排列组合中的分组分配问题

排列组合中的分组分配问题

分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。

一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念

n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题

例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

(1)每组两本.

(2)一组一本，一组二本，一组三本.

(3)一组四本，另外两组各一本.

分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。分组数是=90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数，所以分法是=15(种)。

(2)先分组，方法是，那么还要不要除以？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有=60(种) 分法。

(3)分组方法是=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。所以实际分法是=15(种)。

通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。

结论1： 一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m，m，…，m，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是。

三、基本的分配的问题

(一)定向分配问题

例2 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

(1) 甲两本、乙两本、丙两本.

(2) 甲一本、乙两本、丙三本.

(3) 甲四本、乙一本、丙一本.

分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出：分别有=90(种)， =60(种)， =30(种)。

(二)不定向分配问题

例3六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

(1) 每人两本.

(2) 一人一本、一人两本、一人三本.

(3) 一人四本、一人一本、一人一本.

分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以，即=90(种)， =360(种) =90(种)。

结论2. 一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。

通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。

例4 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？

分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、二本、三本(3)两组各一本，另一组四本。所以根据加法原理，分组法是++=90(种)。再考虑排列，即再乘以。所以一共有540种不同的分法。

四、分配问题的变形问题

例5 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？

分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有(种)，然后将这三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不同对象)中的3个的排列问题，即共有=144(种)。

例6有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？

分析：先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，共有(种)分法。再考虑排列，甲任务需2人承担，因此2人的那个组只能承担甲任务，而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务，所以共有=2520(种)不同的选法。

例7设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A为定义域，B为值域，则从集合A到集合B的不同的函数有多少个？

分析：由于集合A为定义域，B为值域，即集合A、B中的每个元素都有“归宿”，而集合B的每个元素接受集合A中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是分组后分配的问题。先考虑分组，集合A中4个元素分为三组，各组的元素数目分别为1、1、2，则共有(种)分组方法。再考虑分配，即排列，再乘以，所以共有=36(个)不同的函数。

总之，掌握上述两个结论，就能顺利解决任何分配问题。而且，学会了分配问题，还能将一些其他的排列组合问题转化为分配问题来解决。

练习：把编号为1,2,3,4,5的五个球完全放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球，则不同放法的总数是：

（A）60 （B）150 （C）300 （D）540

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