2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷模拟测试试题（一）（解析版）

2020年普通高等学校招生全国统一考试

数学模拟测试

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合19b94a0fdbddc85d986510582f27e75b.png，43336d5e0cbc90ad0f5e794c0971fc7b.png，则1e49ca292213f572d50c447279071024.png（ ）

A. 73c5fac348c5529c89293e472d6e3c92.png B. 700ce5d0294fcffb0a10773418ca2e41.png C. 48ef615cde99a7b3589c023507676125.png D. e92055b150005ed4f9449d766c895d53.png

【答案】B

【解析】

【分析】

注意集合B是偶数集.

【详解】由题可知7778e629d9e38cd59611c76e858f2eee.png．

故选：B.

【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

2.设复数c1cea1def279bd331bfa0cd18d42a92d.png，若92f991ca6e01618a38020fa62694585b.png，则实数5ba758f9b6f95cbaf66a64bc24859213.png（ ）

A. 0 B. 2 C. 768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png D. 02e3c1cfd03c87011d3b438dee3b08c4.png

【答案】A

【解析】

【分析】

利用共轭复数及复数相等的定义即可得到答案.

【详解】因为92f991ca6e01618a38020fa62694585b.png，所以3c4a51610b375e81ffb42e30ef7daf5f.png，解得ded681eaa02d11064c9a469dd1b3e04c.png．

故选：A.

【点睛】本题考查复数的概念，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.

3.设命题83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png：存在b53e268b26b5bedc5ae43972ca2a41bc.png，则d35c8cbd467e79fec06b84657d4c137b.png为（ ）

A. 存在3e609bccaee283fd84f64a1a22ff0469.png B. 不存在b53e268b26b5bedc5ae43972ca2a41bc.png

C. 对任意3e609bccaee283fd84f64a1a22ff0469.png D. 对任意309226b2133f663256975d0225cd310b.png

【答案】C

【解析】

【分析】

43a6b0a6b6d95d23263a8424bb88668a.png的否定为f68543d69727dd29d1c08807b7f4b3c6.png.

【详解】由于特称命题的否定是全称命题，知“存在b53e268b26b5bedc5ae43972ca2a41bc.png”的否定为“对任意3e609bccaee283fd84f64a1a22ff0469.png”.

故选：C.

【点睛】本题考查含量词命题的否定，考查学生对特称命题否定的理解，只需将存在改为任意，“>”改为“≤”即可.

4.0bca235dde0ec4db989d7fd9429241e4.png（ ）

A. 93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png B. d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png C. 1 D. aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png

【答案】C

【解析】

【分析】

注意到22157c33ff79ace2e3f37db766da2f02.png，结合同角三角函数的基本关系即可得到答案.

【详解】a324d5c451fe95f40adf3ac88a7c514b.png

6e8951936a3c4bf3e78f6f436409ddb8.png.

故选：C.

【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，涉及到配角的知识，是一道容易题.

5.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取a6e677d0e3c26ee4d8e5edf500a540bf.png，59a696c38155ce46f19fc558fe4585b2.png）

A. 16 B. 17 C. 24 D. 25

【答案】D

【解析】

【分析】

由折线长度变化规律可知“7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png次构造”后的折线长度为73ccb2e10416d1897e90012c6de32ece.png，由此得到351a7dfc2de15c603e9dcc0799298f1a.png，利用运算法则可知5b0ad1d8b0576fa95b56c4ac2d1d2e22.png，由此计算得到结果.

【详解】记初始线段长度为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，则“一次构造”后的折线长度为b1bc820af37e3f6b622c172475d8ae09.png，“二次构造”后的折线长度为f3f681391c92f3f13933fffbcbb489fb.png，以此类推，“7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png次构造”后的折线长度为73ccb2e10416d1897e90012c6de32ece.png，

若得到的折线长度为初始线段长度的a9b7ba70783b617e9998dc4dd82eb3c5.png倍，则b533b332baa2943565a9fad111eff153.png，即351a7dfc2de15c603e9dcc0799298f1a.png，

a37fc9f43965e092481d5e9d8c0e4640.png，

即43e4bf3f33d4cd93b820c44efde4b9a4.png，95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png至少需要8e296a067a37563370ded05f5a3bf3ec.png次构造.

故选：f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png.

【点睛】本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.

6.已知直线155307be2cf4893944351e234660dbe0.png将圆73aad13f50fe22ce9257278153ff4c32.png平分，则圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png中以点2d553fce18ea0c909925375b72b9357a.png为中点的弦的弦长为（ ）.

A. 2 B. 44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png C. 68d9c09d99cc222af7e825a07a0f3065.png D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

由直线平分圆可知其过圆心，从而求得0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，根据圆心与弦中点连线垂直于弦，可利用勾股定理求得半弦长，进而得到弦长.

【详解】f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png直线155307be2cf4893944351e234660dbe0.png平分圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png，95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png直线155307be2cf4893944351e234660dbe0.png过圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的圆心2149acae23672056cfee74fbaeee7d78.png，

3cda788393e728fe98a3652528659c56.png，解得：3d7b566aaed7713dfc5583dfc4b9c386.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png圆心2149acae23672056cfee74fbaeee7d78.png到点2d553fce18ea0c909925375b72b9357a.png的距离为b63c1f64b8eb0b78b542b598d9097e46.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png所求弦长为59bf008eaf8359816731eb139e008896.png.

故选：92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png.

【点睛】本题考查直线被圆截得弦长的求解，关键是熟练掌握圆的性质，即圆心与弦中点连线垂直于弦.

7.关于函数13d8d0e0b7435677206d38e917584f2b.png，7020c046abaf8fb3fd93c562a65e5f08.png，有下列三个结论：①50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png为偶函数；②50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png有3个零点；③6986f9713f545c62ec2ac3c4c3c496e4.png，其中所有正确结论的编号是（ ）

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③

【答案】D

【解析】

【分析】

依次对①②③进行验证即可.

【详解】0d32c7ca696ced09de3996cd4004bdef.png，①正确；令fd05d8d90456c441c8f10641bd8576bc.png，得e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png或1b80e3aecb36493a115514677a0d5c61.png，

解得e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png或0e53efc77cd83d94e265a0f802f260ea.png，②正确：因为9795f3b3d2f183d1ef0a025972bacb11.png，

所以③正确．

故选：D.

【点睛】本题考查函数的基本性质，涉及到函数的奇偶性、函数的零点、函数值大小，是一道容易题.

8.已知抛物线2bfa21cb9c672e76f330afbc1d267644.png的焦点为800618943025315f869e4e1f09471012.png，92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的准线与对称轴交于点c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png，直线478d227790431118d6a5cfed88768179.png与92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png交于7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png两点，若f7d20e038c4bba475bf3b77c53a498e2.png，则32f248ff8079b24ebb3156b6d09d5c4c.png（ ）

A. 3 B. e93aef3644f3a0e2ffc48ff352d29ac4.png C. 2 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

注意到直线478d227790431118d6a5cfed88768179.png过点c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png，利用2b003f6e359c6f433ada13f1547c4639.png7144ad4e492ee90ed24c8d957e679040.pngf7d20e038c4bba475bf3b77c53a498e2.png，可得926ccbbf5b6fc093b62fa3c163cf23a4.png，再利用抛物线word/media/image83_1.png定义即可得到答案.

【详解】连接06fa567b72d78b7e3ea746973fbbd1d5.png，如图，过7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png作准线的垂线，垂足为69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，易知点0e5e317129f98ace5869f015d0f7f830.png．易知直

线478d227790431118d6a5cfed88768179.png过点c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png，7d95b6dca9d46a9f354dc192ddfd440f.png，则c860a88f22b6d0a818933f1b3f466f31.png又f7d20e038c4bba475bf3b77c53a498e2.png，

所以926ccbbf5b6fc093b62fa3c163cf23a4.png，由抛物线的定义可得32f248ff8079b24ebb3156b6d09d5c4c.png926ccbbf5b6fc093b62fa3c163cf23a4.png.

故选：C.

【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到利用抛物线的定义求焦半径，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9.下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法错误的是（ ）

A. 私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年

B. 公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台

C. 公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台

D. 从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据统计图表分别对选项A、B、C、D验证即可.

【详解】私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2016年，A错误；这5次统计的公共类

电动汽车充电桩保有量的中位数是21.4万台，B错误；

因为b8d0d282b1a01e6f0f8f9ba6830a8f66.png，故C项错误，

D项显然正确．

故选：D.

【点睛】本题考查统计图表与用样本估计总体，涉及到中位数、平均数等知识，是一道基础题.

10.若c1a9ccf987e8e7d8494fa8e8b68bc731.png，则（ ）

Aword/media/image94_1.png 0be02a1af0355ee44b88aeabd6cc61f8.png B. 59baec94adb3b775ff6c507c66182f54.png

C. 183027467ae863493551f9481c05de6e.png D. 56e923d2c5a0fbfeb3214c183baf9c87.png

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据选项的特点，采用赋值法求解.

【详解】因为c1a9ccf987e8e7d8494fa8e8b68bc731.png，

令e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png得0be02a1af0355ee44b88aeabd6cc61f8.png，故A正确.

令a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png得183027467ae863493551f9481c05de6e.png，故C正确.

故选:AC

【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的项的系数和系数的和，一般采用通项公式和赋值法，属于中档题.，

11.在直四棱柱fa74795710d68e6da45909b820cee7b1.png中，底面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png是边长为4的正方形，b87822772905011357bcd527d2a93ee4.png，则（ ）

A. 异面直线8699feecc8808315ee780ac97d864391.png与8cd95d37259253e14281ccc165dcabc2.png所成角的余弦值为640060b7aa07988ee707a248389ccfaf.png

B. 异面直线8699feecc8808315ee780ac97d864391.png与8cd95d37259253e14281ccc165dcabc2.png所成角的余弦值为463e10b4289d71d8f76004d317ee77b5.png

C. 0c40e35fa1a7fa26cddfc2f045df3730.png平面b64de1fda99c42bbc25cab3f62b2d18f.png

D. 点62aaced6e784a6a5b344b43850f98398.png到平面80c36590d423ec64b979bb1ecc933bcc.png的距离为e9d9ba6eedfb1ad2008aa2ee4e6be506.png

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据f6f6d660be50932b89fbcacd679bcd15.png，得到62af51638a171546c56fb4875a6a7482.png即为 异面直线8699feecc8808315ee780ac97d864391.png与8cd95d37259253e14281ccc165dcabc2.png所成角，再用余弦定理求解判断A，B的正误.根据f6f6d660be50932b89fbcacd679bcd15.png;利用线面平行的判定定理判断.C的正误..利用等体积法，有b627015bb2318b2d26396f77c31778c6.png 计算判断D的正误.

【详解】因为f6f6d660be50932b89fbcacd679bcd15.png，所以62af51638a171546c56fb4875a6a7482.png即为 异面直线8699feecc8808315ee780ac97d864391.png与8cd95d37259253e14281ccc165dcabc2.png所成角，

又因为8a6248c67664adcb43b1263d83917717.png ，

所以056179818e38a5b39f2174349ed2ceaa.png，故A正确.

因为e47bc994bf14dbc2ac9c7c214125febd.png平面b64de1fda99c42bbc25cab3f62b2d18f.png 5219fda686e1776d4a36f5ee40b7a1a4.png平面b64de1fda99c42bbc25cab3f62b2d18f.png，

所以0c40e35fa1a7fa26cddfc2f045df3730.png平面b64de1fda99c42bbc25cab3f62b2d18f.png，故C正确.

因为b627015bb2318b2d26396f77c31778c6.png ，

即e60428ddb5b9f51cd1bff66ac2b17fcd.png ，

解得43e25089387e7a8836a03fbf77bb741a.png ，故D正确.

故选:ACD

【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，线面平行的判定定理，等体积法求三棱锥的高，综合性强，属于中档题.

12.已知5a1df16448ceb8336620e6d4162cea45.png，存在实数6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png满足5072b1929b75194d27f514782ebf5991.png，则（ ）

A. 127e7da941a36b6b3a2e71ac0b8b8f70.png B. 668f270975371dc9e3395cfb18fbdec9.png可能大于0 C. 7a2c5ab61c9369200192b2df47e4dfc3.png D. 970f3ce8c719b36f33a9930300593c2b.png

【答案】AD

【解析】

【分析】

若0f37aa968641ed0ec29d338c9fc190a4.png，c8937b4a0484c68a24106da7d51d2c40.png，不满足题意；若127e7da941a36b6b3a2e71ac0b8b8f70.png，c85aa4a8f96e1740ae72ef56b4459226.png31bb8982dfe0f7c89712cad67815956f.pngcd83466187cab8f27f61a559b1a3ab8c.png，故只需解不等式127e7da941a36b6b3a2e71ac0b8b8f70.png即可.

【详解】由5072b1929b75194d27f514782ebf5991.png，可得014d80c3611b841910d2c0fae7441520.png．

若0f37aa968641ed0ec29d338c9fc190a4.png，则0b184d9bce84cd62c9389fac5bcb6e80.png，∵00afcade98fe9a60e857e9c9c6463c58.png，aa45872f90c5a8dcfcf815388d853f7b.png，

∴a55584a09ec26d1d55758f5f2a91e06c.png，0e1579276507ff1ed0a0a07872079b25.png，∴9608799c3e84379b783778c2d1a6f182.png，∴方程无解；

若127e7da941a36b6b3a2e71ac0b8b8f70.png，c85aa4a8f96e1740ae72ef56b4459226.png31bb8982dfe0f7c89712cad67815956f.pngcd83466187cab8f27f61a559b1a3ab8c.png，故只需解127e7da941a36b6b3a2e71ac0b8b8f70.png即可，

当65053788af3231c73e09059bbd81676e.png时，由d08fe9a4363c83b0a3c25896e37c1616.png，解得d784fe1f050c4a18db14cb3a49020c6a.png；

当0a0596a02eb219bd6336b93543a68c06.png时，由114ff9028f7875f75022f785df4488ff.png，解得84722ce65e821abfccdee52f0f0066bb.png．

综上所述，当970f3ce8c719b36f33a9930300593c2b.png时，127e7da941a36b6b3a2e71ac0b8b8f70.png，满足5072b1929b75194d27f514782ebf5991.png．

故选：AD.

【点睛】本题考查函数与方程的综合，涉及到分类讨论思想在分段函数中的应用，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13.曲线4ea819e111d534e0e1b13e397d615ce1.png在a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png处的切线斜率为_________．

【答案】8bbba5ae646f20c56d4c350dc12e1b5e.png

【解析】

【分析】

利用导数的几何意义即可解决.

【详解】∵947e007bc180a1db56d82637bd39b6bd.png，∴a998f29ada1fb33dbbb90b6520a91364.png．由导数的几何意义知曲线4ea819e111d534e0e1b13e397d615ce1.png在a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png处的

切线斜率为8bbba5ae646f20c56d4c350dc12e1b5e.png．

故答案为：8bbba5ae646f20c56d4c350dc12e1b5e.png

【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.

14.如图，在平行四边形cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png中，3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png为f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png的中点，800618943025315f869e4e1f09471012.png为3a52f3c22ed6fcde5bf696a6c02c9e73.png的中点，若b03d07c7a084798196933c2eafc4f32f.png，则260b6099fd117588a809e4fb924e1d63.png_________．

【答案】9df743fb4a026d67e85ab08111c4aedd.png

【解析】

【分析】

c51bcf14804b022533bac9bb208f8e69.png，将b9b4f5b9fc5822c92f50b69340aae397.png代入即可得到答案.

【详解】连接ea8a1a99f6c94c275a58dcd78f418c1f.png，433c436d1a19a10801376996017d467f.png，

则e312aebfbde6b9ffabd4aeab15d2d308.png．

故答案为：9df743fb4a026d67e85ab08111c4aedd.png.

【点睛】本题考查平面向量的基本定理的应用，考查学生简单的数学运算能力，是一道容易题.

15.已知圆锥6a65edb0cc17d66c677814115b1477f5.png的底面半径、高、体积分别为2、3、5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png，圆柱bfbebc0782222b0f8f991f1405ec537d.png的底面半径、高、体积分别为1、2510c39011c5be704182423e3a695e91.png、5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png，则4f4cb61e1d7320192628024e3d7c1e6e.png_________，圆锥6a65edb0cc17d66c677814115b1477f5.png的外接球的表面积为_________．

【答案】 (1). 4 (2). 6a1c9e66d2c2d81c9dd7574551c91641.png

【解析】

【分析】

利用圆锥和圆柱的体积相等可得圆柱的高h，再利用勾股定理，即95f103638e7a38b7cc6836fc3134d734.png即可得到半径R，从而求得外接球表面积.

【详解】依题有1ec3ed2f35eac084fa643ddafb43b5f2.png解得e37877e00955b2423c8a1aec7c84cccc.png．设圆锥6a65edb0cc17d66c677814115b1477f5.png的外接球的半径为e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png，

则有95f103638e7a38b7cc6836fc3134d734.png，解得e4a11bf4eeda8794b6ddd5bacd6df72f.png，则圆锥6a65edb0cc17d66c677814115b1477f5.png的外接球的表面积为

4df937c04d2c5f2422761074581510d0.png．

故答案为： (1) 4 ； (2) 6a1c9e66d2c2d81c9dd7574551c91641.png.

【点睛】本题考查圆锥、圆柱的体积以及圆锥的外接球问题，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.

16.已知双曲线1a2e7e4c79c088e7eb05fb3080635bea.png的左、右顶点分别为7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png，点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png在双曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png上，且直线06f6a489209115c5cef3f45036aad3ec.png与直线cd203ccd68b84de1c5df8fd890e104e0.png的斜率之积为1，则双曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的焦距为__________.

【答案】39b4572b4316b034d8778c77bd53db35.png

【解析】

【分析】

设3dd2b46fe0a6e95d1eed6b4e912a5229.png，利用斜率乘积为c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png和44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png在双曲线上可构造方程组求得a96f0cb529028f4b4e8c9848f247dc4e.png，进而得到d1361fe8d9cd3d38c0919846ab0d3d8e.png，求得焦距.

【详解】由双曲线方程知：fc2eb1ba356f38d2145cfec0ee2b863c.png，b3c143eb9660a7bab7880207cb385d72.png，

设3dd2b46fe0a6e95d1eed6b4e912a5229.png，则baa8a465be230ed4357002992cf36206.png，即5bb52db80386c7aa9e0c66b0c2f09d22.png，

又f611f3898268958b76a87fb107664962.png，eeaacc5fcd04df6307d6083a6efaa3d6.png，e53c5f60f11af6c3867d0e08835606d6.png，95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png双曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的焦距为66fb9c02b9d7fedff02be021c6509269.png.

故答案为：39b4572b4316b034d8778c77bd53db35.png.

【点睛】本题考查双曲线焦距的求解问题，关键是能够利用斜率关系和点在双曲线上构造方程求得双曲线标准方程中的未知量.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.在①3c971ff972994c2d6ca8879925a106e2.png，②20f118e262ee7a6ea2e7d40ef7445eee.png，③7659bc8274b88f8459b1548e424d799d.png这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再判断1481b422ffb9352ff79e12c45d74b178.png是否是递增数列，请说明理由．

已知02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是公差为1的等差数列，d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png是正项等比数列，b9f9d023a6927c8a96d603b01181df61.png，__________，b6ce49c5dd553882d298d55d29bbc3cd.png．判断1481b422ffb9352ff79e12c45d74b178.png是否是递增数列，并说明理由．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

只需分别对所选番号进行等差、等比数列基本量的运算，得到b8449f75f5233e2c215d1d79b6326152.png，再作商e52b029f9a9a7512c0fc33716786ff51.png与1比较大小即可.

【详解】因为02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是公差为1，首项为1的等差数列，所以849df7c1632c62fd17af4c3e76abcca5.png．

设d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的公比为7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png，

若选①，由3c971ff972994c2d6ca8879925a106e2.png，得6130f1608a01af01378272fae36affce.png，

9bdd2e4ee610ff2eb0b920a704e9347d.png，则3ae911980a3abe65c55d1b38b1ff88e1.png，所以1481b422ffb9352ff79e12c45d74b178.png是递增数列．

若选②，由6b172e46da77ea4ef2e92c38553ad2d5.png，得d5c6221a33de8e9ea7cdcffa5d1d043e.png，

则f1ac8887ebbc2c63db58e73a5fae8539.png，所以1481b422ffb9352ff79e12c45d74b178.png是递增数列．

若选③，由76820a53f874c5d26558c890ac26882a.png，得5a3c7ff0e9830c0b4f8d5cedb10ddbc6.png，

a84604d521ae82810b81b2cf1e51aed9.png，则dd5d8e71af630fdd66a0b7f50804d02e.png，所以1481b422ffb9352ff79e12c45d74b178.png不是递增数列．

【点睛】本题考查等差、等比数列的基本量的计算，是一道开放性试题，属于容易题.

18.已知533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的内角7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png、92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的对边分别为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png、4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png，eadf01a1f88ef63ca1107061ed59d35d.png．

（1）求角7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的大小；

（2）若533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的面积为2e6bfa6f817e730b61036be32daacf2c.png，周长为5bd15ca24cee57242a9b28b79481da6d.png，求0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值．

【答案】（1）c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png（2）3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png

【解析】

【分析】

（1）cb232cd8e88b850d170e0a3a65f430e9.png7d5eb04fd96ffe8069027f50441afec1.png6ce80186994b21a1235f21f90b33f89c.png解方程即可；

（2）由e59d8c052e7144bec90b55ecf4aa3827.png可得9dccc846ec54aed8a27ed3396f843659.png，由余弦定理以及周长为3a，联立解方程组即可.

【详解】（1）因为eadf01a1f88ef63ca1107061ed59d35d.png，

所以3187fd91d148f2270b49e95368d461c6.png，即6ce80186994b21a1235f21f90b33f89c.png，

因为7588e793f92073ea0c29deec185638f5.png，所以105e05d9b8e0af78947c8eaf4488a393.png，所以26b3d59e145a1927e7a9d60430925b31.png．

（2）因为672e0215cd4e7816a5dccf2a9219a5f0.png，所以9dccc846ec54aed8a27ed3396f843659.png．

又因为98a7e58e6234315fe11014fda5a6a2ec.png，

所以315f25c5bbbe8e2b84ae37b7fc3b7e4b.png，解得3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png或ded681eaa02d11064c9a469dd1b3e04c.png（舍），故3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png．

【点睛】本题考查二倍角公式、辅助角公式以及余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.

19.如图，在四棱锥3e698bcd35df78909e6c1f4f9874afb2.png中，52e5c4738e9e5a2c3b11e386c9808f65.png，6765a7c2742a64b4ee50b8e18e0faf5b.png，0e2363f1352002a27c1059d7a9bd364b.png．

（1）证明：83daca02beba60b050340f282b159f97.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png．

（2）若3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png是5089fa881630360a9b3361469c1a0c5d.png的中点，4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png∥a5c09bb440c12bdc78d82f0d4c28e3f4.png，求平面05f3e008c6d03c6a6255077a8f73f2df.png与平面39a8e755839fd97adb0c6dba2a1dfb84.png所成锐二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析（2）2caf8383a51dc5a80a30f35520848a35.png

【解析】

【分析】

（1）要证83daca02beba60b050340f282b159f97.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，只需证6a7fdb55819dff065b48129a87ab9b34.png，0e867f1b1c46fa6b1048850ca7d21506.png即可；

（2）分别求出平面05f3e008c6d03c6a6255077a8f73f2df.png与平面39a8e755839fd97adb0c6dba2a1dfb84.png的法向量bf120c00c5ef5ef57d44c542da6a2ed9.png，然后利用36949f1acb09add55125114ceb2dcab6.png计算即可.

【详解】（1）因为c611463f41d7940eb562c1bf84402a2e.png，所以0e867f1b1c46fa6b1048850ca7d21506.png，

同理16a3a3465b3e24d1c11f9021401abaea.png可得6a7fdb55819dff065b48129a87ab9b34.png．

因为9889f160e869f9652910554571807dd4.png，所以83daca02beba60b050340f282b159f97.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png．

（2）因为52e5c4738e9e5a2c3b11e386c9808f65.png，所以e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png、25ec916d56b8212e569dbf2e4e4b51d4.png、b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png两两垂直，以7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为坐标原点，

建立如图所示的空间直角坐标系，

因为6765a7c2742a64b4ee50b8e18e0faf5b.png，所以2a4b84f274634b04885fd7bfc7e78cbe.png，

因为3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png是5089fa881630360a9b3361469c1a0c5d.png的中点，所以323b60b0e6166a7accfb819d4e88ef70.png，

因为7907077bf3696d17acd9c6f9a3318f8a.png，所以cf4550d32d00fa0d1715e778338b14be.png．

所以104ed8da5f5e1387592cccc5e67fe3c1.png，

设平面05f3e008c6d03c6a6255077a8f73f2df.png的一个法向量为16dbc6501187f1a3539dbee8fc991f09.png，

由7fd515ffba2994a6f5bebe40db741682.png，得b22e2715d0fa091ab1cb0ef779ebbf03.png，

取6366c1b5884f645a527ca215c47e6327.png，得c945f21941268e353473c65a5f7a0d75.png．

易知平面39a8e755839fd97adb0c6dba2a1dfb84.png的一个法向量为a1a738f52ab7968a4e1cf39e40b98b99.png，设平面05f3e008c6d03c6a6255077a8f73f2df.png与平面39a8e755839fd97adb0c6dba2a1dfb84.png所成锐二面

角的平面角为7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png，所以5d2f1ce9182e5bdbaa944d0a842686bd.png，

所以平面05f3e008c6d03c6a6255077a8f73f2df.png与平面39a8e755839fd97adb0c6dba2a1dfb84.png所成锐二面角的余弦值为2caf8383a51dc5a80a30f35520848a35.png．

【点睛】本题考查线面垂直的证明以及向量法求二面角，考查学生的数学运算能力，此题解题关键是准确写出点的坐标，属于中档题.

20.已知直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与椭圆fd644828190fa25c2ea48e1681518f07.png交于不同word/media/image83_1.png两点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png.

（1）若线段b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的中点为09e4aa9084f1107ce591f041acf299f4.png，求直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程；

（2）若2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的斜率为8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png，且2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png过椭圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的左焦点800618943025315f869e4e1f09471012.png，b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的垂直平分线与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴交于点8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png，求证：be8d46998475e683d8d01d718dc9a32a.png为定值.

【答案】（1）756652fb9e30275b926a57f039995b7e.png；（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）利用点差法可求得直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的斜率，进而求得直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程；

（2）设f8aa7873f390e23f09f0b3bfa7f892b7.png，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，进而表示出b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png中点坐标；当22d9bb2875d7a70aeb68696096f3b9b2.png时，易求得be8d46998475e683d8d01d718dc9a32a.png的值；当14ff79d0c269ab79b15dc3ac3a3544fd.png时，可得b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png垂直平分线方程，进而求得8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png点坐标和8156504659667f521766fc6727a166c8.png，利用弦长公式求得74ad26aaeeaa9e7d3038372cf8af55b9.png，进而求得be8d46998475e683d8d01d718dc9a32a.png的值；综合两种情况可知be8d46998475e683d8d01d718dc9a32a.png为定值.

【详解】（1）设36d096f7d525a6f569ea030c7e84d4c3.png，0ff78994e25d20f2d72e310f8fa2a767.png，

则0e84112d4c2aac1537e5cb2e0a3262b2.png，两式作差得：fc3c240ffb686158a8821b930ae7e046.png，

770555b11a5323d2610dd678ce5d79e9.png中点为09e4aa9084f1107ce591f041acf299f4.png，abbf4c9fa7121f94b20f60e6aa8e1f25.png，9ba1ebce600c80f9f123aa3cde0c4601.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程为：b9d2744695071f23e040e7d57eaa8b72.png，即：756652fb9e30275b926a57f039995b7e.png.

（2）由椭圆方程知：f439b72b2689cba6d0767bbd1234cb0b.png，可设直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程：551a7cd67a8ac6676a41baeb86ccc473.png，

联立abb7c2350aed6c03dfd4318c0ac719c4.png得：10f8f4ae7807a18d8a96724c0278b0cd.png，

设36d096f7d525a6f569ea030c7e84d4c3.png，0ff78994e25d20f2d72e310f8fa2a767.png，则b43e19eb4013f5cd59a90a32f137c353.png，820f99eb7f534db1a3aae6dcf046db3e.png，

861cab2aa97fe3cbb056b19e5ed16369.png，

cfd50f444db69b0dc9360e6bcdccb21e.png，4466546c0726646a842e4586b81d84d2.png，

当22d9bb2875d7a70aeb68696096f3b9b2.png时，a147d204595dd7a0edd488519b46b349.png，9a80338591b5bdd328fc77d584e37a09.png，4055f56839ed101d21f366c8d09a534a.png；

当14ff79d0c269ab79b15dc3ac3a3544fd.png时，b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的垂直平分线方程为：9782251e638035f6d8ce644b16435969.png，

令fab37d6c4a697fe660387d3ff8e889a4.png得：cd906eb060d99c75c33d86ad7199726c.png，104811c2132c0b7cfc04f96dab083eb6.png，1b01cf474d6bae88a56ef489b7175d16.png，

4ec247724a2ab0daeac3fac4a9c8889b.pngc2b82707b35eaf30b1e2adde206c783b.png，

7e56a7ae7ab86e0f9b60639c3fc21247.png；

综上所述：47c55a93d7b751efb0be8785073ef6fa.png为定值dfa9c2943ed27b92909daa95a2b1fc29.png.

【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到中点弦所在直线方程、定值问题的求解；求解中点弦问题的常用方法是点差法的方式；求解定值问题的关键是能够通过某一变量表示出所求值，通过化简消元得到定值.

21.已知函数0433ba704b9f467cc5f0ef1b2fc26a17.png，其中0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png为常数.

（1）讨论函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的单调性；

（2）当4f0664b043d8b3340ac87c49d7d3870b.png（e1671797c52e15f763380b45e841ec32.png为自然对数的底数），e8cc2b597df6e98b5a6763e2ee894acc.png时，若方程5df52bed9ead8ff57a2c3b6b6bb72fbf.png有两个不等实数根，求实数92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的取值范围.

【答案】（1）当90427404ddaca5bb6cd2c86877db491f.png时，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在1fd5a0acabffccf10f5498511c239d84.png上单调递减；当323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png时，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在8b8ee500165bb1cfbfcd5ea5847023ba.png上单调递增，在5cf6d2df0c2e9c5fc6003945273040ea.png上单调递减；（2）e630d04cd403c7c6674e9697e03c9809.png

【解析】

【分析】

（1）分别在90427404ddaca5bb6cd2c86877db491f.png和323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png两种情况下，根据0b5b9b81c16711886bcd666852118de4.png的正负确定ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的单调性；

（2）将问题转化为当b1a240f257cf4fbe395f28b56a6d3d49.png时，30977fb199d4fa7c4802028d5a01e71e.png与9d746ab959f98b40dda0846d9a44c2e8.png有两个不同交点的问题，通过导数可求得5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png的单调性和最值，进而得到函数图象，通过数形结合的方式可确定92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的范围.

【详解】（1）由题意得：ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png定义域为1fd5a0acabffccf10f5498511c239d84.png，daccc2fd59df98607cf00c69717f3133.png，

当90427404ddaca5bb6cd2c86877db491f.png时，ec329a2e6e725e343e248a7a56d580fc.png，则ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在1fd5a0acabffccf10f5498511c239d84.png上单调递减；

当323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png时，令01071e0cb8a0f4f22f4def25b108f0d5.png，解得：50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png当9ae577695c3dcca870590c112d1405dc.png时，82ba1ab4d8827e260ef0f540d1922661.png；当6f09026ff0945937fdfad8c91fec2d8a.png时，ec329a2e6e725e343e248a7a56d580fc.png，

8e9059640e500351256c8f71d20922a9.png在8b8ee500165bb1cfbfcd5ea5847023ba.png上单调递增，在5cf6d2df0c2e9c5fc6003945273040ea.png上单调递减.

综上所述：当90427404ddaca5bb6cd2c86877db491f.png时，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.pngword/media/image339_1.png1fd5a0acabffccf10f5498511c239d84.png上单调递减；当323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png时，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在8b8ee500165bb1cfbfcd5ea5847023ba.png上单调递增，在5cf6d2df0c2e9c5fc6003945273040ea.png上单调递减.

（2）当4f0664b043d8b3340ac87c49d7d3870b.png时，5b286567ac6eba99186b9c450adba44e.png有两个不等实根，方程可化为6781f11124083fc707556552dc906082.png，

令30977fb199d4fa7c4802028d5a01e71e.png，则bcbd2f8d8dcb425af8c9b9009417fa3c.png，

令22448295c74addef0a137a23e55032cc.png，则539999bf109aee7533bf57b721262f89.png，

当b1a240f257cf4fbe395f28b56a6d3d49.png时，b25ab3e249260b8ffd398e1eb503524e.png28840827b504b97b7a466b35c052e303.png，即7a8feaa49bcc1a33d921b0441825af31.png<0762bb7fc3388710781ca092a05b49230.png在c17f3d6c0e9a86fb5f9e7f21111e1ae4.png上单调递减，

d20438aef0d19681f337768281fc4596.png，且d93f4bc9aa74c16c909899b0e43c46af.png

762bb7fc3388710781ca092a05b49230.png在c17f3d6c0e9a86fb5f9e7f21111e1ae4.png上有且仅有一个零点3c5a29c6dae7df5f94c227a51bbe479f.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png当4e1f1549bb71bf55dabd37579a709c8b.png时，91f5b81fa6e1c7f6cecbb4644621447f.png，即b3c76bca3c3d6302111b0553a647a0ad.png；当abb94b84016abc341dc3ce1dbd00c212.png时，3f35db436caf1398dc2cf232908e9297.png，即c8bab5d6b0a3fd73177fb5069fc90885.png，

6505c8d8a160f533254a38eeaaa4fd07.png在0052b2b5e549046d6335984da8e9fd7d.png上单调递增，在dcf915f2846d59f6b55c18eef6536f08.png上单调递减，

7a285f32d05e2bdd42d65a121586d475.png，8ed139d8d9da6048a45a20217a262a01.png，

由此可得5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png图象如下图所示：

则当b1a240f257cf4fbe395f28b56a6d3d49.png时，方程1d08c289f4a6b0a02c9a7c73c1cf6098.png有两个不等实数根等价于当b1a240f257cf4fbe395f28b56a6d3d49.png时，5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png与9d746ab959f98b40dda0846d9a44c2e8.png有两个不同交点，

由图象可知：d4a9e939a057ce2c816059474b2233b1.png.

【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、根据方程根的个数求解参数范围的问题；求解方程根的个数问题的关键是能够将问题转化为两个函数图象交点个数的求解问题，利用数形结合的方式求得结果.

22.小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．

（1）规定第1次从小明开始．

（ⅰ）求前4次投掷中小明恰好投掷2次word/media/image83_1.png概率；

（ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png，求随机变量02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的分布列与期望．

（2）若第1次从小芳开始，求第7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png次由小芳投掷的概率9b34c48707062a07e6c080655df4337f.png．

【答案】（1）（ⅰ）7e1a1e97a45644715882794fedeec3f7.png（ⅱ）见解析，8c8d10efb438c0c7c7bad8412ebb2d73.png（2）c01120d137bd64c0a531279ee1025fd7.png

【解析】

【分析】

（1）（ⅰ）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概为8d5d7c279b3b2538f3b9068495d8629e.png，前4次投掷中小明恰好投掷2次有三种情况：小明，小明，小芳，小芳；小明，小芳，小明，小芳；小明，小芳，小芳，小明，分别计算概率相加即可；（ⅱ）小芳投掷的次数02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率即可；

（2）若第1次从小芳开始，则第7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png次由小芳投掷骰子有两种情况：1.第47425da90092a0727c15c009fac9f866.png次由小芳投掷，第7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png次继续由小芳投掷，2.第47425da90092a0727c15c009fac9f866.png次由小明投掷，第7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png次由小芳投掷.

【详解】（1）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概为8d5d7c279b3b2538f3b9068495d8629e.png．

（ⅰ）因为第1次从小明开始，所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率，

e748b4969c4fb24623998318aac3d64e.png．

（ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png，依题意，02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png可取0，1，2，3，

所以16e67bfcc67e360b1949e0716c10ffa5.png，7f9ef38e2a4edd11f684d9f9da1016cd.png，

bf2688779e8d8fd4de06537b6f51bf79.png，e5c75d775d85d1ac7ff2e98c33e7a880.png．

所以02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的分布列为

所以4db4d230d1b9c187c76af443648a05af.png．

（2）若第1次从小芳开始，则第7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png次由小芳投掷骰子有两种情况：

①第47425da90092a0727c15c009fac9f866.png次由小芳投掷，第7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png次继续由小芳投掷，其概率为930076734e3fc1f2682a3f6a15680a8b.png；

②第47425da90092a0727c15c009fac9f866.png次由小明投掷，第7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png次由小芳投掷，

其概率为ea66f95193785f871622a38f016b8753.png．

因为①②两种情形是互斥的，所以20d7bb769925e03718f0dda39ef28cbd.png，

所以73a91a79625190cbb2fe912e784d4e8f.png．因为54621d9484f5c718df63e78cb7371ec0.png，所以f4ca4f7faa7844267463323ddf9fdd87.png是以93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png为首项，

7ddf743a44884d9bbc8c1789b835ac41.png为公比的等比数列，所以1232f8ab4dbf42d95755de847dce870f.png，即c01120d137bd64c0a531279ee1025fd7.png．

【点睛】本题考查随机变量的分布列与数列综合应用，涉及到利用递推数列求通项公式，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的综合题.