解析几何答案-第二章

第2章 曲面与空间曲线的方程

§2.1 曲面的方程

1、 一动点移动时，与及平面等距离，求该动点的轨迹方程。

解：设在给定的坐标系下，动点，所求的轨迹为，

则

亦即

由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为

2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：

（1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹；

（2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹；

（3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；

（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。

解：（1）取二定点的连线为轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为，二定点的距离为，则二定点的坐标为，设动点，所求的轨迹为，则

亦即

经同解变形得：

上式即为所要求的动点的轨迹方程。

（2）建立坐标系如（1），但设两定点的距离为，距离之和常数为。设动点，要求的轨迹为，

则

亦即

两边平方且整理后，得： （1）

从而（1）为

即：

由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。

（3）建立如（2）的坐标系，设动点，所求的轨迹为，

则

类似于（2），上式经同解变形为：

其中 （*）

（*）即为所求的轨迹的方程。

（4）取定平面为面，并让定点在轴上，从而定点的坐标为，再令距离之比为。

设动点，所求的轨迹为，则

将上述方程经同解化简为： （*）

（*）即为所要求的轨迹方程。

2、 求下列各球面的方程：

（1）中心，半径为；

（2）中心在原点，且经过点；

（3）一条直径的两端点是

（4）通过原点与

解：（1）由本节例5 知，所求的球面方程为：

（2）由已知，球面半径

所以类似上题，得球面方程为

（3）由已知，球面的球心坐标，球的半径，所以球面方程为：

（4）设所求的球面方程为：

因该球面经过点，所以

（1）

解（1）有

所求的球面方程为

§2.2 母线平行于坐标轴的柱面方程

1、画出下列方程所表示的曲面的图形。

（1）

解：各题的图形如下：

（1）

§2.3空间曲线的方程

1、平面与的公共点组成怎样的轨迹。

解：上述二图形的公共点的坐标满足

从而：（Ⅰ）当时，公共点的轨迹为：

及

即为两条平行轴的直线；

（Ⅱ）当时，公共点的轨迹为：

即为轴；

（Ⅲ）当时，公共点的轨迹为：

即过且平行于轴的直线；

（Ⅳ）当或时，两图形无公共点。

2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？

（1）； （2）；

（3）； （4）

解：（1）曲面与面的交线为：

此曲线是圆心在原点，半径且处在面上的圆。

同理可求出曲面与面及面的交线分别为：

，

它们分别是中心在原点，长轴在轴上，且处在面上的椭圆，以及中心在原点，长轴在轴上，且处在面上的椭圆；

（2）由面与面，面，面的交线分别为：

, ,

亦即：, ,

即为中心在原点，长轴在轴上，且处在面上的椭圆；中心在原点，实轴在轴，且处在面上的双曲线，以及中心在原点，实轴在轴，且处在面上的双曲线。

（3）曲面与面，面，面的交线分别为：

, ,

亦即, ,

即为中心在原点，实轴在轴，且处在面上的双曲线；无轨迹以及中心在原点，实轴在轴上，且处在面上的双曲线。

（4）曲面与面，面，面的交线分别为：

, ,

亦即, ,

即为坐标原点，顶点在原点以轴为对称轴，且处在面上的抛物线，以及顶点在原点，以轴为对称轴，且处在面上的抛物线。

3、 求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程。

（1）;（2）

（3）（4）

解：（1）从方程组

分别消去变量，得：

亦即： （Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

（Ⅰ）是原曲线对平面的射影柱面方程；

（Ⅱ）是原曲线对平面的射影柱面方程；

（Ⅲ）是原曲线对平面的射影柱面方程。

（2）按照与（1）同样的方法可得原曲线

（Ⅰ）对平面的射影柱面方程；；

（Ⅱ）对平面的射影柱面方程；；

（Ⅲ）对平面的射影柱面方程。。

（3） 原曲线对平面的射影柱面方程：

原曲线对平面的射影柱面方程：

原曲线对平面的射影柱面方程：

（4） 原曲线对平面的射影柱面方程：

原曲线对平面的射影柱面方程：

原曲线对平面的射影柱面方程：