中考热点专题六——图形与证明
湖南 张倬胜
【考点聚焦】
图形与证明是空间与图形的核心内容之一，它贯穿在整个几何知识的学习及运用之中．
内容主要有：了解定义、命题、定理、互逆命题、反证法的含义；掌握平行线的性质定理和判定定理、全等三角形的性质定理和判定定理、直角三角形全等的判定定理；掌握三角形的内角和定理和推论、角平分线和垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理；掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形性质与判定定理；掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理．
【热点透视】
热点：把握三角形全等的性质，考查线段相等的证明．
例 （郴州）如图１，菱形
中，
分别为
、
上的点，且
．求证：
．
分析：本题中灵活运用菱形的性质：四边相等，两组对角分别相等．找到全等三角形的对应元素是解本题的关键．
证明：∵四边形是菱形，
∴，
．
∵，∴
．
在与
中，
，
，
．
∴，∴
．
点评：掌握全等三角形的概念和性质，还要能准确辨认全等三角形中的对应元素，通过证明全等来证明线段相等或者角相等．
热点：紧扣三角形全等的判定，考查三角形全等的开放型问题．
例 （湘潭）如图，在正五边形
中，连结对角线
、
和
，
交
于
．
（）请列出图中两对全等三角形（不另外添加辅助线）；
（）请选择所列举的一对全等三角形加以证明．
分析：由正多边形的性质可知：正多边形的各边相等，各角相等．这是一类结论不惟一的试题．解决此类问题的关键是依据图形，通过准确辨认全等三角形的对应元素，证明三角形全等．
解：（）△≌△，△≌△；
（）证明：在正五边形中，，
∠∠∠∠∠，
故在△与△中，，∠∠，，∴△≌△，
在△与△中，，∠∠，，∴△≌△．
点评：本考题题干简单清晰，但考点的内容与正多边形的知识相结合，需要具有分解基本图形的能力和基本的探究能力，才能顺利解题．
热点：合理添加辅助线，构造全等三角形解决相关问题．
例 （常德）如图，已知，
（）若，求证：
；
（）若（为正数），试猜想与有何关系（只写结论，不证明）．
分析：证明在不同三角形中的两条线段和两个角相等的常用方法就是证明两个三角形全等，要证明线段和相等，在辨认三角形全等对应元素时，发现图中没有三角形全等，需要通过合理添加辅助线构造三角形全等．
（）证明：过作∥，交于，
∠∠，
∵，∥，
∴∠∠∠，
∴．
又∠∠，∴△≌△．
∴．
（）．
点评：在证明三角形全等时，可以通过翻折法、旋转法、平移法找到对应元素，或者合理添加辅助线构造全等三角形的对应元素．
热点：定义、命题、定理、互逆命题的考查．
例 （永州）下列命题是假命题的是（ ）
（Ａ）四个角相等的四边形是矩形
（Ｂ）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（Ｃ）四条边相等的四边形是菱形
（Ｄ）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
分析：掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解决本题的关键．
解：选（）．
点评：本题考查同学们对平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法的把握，遇到这种题，同学们可利用数形结合的思想将其中的文字语言转化为图形语言，便能迅速作出准确判断．
热点：平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质与判定的考查．
例 （娄底）如图，已知点
在
的
边上，
交
于
，
交
于
．
（）求证：；
（）若平分
，试判断四边形
的形状，并说明理由．
分析：本题主要考查同学们对平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法的把握．
证明：（）∵，
∴，同理
．
∵，
∴，∴
．
（）若平分
，四边形
是菱形．
证明：∵，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，∴
，
∴平行四边形为菱形．
点评：三角形全等及平行四边形的性质都可以证明两线段相等，此类题起点低，注重基础知识及基本技能的考查，考查了同学们最基本的几何推理证明能力．
热点：圆的有关概念及性质的考查
例 （益阳）如图，是
的直径，
是
上一点，过圆心
作
，
为垂足，
是
上一点，
是
的中点，
的延长线交
于
．
（）图中线段、
所在直线有怎样的位置关系？写出你的结论，并给出证明过程；
（）猜想线段三者之间有怎样的数量关系？
写出你的结论，并给出证明过程．
分析：平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，先通过观察图形可猜想∥，再利用圆的有关概念及性质得证．
解：（）结论：．
证明：∵是
的直径，
是
上一点，
∴，即⊥．
又⊥，∴∥．
（）结论：．
证明：∵⊥，∴．
又为的中点，∴是△的中位线．
∴．
在△与△中，
∵，∠∠，∠∠，
∴．∴．
∴．
∴．
点评：为了使同学们对推理论证的必要性有更深刻的理解，新课程中的逻辑推理常在探究、猜想的前提下进行．本题就采用了这种方式．该题主要考查了直径与圆周角、垂直于弦的直径等概念之间的联系．
【考题预测】
１．下列命题中真命题的个数是（ ）
①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方；
②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；
③在与
中，
，
，那么
；
④已知及位似中心
，能够作一个且只能作一个三角形，使位似比为．
（Ａ）个 （Ｂ）个 （Ｃ）个 （Ｄ）个
．已知如图，在四边形中，对角线，交于点，且平分∠，，．下四个结论：①⊥；②；③
；④△是等边三角形．请写出正确的结论序号（把你认为正确的结论序号填上，并证明其中一个）．
．如图，菱形中，、分别为、延长线上的点，且．求证：
．
．如图，在△中，，
，垂直平分，垂足为，交于点．又点在的延长线上，且
．求证：四边形是菱形．
．如图，是边上一点，交于点，
，
．
求证：．
．如图，已知切于，
顺次交
于
两点，
，
，连结，．
（）求证：；
（）求线段的长．
．如图，是
的内接三角形，
，
为
中上一点，延长
至点
，使
．
（）求证：；
（）若，求证：
．
．如图，已知：是以为直径的半圆上一点，⊥于点，直线与过点的切线相交于点，为中点，连结并延长交于点，直线交的延长线于点．
（）求证：点是中点；
（）求证：是的切线；
（）若，求
的半径．
生活不是等待风暴过去，而是学会在雨中翩翩起舞,不要去考虑自己能够走多快，只要知道自己在不断努力向前就行，路对了，成功就不远了。放弃了，就不该后悔。失去了，就不该回忆。放下该放下，退出那没结局的剧。我们需要一点点的眼泪去洗掉眼中的迷雾，一点点的拥抱去疗愈受伤的心，一点点的休息去继续前行,少壮不努力，老大徒伤悲,每个人的人生都是不一样的，处同样的位置，也是有人哭，有人笑，有人沉默。穷人缺什么：表面缺资金，本质缺野心，脑子缺观念，机会缺了解，骨子缺勇气，改变缺行动，事业缺毅力世界上最聪明的人是借用别人撞的头破血流的经验作为自己的经验，世界上最愚蠢的人是非用自己撞得头破血流的经验才叫经验,不要抱着过去不放，拒绝新的观念和挑战,每个人都有退休的一天，但并不是每个人都能拥有退休后的保障。觉得为时已晚的时候，恰恰是最早的时候,勿将今日之事拖到明日,学习时的苦痛是暂时的，未学到的痛苦是终生的,学习这件事，不是缺乏时间，而是缺乏努力,幸福或许不排名次，学习并不是人生的全部。但既然连人生的一部分——学习也无法征服，还能做什么呢.
