例谈角平分线在解析几何中的应用
作者：马杰 工作单位： 安徽省宿州学院附属实验中学 邮编：234000
角平分线是初中学过的基本知识，但它频繁出现在高中数学试题中，为了提高同学们解题能力，笔者现把它的基本用法给与归类如下：
1． 经常与等腰三角形、菱形等知识的结合使用，如等腰三角的三线合一定理、菱形的对角线平分一组对角等等；
2． 与向量的知识结合使用，如图1，OC是∠AOB的平分线，则直线OC的方向向量可以表示为；
3． 角是一个轴对称图形，它的对称轴就是角平分线所在的直线，然后再利用点的对称或直线的对称知识解题；
4． 利用三角形的内角平分线定理即比例性质解题，如图2
在ABC中，AD是∠A的平分线，则利用相似三角形或正弦定理很容易得：
；
5．利用角平分线性质解题．定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．逆定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上．然后再使用点到直线距离的公式可以解题．现举例如下：
例１、已知如图3，点P是椭圆上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2平分线上的一点，且F1M⊥MP，则OM的取值范围是_______．
分析：利用M是∠F1PF2平分线上的一点，且F1M⊥MP，得F1F2N是等腰三角形且判断OM是的中位线，把OM用PF1，PF2表示，再利用椭圆的焦半径公式，转化为用椭圆上点的横坐标表示，借助椭圆的范围即可求出OM的范围。如图，延长PF2，F1M，交与N点，∵PM是∠F1PF2平分线，且F1M⊥MP，
∴|PN|=|PF1|，M为F1F2中点，
连接OM，∵O为F1F2中点，M为F1F2中点
∴|OM|=|F2N|=||PN|-|PF2||=||PF1|-|PF2||
∵在椭圆中，设P点坐标为（x0，y0）
则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，
∴||PF1|-|PF2||=|a+ex0+a-ex0|=|2ex0|=|x0|
∵P点在椭圆上，∴|x0|∈[0，4]，
又∵当|x0|=4时，F1M⊥MP不成立，∴|x0|∈[0，4）
∴|OM|∈[0，2）
例２、（2003年天津高考题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，
，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
分析：因为同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知
是与∠ABC的角平分线（射线）同向的一个向量，又
，知P点的轨迹是∠ABC的角平分线，从而点P的轨迹一定通过△ABC的内心。
例３、(2011全国卷)已知F1、F2分别为双曲线C: -
=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = ．
分析：由三角形的内角平分线性质定理得：
故
.
例４、如图4在ABC中，已知A（-1,5），∠B与∠C的平分线所在的直线方程为x－y+2=0和y=2．求BC所在的直线方程．
分析：因为BD、CE分别是∠B、∠C的平分线
所以点A（-1,5）关于直线BD：x－y+2=0的对称点A1（3，1）在BC上；
点A（-1,5）关于直线CE：y=2的对称点A2（－１,－1）也在BC上。
利用直线两点式方程得BC的直线方程是x－2y－1=0
例5、已知在△ABC中，A点坐标（-1，3），过B点的角平分线所在直线方程为2x-y=0，过C点的中线所在直线的方程为x+7y+5=0，求B点的坐标和BC边所在直线的方程。
分析：
例6、（2010·安徽卷）已知如图5，椭圆经过点
，对称轴为坐标轴，焦点
在
轴上，离心率
。
(1)求椭圆的方程；(2)求
的角平分线所在直线L的方程；
分析：（1）设椭圆的方程为
（
），
由题意，
，又
，解得：
椭圆
的方程为
（2）方法1：由（1）问得，
，又
，易得
为直角三角形，其中
设的角平分线所在直线L与x轴交于点
，根据三角形内角平分线定理可知：
，可得
，
直线L的方程为：
，即
。
方法2：利用角平分线的方向向量，由（1）问得，
，又
，
，
，
，
，
直线L的方程为：
，即
。
方法３：利用角平分线的性质，设点C（x,y）是角平分线L上任意一点，根据点C到PF1 的距离等于点C到PF2 的距离得， ，化简得：
或
，又因为直线L的斜率大于0，所以直线L的方程为
．
