2018年北京大学自主招生数学试题 精品

2018北京大学自主招生数学试题

1  求证：边长为1的正五边形对角线长为6e1182c5acd9abe3407ff5c1bb4c54e8.png

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略解：

三角形ABE∽三角形DAE

则：9e0bd444b68cc39ac763ff25eafe6668.png

2   已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1

   求证△ABC 面积是六边形AC1BA1CB1的一半

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略解：如图得证

3  已知

cd1f0a758a72b4e873f68a3e055f796c.png

4  排球单循坏赛 南方球队比北方球队多9支  南方球队总得分是北方球队的9倍 求证 冠军是一支南方球队（胜得1分 败得0分）

解：设北方球队共有x支，则南方球队有x+9支

所有球队总得分为72a301d08d214d0f4f9bb82eed3bc9d9.png

南方球队总得分为c89332fee25a932fda4ffd1d13b8f30b.png

北方球队总得分为b1ac7937625a8e59ab9360c517bf20b0.png

南方球队内部比赛总得分1c15982186ab4508c23f827642fff76d.png

北方球队内部比赛总得分cee3bedf8892d2286a1d8c85cd052eb8.png

e61312c1bda3e85bb5a9950423ead54c.png

解得：307ab70ac45f643e27c4c8f449848c6a.png

因为b1ac7937625a8e59ab9360c517bf20b0.png为整数

x=6或x=8

当x=6时

所有球队总得分为72a301d08d214d0f4f9bb82eed3bc9d9.png=210

南方球队总得分为c89332fee25a932fda4ffd1d13b8f30b.png=189

北方球队总得分为b1ac7937625a8e59ab9360c517bf20b0.png=21

南方球队内部比赛总得分1c15982186ab4508c23f827642fff76d.png=105

北方球队内部比赛总得分cee3bedf8892d2286a1d8c85cd052eb8.png=15

北方胜南方得分=21-15=6

北方球队最高得分=5+6=11

因为11×15=165<189

所以南方球队中至少有一支得分超过11分．

冠军在南方球队中

当x=8时

所有球队总得分为72a301d08d214d0f4f9bb82eed3bc9d9.png=300

南方球队总得分为c89332fee25a932fda4ffd1d13b8f30b.png=270

北方球队总得分为b1ac7937625a8e59ab9360c517bf20b0.png=30

南方球队内部比赛总得分1c15982186ab4508c23f827642fff76d.png=136

北方球队内部比赛总得分cee3bedf8892d2286a1d8c85cd052eb8.png=28

北方胜南方得分=30-28=2

北方球队最高得分=7+2=9

因为9×17=153<270

所以南方球队中至少有一支得分超过9分．

冠军在南方球队中

综上所述，冠军是一支南方球队

5 （理科）O-XYZ坐标系内 xoy平面系内1f05f3f4baf15729ccdead1eb4524b2a.png绕y轴旋转一周构成一个不透光立体 在点(1,0,1)设置一光源 xoy平面内有一以原点为圆心的圆C 被光照到的长度为2π 求C上未被照到的长度