2017年上海市初中毕业统一学业考试

数学试卷

考生注意：

1．本试卷共25题；

2．试卷满分150分，考试时间100分钟

3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；

4．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1．下列实数中，无理数是 （ ）

A．0； B．； C．； D．

2．下列方程中，没有实数根的是 （ ）

A．； B．； C．； D．．

3．如果一次函数（、是常数，）的图像经过第一、二、四象限，那么k、b应满足的条件是

（ ）

A．，且； B．，且； C．，且； D．，且．

4．数据2、5、6、0、6、1、8的中位数和众数分别是 （ ）

A．0和6； B．0和8； C．5和6； D．5和8．

5．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是 （ ）

A．菱形； B．等边三角形； C．平行四边形； D．等腰梯形．

6．已知平行四边形，、是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是 （ ）

A．； B．； C．； D．．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7．计算：____▲____．

8．不等式组的解集是▲．

9．方程的根是____▲____．

10．如果反比例函数（是常数，）的图像经过点，那么在这个函数图像所在的每个象限内，y的值随的值增大而___▲___．（填“增大”或“减小”）

11．某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米，去年比前年下降了．如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降，那么今年PM2.5的年均浓度将是___▲___微克/立方米．

12．不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一个球恰好为红球的概率是___▲___．

13．已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以是___▲___．（只需写一个）

14．某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如图1所示，又知二月份产值是72万元，那么该企业第一季度月产值的平均数是___▲___万元．

15．如图2，已知∥，，、相交于点．设，，那么向量用向量、表示为___▲___．

图1 图2 图3 图4

16．一副三角尺按图3的位置摆放（顶点与重合，边与边叠合，顶点、、在一条直线上）．将三角尺绕着点按顺时针方向旋转后（），如果，那么的值是___▲___．

17．如图4，已知，，，．分别以点、为圆心画圆，如果点在内，点在外，且与内切，那么的半径长的取值范围是___▲___．

18．我们规定：一个正边形（为整数，）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正边形的“特征值”，记为，那么___▲__．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（本题满分10分）

计算：

20．（本题满分10分）

解方程：

21．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）

如图5，一座钢结构桥梁的框架是，水平横梁长18米，中柱高6米，其中是的中点，且．

（1）求的值；

（2）现需要加装支架、，其中点在上，且，垂足为点．求支架的长．

22．（本题满分10分，每小题满分各5分）

甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，如图6所示．乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．

（1）求图6所示的与的函数解析式；（不要求写出定义域）

（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．

23．（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）

已知：如图7，四边形中，，，是对角线BD上一点，且．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）如果，且，求证：四边形是正方形．

24．（本题满分12分，每小题满分各4分）

已知在平面直角坐标系中（如图8），已知抛物线经过点，对称轴是直线，顶点为B．

（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；

（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结，用含的代数式表示的余切值；

（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果，求点的坐标．

25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）

如图9，已知的半径长为1，AB、AC是的两条弦，且，的延长线交于点，联结、．

（1）求证：；

（2）当是直角三角形时，求B、C两点的距离；

（3）记、、的面积分别为、、，如果是和的比例中项，求的长．

2017年上海市初中毕业统一学业考试

数学试卷参考答案

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1、B；

考察方向：基础概念。

知识内容：本题考查无理数的定义，选项设置分别为“自然数/整数”、“无理数”、“负数/整数”、“分数”

2、D；

考察方向：基础知识和基本技能/理解初中数学有关基础知识

知识内容：方程与代数/一元二次方程根的判别式

方法：本题考查一元二次方程的根与判别式的关系。经计算，D选项：。

本题也可通过配方的方式，得到答案。

3、B；

考察方向：基础概念，函数图像。

方法：数形结合。

知识内容：本题考查一次函数图像性质，经过二、四象限，可知，经过一、二象限，可知。

4、C；

考察方向：基础概念。

方法：数据重排。

知识内容：本题考查统计量基本概念，将数据重排：0，1，2，5，6，6，8，可看出中位数为，众数为。

点评：A选项如果不进行重排，可作为干扰项；但如果本题能将D选项改成“6和5”，那就会从审题上进一步提高干扰难度（看错中位数和众数的顺序）。

5、A；

考察方向：基础概念。

知识内容：本题考查轴对称基本概念，同时要求学生掌握各类四边形的基本形状特征。

6、C；

考察方向：几何图形性质判定。

方法：直接法。

知识内容：本题考查轴对称基本性质的应用--特殊的平行四边形，A选项对任意平行四边形均成立；B选项可得到对角线评分一组对角，因此是菱形；C选项可判定对角线的一半相等，因此对角线相等，从而是矩形，正确。D选项比较有挑战性，若能用直接法判定C选项，D可直接跳过，而D选项，由可推知，∴，因此，在画图的时候，可先画线段BD，然后以B为圆心，为半径做圆，在圆上任取不与BD相交的点，都可作为A点，因此D无法断定为矩形。

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7、；

考察方向：基础计算。

知识内容：本题考查幂指数运算。

8、；

考察方向：基础计算。

知识内容：本题考查不等式解法，以及通过数轴作图的方式得到不等式组最终答案。

9、；

考察方向：基础计算。

知识内容：本题考查根式方程。

点评：如果改为，既能考查根式方程，二次方程，又可以考查增根，考查效果会更好。

10、减小；

考察方向：基础概念及性质，概念计算。

知识内容：本题考查反比例函数性质，概念计算，经过点，可知在1，3象限，故填“减小”。

11、40.5；

考察方向：百分比概念，数学建模，基础计算。

知识内容：本题考查百分数的计算，认真审题之后，得到式子，即可得到答案。

点评：结合实际问题，需要考生认真审题，理清三年之间的关系即可。

12、；

考察方向：基本概念，概率计算。

知识内容：本题考查概率的计算，抽取1次，很基础的计算。

13、等；

考察方向：基础概念。

知识内容：本题考查二次函数顶点式，由题意可设置二次函数顶点式，任取，即可。

14、80；

考察方向：统计饼状图，审题。

知识内容：本题考查饼状图百分比计算，算出二月份占比30%，因此三个月总数240万，然后计算出一季度总产值108万，但此时特别注意问题“第一季度月产值的均值”，还要÷3．

15、；

考察方向：掌握向量加减基本方法。

知识内容：本题考查平行线性质，实数与向量相乘的几何意义，向量的加减．综合性较好，适合在15题开始抬升难度梯度．

16、；

能力要求：空间观念/能进行几何图形的基本运动和变化

知识内容：图形与几何/平行线的判定和性质

点评：题中有限制条件，旋转角在0~180°之间。从某种程度上降低了一定难度；本题如果进一步改编，如果“”难度就可以上升到17题水平。相应解法使用“高”。

17、；

能力要求：空间观念/能够从复杂的图形中区分基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系

知识内容：图形与几何/平行线的判定和性质

点评：题中有限制条件，旋转角在0~180°之间。从某种程度上降低了一定难度；本题如果进一步改编，如果“”难度就可以上升到17题水平。相应解法使用“高”。

解析：设半径为，则

18、；

能力要求：解决简单问题的能力/初步掌握观察、操作、比较、类比、归纳的方法；懂得“从特殊到一般”、“从一般到

特殊”及“转化”等思维策略。

知识内容：图形与几何/多边形及其有关概念，锐角三角比

点评：本题只需弄清概念即可，针对问题的情况，画图，然后明确角度，将提干的定义转化为合适的三角比，本题即可求解。

解析：如图，在正六边形中，是一条最短的对角线，是一条最长的对角线.，，所以

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（本题满分10分）

能力要求：基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算

知识内容：数与运算/实数的运算；方程与代数/分数指数幂的概念和运算；方程与代数/二次根式的性质及运算

解析：原式

20．（本题满分10分）

能力要求：基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算

知识内容：方程与代数/分式方程的解法

解析：去分母，得．

移项、整理得．

解方程，得，．

经检验：是增根，舍去；是原方程的根．

所以原方程的根是．

19、20题点评：两道基础计算题，并没有特别大的变化，只需要保证计算的正确率和过程的完整性，就可以不失分。

21．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）

能力要求：

（1）运算能力/知道有关算理，能根据问题条件，寻找和设计合理、有效的运算途径

（2）运算能力/知道有关算理，能根据问题条件，寻找和设计合理、有效的运算途径

运算能力/能通过运算进行推理和探求

知识内容：

（1）图形与几何/等腰三角形的性质

图形与几何/勾股定理

图形与几何/锐角三角比（锐角的正弦、余弦、正切、余切）的概念

（2）图形与几何/画已知直线的垂线，尺规作线段的垂直平分线

图形与几何/勾股定理

解析：（1）∵是中点，，∴

又∵，且，∴在中，

∴

（2）∵，∴．

∵，，∴，∴，

又∵，，∴，，∴

∴在中，

22．（本题满分10分，每小题满分各5分）

能力要求：

（1）解决简单问题的能力/知道一些基本的数学模型，并通过运用，解决一些简单的实际问题

（2）基础知识与基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算

知识内容：

（1）函数与分析/用待定系数法求一次函数的解析式

函数与分析/一次函数的应用

（2）函数与分析/函数以及函数值等有关概念

解析：（1）设关于的函数解析式为

由题意，得，解得

（2）设乙公司每个月收取费用为，由题意，。

若，代入第（1）问，得甲公司方案费用：

代入的解析式，得乙公司方案费用：

∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．

点评：第二问中关于乙公司的函数关系，需要用分段函数的表示，然后利用函数值的大小比较得到最终的答案。

23．（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）

能力要求：

（1）逻辑推理能力/能简明和有条理地表述演绎推理过程，合理解释推理演绎的正确性

（2）空间观念/能够从复杂的图形中区分基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系

知识内容：

（1）图形与几何/平行四边形的判定和性质

图形与几何/等腰三角形的性质

图形与几何/菱形的判定和性质

（2）图形与几何/等腰三角形的性质

图形与几何/三角形的内角和

图形与几何/正方形的判定

解析：（1）∵，∴,

∴

又∵,∴,

∴,∴,

∴,又∴四边形是平行四边形

又,∴是菱形，即证

（2）∵，∴是等腰三角形，∴

∵，∴设，则

在△中，，∴．

∵四边形是菱形，∴平分，∴

∴菱形是正方形

点评：23题证明并未涉及相似的知识点，仅考察八年级下内容，题目较为简单。

24．（本题满分12分，每小题满分各4分）

能力要求：

（1）基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画（作）图

（2）基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画（作）图

运算能力/知道有关算理，能根据问题条件，寻找和设计合理、有效的运算途径

（3）逻辑推理能力/能简明和有条理地表述演绎推理过程，合理解释推理演绎的正确性

基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画（作）图

知识内容：

（1）函数与分析/待定系数法求二次函数解析式

函数与分析/函数值等有关概念

（2）图形与几何/锐角三角比的概念

图形与几何/平面直角坐标系的有关概念

（3）图形与几何/直角坐标平面上点的平移、对称以及简单图形的对称问题

函数与分析/函数值等有关概念

解析：

（1）对称轴 ，代入点，得.

所以抛物线的解析式为.

配方得：，所以顶点的坐标为.

（2）过点向抛物线的对称轴作垂线，垂足为.则

在Rt△中，，，

所以．

（3）原抛物线向下平移后得到的新抛物线的解析式为.

由题意可设 ，因为、两点的横坐标相同，当时，

、两点的纵坐标互为相反数，所以 ，

所以. 解得或.

所以点的坐标为，或

答案：（1）;

（2）

（3）或

25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）

能力要求：

空间观念/能够从复杂的图形中区分基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系。

空间观念/能由基本图形的性质导出复杂图形的性质。

逻辑推理能力/能简明和有条理地表述演绎推理过程，合理解释推理演绎的正确性

运算能力/能通过运算进行推理和探求。

解决简单问题的能力/初步掌握观察、操作、比较、类比、归纳的方法；懂得“从特殊到一般”、“从一般到特殊”及“转化”等思维策略。

知识内容：

（1）图形与几何/圆的概念

图形与几何/相似三角形的判定和性质及其应用

（2）图形与几何/等腰三角形的性质与判定

（3）数与运算/比、比例和百分比的有关概念及比例的基本性质

方程与代数/一元二次方程的概念及解法

解析：

（1）如图，因为，所以，.

所以

因为弦，所以圆心角，所以.

又因为，所以△△.

（2）为直角三角形有两种情况：

①如图，当时，，所以垂直平分，.

所以△是等边三角形，是等边三角形的中心，此时.

②如图，当时，△是等腰直角三角形，此时.

（3）如图，因为，所以点到弦的距离相等

所以：

当是和的比例中项时，即：

所以点是线段的黄金分割点，

所以，所以

.

答案：

（1）证明见解析

（2）或

（3）