，得到使表面积最小时圆台的半径与高的关系。

模型三，模型的设计比模型二更完善，相对于其他模型更贴近于实际。此模型考虑到了易拉罐内部底面受压强影响，因而将底面设计成向里凸起的圆弧形，在体积一定的约束下，圆台部分体积一定要增大，此种情况下求出其最优解。

我们通过分析、计算设计出一新模型，同样达到减小易拉罐表面积的效果。因在同体积的容器中球体的表面积最小，在同材料的容器中球形的体积最小，我们由此入手分析。分别截去球体的两个对应的球缺，通过分析计算，得到易拉罐的最优设计综合考虑压强、环保以及材料最省，设计了一种兼顾各种优点的新型易拉罐。

关键词：易拉罐 函数极值 数值计算 尺寸最优设计

一 问题重述

我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

我们在研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题中，需要完成以下任务：

2． 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

3． 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

4． 设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

word/media/image1_1.png

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

5． 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

6． 用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

二 问题分析

求易拉罐的最优设计，此问题属于优化过程中一元函数求极值的问题。

在问题二中，题目假设了易拉罐为一个正圆柱体，我们首先从经济学角度考虑，厂家要节约成本，保证易拉罐在体积一定，表面积最小的条件下，求出这时高与半径的比值。

我们再从材料和制造工艺上考虑得出可口可乐的易拉罐最优化设计在于造价最低，由于各个部分使用的材料相同，所以最终可以将价格问题转化为各个部分的厚度问题，找出这时表面积最小时，高与半径之间的比值。

考虑到铁制易拉罐不是一次成型，而是焊接而成，推测在制造过程中除了节省材料外，可能还以焊接接口长度来判断优劣，我们根据这个想法能计算出体积一定时焊缝长度最短时高与半径的比例。

在问题三中，易拉罐的上面部分是正圆台，下面部分是正圆柱体。我们也把它分为两部分来考虑，第一，不考虑罐的厚度作出合理的设计，第二，考虑罐的厚度做出最优设计。

针对问题四，我们结合以前学过的知识，通过我们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，在同体积的容器中球体的表面积最小，在同材料的容器中球形的体积最小考虑，保证满足要求前提下，设计一接近球体的模型。

。三 模型的基本假设

1. 易拉罐单位面积上厚度均匀。

2. 假设易拉罐容积为定值。

3. 假设易拉罐的形变忽略不计。

4. 假设易拉罐罐体材料单位面积厚度为常数。

5. 假设易拉罐罐体用同一种材料制成。

符号说明

5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png1） 易拉罐的容积

15df402d99d5ae494c0eec6b149b3dd9.png 2） 易拉罐侧面罐体材料的体积

4925ee5356b4ace0e28f0324cf3a81de.png3） 易拉罐顶部罐体材料的体积

12aff7a3dd429c727fb6b86474ab70e1.png4）易拉罐底部罐体材料的体积

1fe8e79d21f3da22743258a034d79193.png5) 易拉罐罐体材料的总体积

5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png6) 易拉罐的表面积

c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png7) 易拉罐的高d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

e2f66b6f97eb982536588a1bfa05ffbf.png8) 第三问中易拉罐圆台的高

9) 第三问中易拉罐圆柱体的高

8094c66f3a2df3de351af1b956d7f1bb.png10)易拉罐底部凸其部分高度

e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png11) 易拉罐圆柱罐体的半径

4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png12)第三问中易拉罐上部圆台的小端半径

0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png13)易拉罐的壁厚

8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png14)比例系数

d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png15) 焊接缝长度

2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png 16)圆台的母线长

f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png 17)球的直径

d2cf25def1205d8c5c5a960fb8255340.png18)球上表面球缺高度

3267a02b35a5d2299158216e3f7bfc79.png19）球下表面球缺高度

五 模型的建立与求解

1. 当易拉罐罐体为正圆柱体时的最优设计

由于考虑到成本的问题，所以最优设计首先要在容积固定的时候，易拉罐的哪种形状所用原料最省，我们利用多面体和旋转体的表面积和体积公式，计算出了每种包装的实际容积和表面积，通过计算我们发现，“红牛”标注的体积和实际体积都比“露露”的大，而表面积却比“露露”的小，所以就可以转换成了这样一种数学问题：当体积不变, 圆柱的表面积最小时，半径与高满足什么样的关系？我们用一元函数极值的方法来解决。

9f6e96f50b70733e01c20513f36c02de.png

106ac156992464361f03234ed554cce1.png

求临界点，令其导数为零，得：

968d6848c6da15dcfd2ca26d86781753.png

3cdcfa66156e1557502781190de9f951.png

代入H中得：

74d8bc3d4fc0ec81d2196be89a8a2903.png

经过计算，我们得出当表面积最少时，圆柱体高度等于2倍半径。即罐体的轴截面为正方形，罐体表面积最小 。通过观察数据（见附录）发现，只有“红牛”的包装很接近于等边圆柱。

经过进一步的观察，我们发现“露露”和“红牛”用的是薄铁材料，而“可口可乐”用到的是薄铝材料，“露露”和“红牛”的易拉罐是焊接，“可口可乐”的易拉罐是一次冲压制成的，各个壁的厚度不同。我们引用了常量0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png来表示易拉罐侧面材料的厚度，用 2c68e1d50809e4ae357bcffe1fc99d2a.png 来表示易拉罐顶盖材料的厚度。

易拉罐侧面所用材料体积为：

20fe0b90df1e67b521221820d5026dea.png

易拉罐顶盖材料体积为：

d3e6dc3ccda8ab7483644577a152f6f5.png

易拉罐底盖材料体积为：

d39b10a8556964fb6be8fa7c6ab49237.png

我们记：

f823f048a33b2bbaa7436d0ee4523538.png

可以得到以下数学模型：

目标函数：

a0b10f5f611845990658f4a212838cfd.png

约束条件：

3c03a9d11cc4e5ecd2aade55e816031d.png

即要在体积一定的条件下, 求罐的体积最小的 R,H 和K, 这是一个求条件极值的问题.

模型的求解：从约束中解出一个变量，化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题

求临界点: 令其导数为零

64b0a2d4b1309b194ea015989f477162.png

解得临界点为:

4bd30cd7e29432d91968c955bb9a62c9.png

因此

57076db84bcb71a84a9c3db147ab4ae9.png

ad8df4a4d4418dc1eaf5e45798b2d64a.png

经过测量（见附录），易拉罐顶部材料厚度大约为侧面厚度的3倍，所以当我们考虑到易拉罐各个壁的厚度时，易拉罐的最优设计为：0e01ec9f6bd24805f7f6f249bf9ddacd.png

计算S 的二阶导数：

6167c2459167708d50a6634917bbe200.png

所以R 为最小值。

在制造铁制易拉罐过程中，除了节省材料外，可能还以焊接接口的工作多少来判断优劣，通过比对资料，我们会发现“红牛”的罐身铁皮比“露露”罐身铁皮略厚，可能造价要高，所以“红牛”主要考虑的应该是节省材料，“露露”易拉罐可能考虑的是焊缝的长短。即当体积一定时，以焊缝最短为最优，计算出焊缝长度最短时高与半径之间的比例。

焊接缝长度：

7cea4fc2160e6e516e858e1d5326d4de.png

罐身体积：

7f5bc0a8cef98063f56fc17a4a0e2580.png

代入得：

16445950733044e4cbcafd2cf1096473.png

求临界点: 令其导数为零

cbde8a7ba74fa8763ee1be6c0fea3c0d.png

得:

1ce95503591d1d9772836eae3befaf74.png

即当8a8197ba50a7ad88caeac357bbc306b7.png时，“露露”的设计焊接接口是最短的。

2. 当易拉罐上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体时的最优设计。

考虑到易拉罐的壁厚与盖顶的厚度不同，设壁厚3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png，盖顶厚2feedc1aaf872b15d677c664a9cc7a11.png，粗略的计算, 可以把饮料罐的体积看成两部分，一为正圆台的体积，二是正圆柱的体积。

其总体积为：

fbdc332ea496108f0d531b00a84f8d96.png

6845f02d29052c8ff484d2c8b1e5e8e9.png

其表面积为：

be3dd743f53a6b6492c6e85829303bc8.png

将bd3e5f3199896dfe9791ade3db413154.png代入5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png得：

f8dc1ff959e3ccaac37d821048025662.png

用Mathematica 4.0 求出 关于4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png,e2f66b6f97eb982536588a1bfa05ffbf.png的偏导

结果为：

word/media/image55_1.png

word/media/image56_1.png

令

5a071a750dfe60eebf962624542a14b2.png

求得结果代入所测数据发现当c623e3f5cc7076ecc1fbb3e975c1cf75.png 时，此时用料最省。

因为实际中底部的形状是上拱的, 顶盖实际上也不是平面的, 略有上拱，易拉罐顶盖的冲压也与物理、力学、工程或材料方面等方面有联系，所以与实际的数据有偏差。

3. 对易拉罐的尺寸和形状的最优设计

方案一

我们用Mathematica 4.0做出了最优设计时易拉罐的尺寸和形状。

程序如下：

word/media/image59_1.png

word/media/image60.gif

在这种形状下，易拉罐下底部凸其部分体积为：

2019ddf2e2f80acd35d269ed89b71f7d.png

易拉罐上部圆台体积为：

ce3b8d911799266fa906748e956bb45a.png

因为易拉罐总的体积不变，中间为正圆柱体，所以：

3a7afccb5e05dc73240b197c1babdc6c.png

b68eab5fd2bff3a829e7bca07031a624.png

b6ff907c8e7b0b17fd28b47b19e5a514.png

算出此时易拉罐表面积为：

9974c3fc1a7568a70a975ae800e8eac9.png

当S最小时, 发现现行汽水易拉罐r与8094c66f3a2df3de351af1b956d7f1bb.png的比设计使得用料最省。

方案二

由于球的面积公式为60b392f622c7898961dac985d72e8623.png，体积b08911ce84bd29d2e0aedeb26e49eb3d.png，当体积一定时设计为球形最节省材料。但是设计成球状以后又面临了运输问题，堆垒问题等，所以我们还需要在球的上下各削一球缺，使之变成类似“鼓状”，这时表面积变为：

d1a571e3099c304da8c9d60c5fa1bfce.png

用Mathematica 4.0求出当S最小时，d2cf25def1205d8c5c5a960fb8255340.png，3267a02b35a5d2299158216e3f7bfc79.png的值。

程序如下：

word/media/image73_1.png

运行结果如下：

word/media/image74_1.png

所以可能出现：

上圆缺高：54.4mm,下圆缺高：54.4mm

上圆缺高：5.8mm,下圆缺高：54.4mm

上圆缺高：54.4mm,下圆缺高：5.8mm

上圆缺高：5.8mm,下圆缺高：5.8mm

从美观以及更人性化的设计，可以把“鼓体拉长”，设计为如下图形状：

由于条件限制，我们很难对由此产生的生产成本的改变给出理想的预测。

六 模型的评价

1. 本模型建立比较简单，易于求解。

2. 所用知识都比较初等，解决问题的方法比较易于理解。

3. 在问题一中，我们测量了多种规格的易拉罐，为后面的论证提供了准确的数据。

4. 在问题二中，我们充分考虑了易拉罐优化设计的多种可能性。

5. 忽略了其他因素造成易拉罐的变形，优化了解题过程。

6. 运用了数学软件mathmatice, 求解速度很快，而且结果准确。

7. 使用表格对数据进行分析，使读者一目了然。

8. 用图示法给出解析，使解题过程更清晰。

七 参考文献

[1] 姜启源，《数学模型（第二版）》，高等教育出版社。

[2] 焦光虹，《数学实验》，科学出版社。

[3] 朱道元，《数学建模精品案例》东南大学出版社

[4] 可口可乐罐头为什么是这种样子

http://www.tzvtc.com/jcb/upload/news_20051124182151.doc，2006.9.17