全国100所名校2020年最新高考模拟示范卷（一）数学理科试题+答案+详解MNJ.Y

全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷（一）

（120分钟 150分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（ ）

A． B． C． D．

2．设复数，若，则实数（ ）

A．0 B．2 Ｃ． D．

3．若1，，4，，成等比数列，则（ ）

A． B．8 C． D．

4．下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（ ）

A．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年

B．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台

C．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台

D．从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%

5．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，如此进行“次构造”，就可以得到一条科赫曲线．若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（取，）（ ）

A．16 B．17 C．24 D．25

6．执行如图所示的程序框图，若输入的的值为4，则输出的的值为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

7．（ ）

A． B． C．1 D．

8．已知圆锥的底面半径、高、体积分别为、、，圆柱的底面半径、高、体积分别为、、，则（ ）

A． B． C． D．2

9．若，则（ ）

A． B． C． D．1

10．关于函数，，有下列三个结论：

①为偶函数：②有3个零点；③．其中所有正确结论的编号是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

11．已知抛物线的焦点为，的准线与对称轴交于点，直线与交于，两点，若，则（ ）

A．3 B． C．2 D．4

12．已知函数，则满足方程的实数的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．曲线在处的切线斜率为___________．

14．如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则_______．

15．已知正项数列满足，，则数列的前8项和___________．

16．已知双曲线的左、右顶点分别为、，点在双曲线上，若，则双曲线的焦距为_________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．已知的内角、、的对边分别为，．

（1）求角的大小；

（2）若的面积为，周长为，求的值．

18．如图，在四棱锥中，，．

（1）证明：平面．

（2）若是的中点，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

19．小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．规定第一次从小明开始．

（1）求前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率；

（2）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为，求随机变量的分布列与期望．

20．已知直线与椭圆交于不同的两点．

（1）若线段的中点为，求直线的方程；

（2）若的斜率为，且过椭圆的左焦点，的垂直平分线与轴交于点，求证：为定值．

21．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数只有一个零点，求实数的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；

（2）射线与曲线交于点（异于原点）、与直线交于点，求的值．

23．[选修4-5：不等式选讲]

已知函数，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围．

2020年普通高等学校招生全国统一考试

数学模拟测试参考答案

1．B 本题考查集合的交集运算．由题可知．

2．A 本题考查复数的概念．因为，所以，解得．

3．C 本题考查等比中项．．

4．D 本题考查统计图表与用样本估计总体．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2016年，这5次统计的公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是21.4万台，因为，故A、B、C项错误，D项正确．

5．D 本题考查对数的运算与估算．记初始线段长度为，“一次构造”后的折线的长度为，“二次构造”后的折线的长度为，…，“次构造”后的折线的长度为，则要使得到的折线的长度达到原来的1000倍，应满足，，两边同时取对数得，得，．代入数据得，故至少需要通过构造的次数为25．

【失分陷阱】考生不能由复杂的背景抽象出数学模型列出不等式，考生的数学运算素养不够导致计算错误，最后一步得出结论时四舍五入导致错误．解答本题错误的原因主要是抽象概括能力不够与数学运算素养不扎实．

【满分秘籍】正确地由实际问题抽象出数学模型，平时训练扎实的数学运算素养．

6．B 本题考查程序框图．第一次循环，，；

第二次循环，，，．

此时不成立，输出．

7．C 本题考在三角恒等变换．．

8．A 本题考查圆锥、圆柱的体积．由题可知，．

9．B 本题考查二项式定理．取，可得．

10．D 本题考查函数的性质．，①正确；令，得或，解得或，②正确；因为，所以③正确．

11．C 本题考查抛物线的性质．连接，如图，过作准线的垂线，垂足为，易知，．易知直线过点，则，，则，，由抛物线的定义可得．

12．A 本题考查函数与方程的综合．由，可得，则．当时，由，解得；

当时，，．

令，，当时，，单调递减；

当时，0' altImg='3b0ab6d3a02e14796db5dfd36f21c4c0.png' w='84' h='21' class='_4'>，单调递增，则的最小值为．

故0,f(m)' altImg='b60351e2bf4937251221b1a114591103.png' w='225' h='43' class='_4'>单调递增，又，故当时，．

综上可知，当时，，满足．

【解题方法】本题首先应将条件化简，得出，其次，判断时，此方程无解，得出的结论，最后分段解出的范围．在解，时，注意特殊值，再结合函数与导数考虑的单调性．

13． 本题考查导数的几何意义．，．由导数的几何意义知曲线在处的切线斜率为．

14． 本题考查平面向量的基本定理．连接，则．

15． 本题考查数列的递推公式与数列求和．由题知数列是公差为2的等差数列，，令，则，．

16． 本题考查双曲线的性质．，．设，则．∵点在双曲线上，，，，，焦距为．

17．解：本题考查解三角形．

（1）因为，所以．

因为，所以，所以，．

（2），．

又，，，，解得或（舍），故．

18．解：本题考查线面垂直的证明与二面角．

（1）因为，所以，同理可得．

因为，所以平面．

（2）因为，所以、、两两垂直，以为坐标原点，

建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，所以，

因为是的中点，所以，

因为，，所以．

所以，，

设平面的一个法向量为，

由，得，

取，得．

易知平面的一个法向量为，设平面与平面所成锐二面角的平面角为，所以，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

19．解：本题考查随机变量的分布列与期望．

（1）一人投掷两颗骰子向上的点数之和为4的倍数的概率为．

因为第一次从小明开始，所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率

．

（2）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为，依题意可取0，1，2，3，

所以，，

，．

所以的分布列为

所以．

20．解：本题考查直线与椭圆的位置关系．

（1）设，则，两式相减得，

则，故直线的方程为，

即．

（2）由题知，故可设直线的方程为．

当直线的斜率时，，，此时．

直线的斜率不为0时，联立，可得，

设，由韦达定理知，，

则．

设的中点为，则，又，

故直线的方程为，令，得，

则，所以．

综上所述，为定值．

21．解：本题考查函数的单调性与零点．

（1）定义域为，．

当时，，的单调递减区间为，单调递增区间为；

当时，，的单调递增区间为，，

单调递减区间为；

当时，，的单调递增区间为；

当时，，的单调递增区间为，，单调递减区间为．

（2）由（1）知，当时，的最小值为，不合题意；

当时，，，

且当时，，∴此时符合题意．

当时，，，符合题意；

当时，，则在，上单调递增，在上单调递减．

，，且当时，，∴此时符合题意；

综上所述，实数的取值范围为．

【解后反思】导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明．由函数零点个数求参数范围常用方法有分离参数，借助函数的单调性考虑函数的图象与极值求解，或讨论函数的单调性，结合函数的极值和区间端点处的函数的正负求解．含参数的不等式的有解问题，可转化为恒成立问题来处理，后者以导数为工具讨论函数的单调性从而得到函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立．

22．解：本题考查参数方程与极坐标方程的转化、直线参数方程的几何意义．

（1），．

因为，所以，所以，

故曲线的普通方程为．

由，可得．

（2）将曲线化为极坐标方程，可得，将代入可得

，解得，同理可得，

所以．

23．解：本题考查绝对值不等式的解与恒成立问题．

（1）当时，，

当时，，解得，此时；

当时，，此时；

当时，，解得，此时；

综上所述，不等式的解集为．

（2）关于的不等式的解集包含在上恒成立．

因为，所以当时，不等式恒成立，

即在上恒成立，即，又，所以，

故的取值范围是．