3.4.1 基本不等式的证明（2）
教学目标：
一、知识与技能
1．进一步掌握基本不等式；
2．学会推导并掌握均值不等式定理；
3．会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三等四同．
4．使学生能够运用均值不等式定理来研究函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用．
二、过程与方法
通过几个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值．
三、情感、态度与价值观
引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．
教学重点：
均值不等式定理的证明及应用．
教学难点：
等号成立的条件及解题中的转化技巧．
教学方法：
先让学生回顾两个重要不等式，然后由两个具体问题入手让学生分组讨论得到两个最值定理（其证明可由学生完成），然后通过一些例题来讲解如何利用最值定理求最值，并让学生从中体味出如何创设情境用定理．
教学过程：
一、问题情境
提问：我们上一节课已经学习了两个重要的不等式，请同学们回忆一下，这两个重要不等式叙述的内容是什么，“等号”成立的条件是什么？
学生回答：
1．如果
2．如果,
是正数，那么
老师总结：
我们称的算术平均数，称
的几何平均数，
成立的条件是不同的：前者只要求
,
都是实数，而后者要求
,
都是正数．
二、学生活动
提问：
生答：有，最大值为4．
问题2：如何求出最大值的呢，何时取到最大值的．
生答：，当且仅当
时取“＝”．
问题3：如果将问题1中条件改为
，那么
有无最值呢？
生答：有最小值4．当且仅当
时取到．
问题4：请同学们分组讨论能否由问题1及问题3推广至更一般的结论出来，学生讨论完后，在学生回答的基础上得出以下最值定理．
三、建构数学
最值定理：已知都是正数， ①如果积
是定值
，那么当
时，和
有最小值
；②如果和
是定值
，那么当
时，积
有最大值
．
证明：∵， ∴
，
①当 (定值)时，
∴
，
∵上式当时取“
”，
∴当时有
；
②当 (定值)时，
∴
，∵上式当
时取“
”∴当
时有
．
说明：最值定理是求最值的常用方法，但应注意以下几点：
①最值的含义（“”取最小值，“
”取最大值）；
②用基本不等式求最值必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”．
③函数式中各项必须都是正数;
④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数时才能用最值定理求最值．
四、数学运用
1．例题．
例1 （1）求 的最值，并求取最值时的
的值．
解 ∵∴
，于是
，
当且仅当，即
时，等号成立，∴
的最小值是
，此时
．
（2）若上题改成，结果将如何？
解 ∵
，于是
，
从而，∴
的最大值是
，此时
．
例2 （1）求的最大值，并求取最大值时的
的值．
（2）求的最大值，并求取最大值时
的值
解 （1）∵，∴
．∴
．
则，当且仅当
，即
时取等号．∴当
时，
取得最大值4．
（2）∵0<x<2，∴0<x2<4，
∴，
∴当且仅当
，
即
∴当
例3 已知是正实数，若
，求
的最小值．
解 ∵是正实数，
，
∴，
当且仅当，即
时取等号，
∴当时，
取最小值
变题：若，求
的最小值．
解 ，
，
．
．
例4 求下列函数的值域:（1）；（2）
．
解 （1），
．
（2），当
时，
；当
时，
，
．
归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4) 写出正确答案.
2. 练习．
（1）已知，求
的最大值并求相应的
值．
（2）已知，求
的最大值，并求相应的
值．
（3）已知，求函数
的最大值，并求相应的
值．
（4）已知求
的最小值，并求相应的
值．
五、要点归纳与方法小结：
1．用基本不等式求最值必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；
2．运用基本不等式求最值常用的变形方法有：
（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；
（2）配凑出和为定值；
（3）配凑出积为定值；
（4）将限制条件整体代入．
一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及其变形的应用．
