新人教版八年级数学上册教案全册

周次

教学内容及课时安排

时间安排

1

全等三角形(1)   三角形全等的条件(4)

2

三角形全等的条件(2)    角平分线的性质(1)

3

数学活动(2) 第十一章小结(3)

4

轴对称(3)   轴对称变换(1)   用坐标表示轴对称(1)

一次函数与二元一次方程(组)(1)

5

等腰三角形(3)   等边三角形 (2)

6

课题学习(2)   第十二章小结(2) 单元测验(1)

7

平方根（3） 立方根（2）

8

实数（2）   第十三章小结(2)    单元测验(1)

9~11

期中备考

12

变量(1)   函数(2)   函数的图象(3)  

13

正比例函数(1) 一次函数(1)  一次函数(3)

14

一次函数与一元一次方程(1)  一次函数与一元一次不等式(1)

第十四章小结(2)

15

 整式(1)   整式的加减(2) 同底数幂的乘法(1)   幂的乘方(1)   

16

积的乘方(1)  整式的乘法(2)整式的乘法(2)    

17

平方差公式(2) 完全平方公式(3)  

18

 同底数幂的除法(1)   整式的除法(2)因式分解(1)   提公因式法(1)  

19

 公式法(3) 第十五章小结(2)   

20

 期末备考

教 学

目 标

1、理解全等三角形及相关概念，能够从图形中寻找全等三角形，探索并掌握全等三角形的性质，能够利用性质解决简单的问题．

2、在探索全等三角形性质的过程中，体会研究问题的方法，感受图形变化途径．

3、培养学生的识图能力、归纳总结能力和应用意识．

教学重点

1、全等三角形以及相关概念．

2、探索全等三角形的性质．

教学难点

不同情况下的三角形全等的图形归纳．

教 学 互 动 设 计

设计意图

一、创设情境 导入新课

【问题】观察思考：每组的两个图形有什么特点?

1、每组的两个图形形状大小都一样。 2、每组的两个图形都可以重合。

请列举出现实生活中能够完全重合的图形的例子?（如同底相片等）

全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．

全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．

把每组的两个图形沿同一水平方向平移使每组中的两个图片叠放在一起。得到两个图形的特点。

二、合作交流 解读探究

E

D

D

A

A

A

如图，将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．

C

B

E

C

C

B

B

⑶

⑵

⑴

F

D

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等．

在图⑴中，点A与点D重合．点B与点E重合．我们把这样互相重合的一对顶点叫做对应顶点；AB边与DE边重合，这样互相重合的边就叫做对应边；∠A与∠D重合，它们就是对应角．△ABC与△DEF全等，我们把它记作：“△ABC≌△DEF”．读作“△ABC全等于△DEF”．

注意：记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．

【问题】你能找出图⑴中其他的对应顶点、对应边和对应角吗？怎样表示图⑵⑶中的两个全等三角形，并找出对应顶点、对应边和对应角．

点C与点F是对应点，BC边与EF边是对应边，CA边与FD边也是对应边．∠B与∠E是对应角，∠C与∠F也是对应角．

【问题】图中的三角形为全等三解形。全等三角形的对应边有什么关系呢？对应角呢？

全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等．

全等三角形的对应角相等．

利用几何语言来描述其性质（板书）

∵△ABC≌△DEF（已知）

∴ AB=DE，BC=EF，AC=DF (全等三角形的对应边相等)

∴ ∠A=∠D，∠B=∠E ，∠C=∠F (全等三角形的对应角相等)

加深学生对全等三角形概念的理解，以及动手操作能力的培养．

组织学生观察、归纳，引导学生归纳全等三角形的性质．

三、应用迁移 巩固提高

【例1】如图，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°．求出△AEC各内角的度数．

解：∵∠ACB=85°，∠B=30°（已知）

∴∠BAC=180°-∠ACB -∠B =65°

（三角形的内角和等于180°）

∵△ABC≌△AEC（已知）

∴∠EAC=∠BAC=65°，∠E=∠B=30°，∠ACE=∠ACB=85°（全等三角形对应角相等）

答：△AEC的内角的度数分别为65°、30°、85°．

A

B

C

D

E

【例2】如图，已知△ABC≌△ADE,∠C=∠E,BC=DE,想一想: ∠BAD=∠CAE吗?为什么?

答:相等.理由如下:

∵△ABC≌△ADE(已知)

∴∠BAC= ∠DAE(全等三角形对应角相等)

∴∠BAC -∠DAC= ∠DAE -∠ DAC(等式性质)

∴∠BAD=∠CAE

【例3】如图是一个等边三角形，你能利用折纸的方法把它分成两个全等的三角形吗？你能把它分成三个，四个全等的三角形吗？

【练习】课本Р4 练习

四、总结反思 拓展升华

通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课大家要重点掌握的．

找对应元素的常用方法有两种：

（一）从运动角度看

1．翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．

2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．

3．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．

（二）根据位置元素来推理

1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．

2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．

五、课堂作业

P4 1 2 3

教学理念/反思

教 学

目 标

1．三角形全等的“边边边”的条件．

2．了解三角形的稳定性．

3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

教学重点

通过观察和实验获得SSS，会运用SSS条件证明两个三角形全等．

教学难点

寻求三角形全等的条件．

教 学 互 动 设 计

设计意图

一、创设情境 导入新课

A

C

B

D

F

E

【问题1】已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角．

图中相等的边是： ．

相等的角是： ．

【问题2】你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？

（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）．

这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．

使学生明确两个三角形满足六个条件就能保证三角形全等．

二、合作交流 解读探究

【探究1】满足什么条件的两个三角形全等？

1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？

2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．

①三角形一内角为30°，一条边为3cm．

②三角形两内角分别为30°和50°．

③三角形两条边分别为4cm、6cm．

教师引导学生探究：

通过画图发现，满足六个条件中的一个或两个，两个三角形不一定全等．

【探究2】下面我们来观察一个三角形的平移过程，在观察中请你体会如果两个三角形的三边对应相等，这两个三角形是否全等．

我们看到平移前后三角形的三条线段的长度没有改变，反过来，如果两个三边对应相等，我们将其叠合，会发现两个三角形完全重合．

【思考】你如何验证你的结论呢?（请每两个同学一组合作，先任意画一个三角形，然后再画一个三角形使其与前三角形的三边对应相等，并将所画的三角形裁剪下来与前三角形重叠，看看有什么结果．）

提醒学生注意：已知三边画三角形是一种重要的作图，在几何中用途很多，所以这种画图方法一定要掌握．

通过观察和实验，我们得到一个规律：

三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．

我们在前面学习三角形的时候知道：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．

用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．

提出问题，明确探究方向，激发探究欲望．

学会观察，培养学生分析、探究问题的能力．

使学生明确：判定两个三角形全等至少需要三个条件．

三、应用迁移 巩固提高

【例1】如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．

求证：△ABD≌△ACD．

[分析]要证△ABD≌△ACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等．

证明：

【例2】如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？

四、总结反思 拓展升华

本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．

五、课堂作业

P15 1 2

教学理念/反思

教 学

目 标

1、会用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用。

2、掌握作已知角的平分线的方法及步骤。

教学重点

用尺规作一个角等于已知角，作已知角的平分线。

教学难点

规范使用尺规，规范使用作图语言，规范的按照步骤作出图形。

教 学 互 动 设 计

设计意图

一、创设情境 导入新课

前面我们用量角器画一个角等于已知角和画一个已知角∠AOB的平分线OC，怎样用尺规来作一个角等于已知角和作已知角的平分线呢？

由具体的问题引入，激发学生的学生兴趣

二、合作交流 解读探究

【问题1】作一个角等于已知角。

已知如图，∠AOB

求作：∠A’O’B’，使∠A’O’B’＝ ∠AOB

教师在黑板上作图，同时写出作法：

1 作射线O’A’。

2 以O点为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D。

3 以O’为圆心，以OC长为半径画弧，交O’A’于点C。

4 以C’为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D’。

5 过点D’作射线O’B’， ∠A’O’B’ 就是所求作的角。

只用无刻度的直尽和圆规作图的方法称为尺规作图。

问：你能验证你所作的角与已知角相等吗？

【问题2】作一个已知角∠AOB的平分线OC。

分析：假如∠AOB的平分线OC已经画出，在前面角的平分线的研究中，我们用折线的实验发现：如果有OE=OD，那么CE=CD．这个实验也启发我们：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB吗？

用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB．于是容易看出，要作∠AOB的平分线OC，在于怎样才能找到起关键作用的点C？

怎样确定点C呢？不难看出，为了确定C点，必须先找点E、D．以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E，那么OD=OE吗？再分别以D、E为圆心，适当的长度为半径作弧，设两弧交于点C，那么CD=CE吗？而D、E为圆心，“适当”的长度为半径作弧，两弧有一交点时，怎样的长度才“适当”呢？

已知：∠AOB，如图

求作：射线OE，使∠AOE=∠BOE．

作法：(1)在OA和OB上，分别截取OC、OD，使OC=OD．

（2）分别以C、D为圆心，大于1/2CD的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点E．

（3）作射线OE．

OE就是所求的射线．

学生探索作图方法

通过示范，使学生明白如何利用尺规作一个角等于已知角。

三、应用迁移 巩固提高

【例1】已知∠AOB，利用尺规作∠A’O’B’，使∠A’O’B’=2∠AOB

A

B

C

D

E

P

【例2】如图，已知AD=AE，PD=PE，能否判定∠DAP=∠PAE？请写出证明过程。

【练习】课本Р8 练习

学生动手操作，教师加以指导，在具体的操作中巩固作法。

利用全等证明角相等的应用。

四、总结反思 拓展升华

本节课我们主要学习了用尺规作一个角等于已知角和平分已知角，要会用自己的语言来书写作法，并要了解作一角等于已知角和平分已知角在尺规作图中的简单应用。

五、课堂作业

教学理念/反思

教 学

目 标

1．三角形全等的“边角边”的条件．

2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

3．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．

教学重点

会用“边角边”证明两个三角形全等。

教学难点

会正确运用“SAS”判定定理，在实践观察中正确选择判定三角形的方法。

教 学 互 动 设 计

设计意图

一、创设情境 导入新课

我们已经知道三条边对应相等的两个三角形全等，那么除此之外还有没有其它方法可以判定两个三角形全等？我们来看下面的问题：

如图，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？

不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：

AO＝CO，∠AOB＝∠COD，BO＝DO．

如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB ＝∠COD， OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．

从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．

二、合作交流 解读探究

上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：

活动1：画△ABC，∠B=60°，BC=7cm，AB=5cm,用剪刀剪下来，看一下同桌的两个同学的图形能否完全重合。引导学生去观察所画的边与角有什么特殊关系

由活动1：让学生去猜想并归纳出“SAS”定理。

边角边判定定理：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）

活动2：在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB=A＇B＇AC=A＇C＇∠B=∠B＇,观察△ABC与△A＇B＇C＇是否全等。（强化类比“SAS”）由学生观察总结出“边角边”不一定能判定两三角形全等。所以“SAS”定理一定是两边及两边的夹角对应相等才能判定两三个角全等。

三、应用迁移 巩固提高

【例1】填空：

(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．

(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)．

【例2】已知：如图5，AD∥BC，AD＝ CB．

求证：△ADC≌△CBA．

问题：如果把图5中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5)，那么要证明△ADF≌ △CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个什么条件(AF＝ CE或AE ＝CF)？怎样证明呢？

【例3】已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图4)．求证：△ABD≌△ACE．

【探究】

　　学生讨论，教师归纳

　　可通过画图来回答这个问题，如图，图中ΔABD与ΔABC满足两边及其中一边的对角对应相等，但显然这两个三角形不全等。

这说明有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

【练习】课本Р10 练习

四、总结反思 拓展升华

1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．

2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理．

五、课堂作业

P15 3 4

教学理念/反思

教 学

目 标

1．三角形全等的条件：角边角、角角边．

2．三角形全等条件小结．

3．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．

4．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．

教学重点

已知两角一边的三角形全等探究．

教学难点

灵活运用三角形全等条件证明．

教 学 互 动 设 计

设计意图

一、创设情境 导入新课

1．复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

　　三个角、三个边、两边一角、两角一边．

（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？

　　三种：①定义；②SSS；③SAS．

2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？

二、合作交流 解读探究

【问题1】三角形中已知两角一边有几种可能？

1．两角和它们的夹边．

2．两角和其中一角的对边．

【问题2】三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？

将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．

提炼规律：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．

【问题3】我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？

①先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长．

②画线段A′B′，使A′B′=AB．

③分别以A′、B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A，使∠D′AB=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA．

④射线A′D与B′E交于一点，记为C′

即可得到△A′B′C′．

将△A′B′C′与△ABC重叠，发现两三角形全等．

两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．

思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？

【问题4】

如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？

证明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°

∠A=∠D，∠B=∠E

∴∠A+∠B=∠D+∠E

∴∠C=∠F

在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（ASA）．

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．

三、应用迁移 巩固提高

【例1】如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．

求证：AD=AE．

[分析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中，所以要证AD=AE，只需证明△ADC≌△AEB即可．

证明：在△ADC和△AEB中

所以△ADC≌△AEB（ASA）

所以AD=AE．

【例2】如图，海岸上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看C，D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么点A到海岛C的距离与点B到海岛D的距离相等，为什么？

证明：∵∠CAD=∠CBD，∠1=∠2

∴∠C=∠D。

在△ABC与△BAD

∠CAB=∠ABD（已知）

∠C=∠D （已证）

AB=BA （公共边）

∴△ABC≌△BAD（AAS）

∴AC=BD

即点A到海岛C的距离与点B到海岛D的距离相等

【练习】课本Р13 练习

培养学生的逻辑推理能力、独立思考能力，会用“ASA或AAS“判断三角形全等，规范地书写证明过程. 培养学生合情合理的逻辑推理能力，语言表达能力，规范地书写证明过程.培养学生的符号感，体会数学知识的严谨性.

四、总结反思 拓展升华

五种判定三角形全等的方法：

1．全等三角形的定义

2．判定定理：边边边（SSS）  边角边（SAS）  角边角（ASA）  角角边（AAS）

推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．

五、课堂作业

P15 5 6

教学理念/反思

教 学

目 标

1、理解三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问题．

2、经历探索三角形全等的四种判定方法的过程，能进行合情推理．

教学重点

运用四个判定三角形全等的方法．

教学难点

正确选择判定三角形全等的方法，充分应用“综合法”进行表达．

教 学 互 动 设 计

设计意图

一、分层练习 回顾反思

1．已知△ABC≌△A′B′C′，且∠A=48°，∠B=33°，A′B′=5cm，求∠C′的度数与AB的长．

【评析】表示两个全等三角形时，要把对应顶点的字母写在对应位置上，这时解题就很方便．

2．已知：如图1，在AB、AC上各取一点E、D，使AE=AD，连接BD、CE相交于点O，连接AO，∠1=∠2．

求证：∠B=∠C．

【思路点拨】要证两个角相等，我们通常用的办法有：（1）两直线平行，同位角或内错角相等；（2）全等三角形对应角相等；（3）等腰三角形两底角相等（待学）．

根据本题的图形，应考虑去证明三角形全等，由已知条件，可知AD=AE，∠1=∠2，AO是公共边，叫△ADO≌△AEO，则可得到OD=OE，∠AEO=∠ADO，∠EOA=∠DOA，而要证∠B=∠C可以进一步考查△OBE≌△OCD，而由上可知OE=OD，∠BOE=∠COD（对顶角），∠BEO=∠CDO（等角的补角相等），则可证得△OBF≌△OCD，事实上，得到∠AEO=∠AOD之后，又有∠BOE=∠COD，由外角的关系，可得出∠B=∠C，这样更进一步简化了思路．

【教师点评】在分析一道题目的条件时，尽量把条件分析透，如上题当证明△ADO≌△AEO之后，可以得到OD=OE，∠AEO=∠ADO，∠EOA=∠DOA，这些结论虽然在进一步证明中并不一定都用到，但在分析时对图形中的等量及大小关系有了正确认识，有利于进一步思考．

组织学生练习，请一位学生上台演示．

先独立完成演练1，然后再与同伴交流，踊跃上台演示．

巡视、启发引导，关注“学困生”，请学生上台演示，然后评点．

小组合作交流，共同探讨，然后解答．

分组合作，互相交流．

二、应用迁移 能力提升

【例1】如图2，已知∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE．求证：AD=AE．

【思路点拨】欲证相等的两条线段AD、AE分别在△ABD和△ACE中，由于BD=CE，∠ABD=∠ACE，因此要证明△ABD≌△ACE，则需证明∠BAD=∠CAE，这由已知条件∠BAC=∠DAE容易得到．

证明：∵∠BAC=∠DAE

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAE

在△ABD和△ACE中，

∵BD=CE，∠ABD=∠ACE，∠BAD=∠CAE，

∴△ABD≌△ACE（AAS），

∴AD=AE．

【例2】如图4，仪器ABCD可以用来平分一个角，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线，你能说明其中道理吗？

小明的思考过程如下：

→△ABC≌△ADC→∠QRE=∠PRE

你能说出每一步的理由吗？

引导学生思考问题．

分析、寻找证题思路，独立完成例题

四、总结反思 拓展升华

五种判定三角形全等的方法：

1．全等三角形的定义

2．判定定理：边边边（SSS）  边角边（SAS）  角边角（ASA）  角角边（AAS）

推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．

五、课堂作业

P16 9 10

教学理念/反思

教 学

目 标

1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；

2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题；

3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。

教学重点

运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学难点

熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教 学 互 动 设 计

设计意图

一、课前热身 复习旧知

1、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、

2、如图，Rt△ABC中，直角边是 、 ，斜边是 。

3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，

（1）若∠A=∠D，AB=DE，

则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）

（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）

（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）

（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）

二、合作交流 解读探究

【做一做】任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C，′，使B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？

画一个Rt△A′B′C′，使B′C′=BC,AB=AB;

1、 画∠MC′N=90°。

2、 在射线C′M上取B′C′BC。

3、 以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′。

连接A′B′。

【学生活动】画图分析，寻找规律．如下：

规律：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）．

【想一想】你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？

【互动交流】直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS，还有直角三角形特殊的判定方法——HL。

三、应用迁移 巩固提高

【例1】如课本图11．2─12，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证BC=AD．

【思路点拨】欲证BC=AD，首先应寻找和这两条线段有关的三角形，这里有△ABD和△BAC，△ADO和△BCO，O为DB、AC的交点，经过条件的分析，△ABD和△BAC具备全等的条件．

证明：∵AC⊥BC，BD⊥BD，

∴∠C与∠D都是直角．

在Rt△ABC和Rt△BAD中，

∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．

∴BC=AD．

【评析】在证明两个直角三角形全等时，要防止学生使用“SSA”来证明．

【例2】如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方面的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DEF的大小有什么关系？

下面是三个同学的思考过程，你能明白他们的意思吗？

→△ABC≌△DEF→∠ABC→∠DEF→∠ABC+∠DEF=90°．

有一条直角边和斜边对应相等，所以△ABC与△DEF全等．这样∠ABC=∠DEF，也就是∠ABC+∠DEF=90°．

在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，因此这两个三角形是全等的，这样∠ABC=∠DEF，所以∠ABC与∠DEF是互余的．

【练习】课本Р14 练习

引导学生共同参与分析例题

参与教师分析，提出自己的见解．

这个问题涉及的推理比较复杂，可以通过全班讨论，共同解决这个问题，但不需要每个学生自己独立说明理由，只要求学生能看懂三位同学的思考过程就可以了．

四、总结反思 拓展升华

我们有六种判定三角形全等的方法：

1．全等三角形的定义 2．边边边（SSS）

3．边角边（SAS） 4．角边角（ASA）

5．角角边（AAS） ６．ＨＬ（仅用在直角三角形中）

五、课堂作业

P16 7 8 13

教学理念/反思

本节课通过动手操作，在合作交流、比较中共同发现问题，培养直观发现问题的能力，在反思中发现新知，体会解决问题的方法．通过今天的学习和对前面三角形全等条件的探求，可知判定直角三角形全等有五种方法．

教 学

目 标

1．通过作图直观地理解角平分线的性质定理．

2．经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．

教学重点

领会角的平分线的性质定理．

教学难点

角的平分线的性质定理的实际应用．

教 学 互 动 设 计

设计意图

一、创设情境 导入新课

在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．

求证：∠MOC=∠NOC．

通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线．

受这个题的启示，我们能不能这样做：

在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了．

思考：这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）

议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？

要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．

∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．

看看条件够不够．

所以△ABC≌△ADC（SSS）．

所以∠CAD=∠CAB．

即射线AC就是∠DAB的平分线．

首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1）直观地进行讲述，提出探究的问题．

小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”判定法，可以说明这个仪器的制作原理．

二、合作交流 解读探究

【探究1】作已知角的平分线的方法：

已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分线．

作法：

（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．

（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．

（3）作射线OC，射线OC即为所求．

【议一议】

1．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？

2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？

【总结】

1．去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．

2．若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．

3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．

4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．

【探究2】如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的知识，说明你的结论的正确性吗？

实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB的平分线OC，第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离，这两个距离相等．”

【总结】角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．

已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E

求证：PD=PE．

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PDO=∠PEO=90°

在△PDO和△PEO中，

∴△PDO≌△PEO（AAS）

∴PD=PE

动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知．

三、应用迁移 巩固提高

【例】在一节数学课上，老师要求同学们练习一道题，题目的图形如图所示，图中的BD是∠ABC的平分线，在同学们忙于画图和分析题目时，小明同学忽然兴奋地大声说：“我有个发现！”原来他自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法．他的方法是这样的，在AB上取点E，使BE=BC，然后画DE⊥AB交AC于D，那么BD就是∠ABC的平分线．

有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢？请你来说明理由．

【练习】课本Р19 练习

四、总结反思 拓展升华

本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质．

五、课堂作业

P22 1 2

教学理念/反思

教 学

目 标

1．角的平分线的性质

2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．

3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．

教学重点

角平分线的性质及其应用．

教学难点

灵活应用两个性质解决问题．

教 学 互 动 设 计

设计意图

一、创设情境 导入新课

【问题1】画出三角形三个内角的平分线

你发现了什么特点？

【问题2】如课本图11．3─5，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？

二、合作交流 解读探究

【探究】小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线上．

证明如下：

已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE．

求证：点P在∠AOB的平分线上．

证明：经过点P作射线OC．

∵PD⊥OA，PE⊥OB

∴∠PDO=∠PEO=90°

在Rt△PDO和Rt△PEO中，

∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）

∴∠AOC=∠BOC，

∴OC是∠AOB的平分线．

【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

启发、引导学生；组织小组之间的交流、讨论；帮助“学困生”．

自主、合作、交流，在教师的引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和结论，加深认识．

三、应用迁移 巩固提高

【例1】如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．

【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．

证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F．

∴BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．

∴PD=PE

同理 PE=PF

∴PD=PE=PF

即点P到边AB、BC、CA的距离相等．

【评析】在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程．

三角形的三条角平分线相交于一点．

【例2】如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．

学生根据上一问题的解决过程独立解决本问题，在必要时教师适当引导．

【练习】课本Р22 练习

学生参与教师分析，主动探究学习．

四、总结反思 拓展升华

我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．

五、课堂作业

P22 3 4 5 6

教学理念/反思

教 学

目 标

1、掌握三角形全等的判定方法，利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式．

2、能用尺规进行一些基本作图．能用三角形全等和角平分线的性质进行证明。

3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

教学重点

用三角形全等和角平分线的性质进行证明有关问题

教学难点

灵活应用所学知识解决问题，精炼准确表达推理过程

教 学 互 动 设 计

设计意图

一、知识结构疏理

两两边一____

两边一对角

____________

____________

三边______________

两边_____________

两角一边对应相等

__________________

一个条件

两个条件

三个条件

探究

三角形

全等的

条件

二、基本训练

1.填空

(1)能够 的两个图形叫做全等形，能够 的两个三角形叫做全等三角形.

(2)把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 .

(3)全等三角形的 边相等，全等三角形的 角相等.

(4) 对应相等的两个三角形全等（边边边或 ）.

(5)两边和它们的 对应相等的两个三角形全等（边角边或 ）.

(6)两角和它们的 对应相等的两个三角形全等（角边角或 ）.

(7)两角和其中一角的 对应相等的两个三角形全等（角角边或 ）.

(8) 和一条 对应相等的两个直角三角形全等（斜边、直角边或 ）.

(9)角的 上的点到角的两边的距离相等.

2.如图，图中有两对三角形全等，填空：

(1)△CDO≌ ，其中，CD的对应边是 ，

DO的对应边是 ，OC的对应边是 ；

(2)△ABC≌ ，∠A的对应角是 ，

∠B的对应角是 ，∠ACB的对应角是 .

3.判断对错：对的画“√”，错的画“×”.

(1)一边一角对应相等的两个三角形不一定全等. （ ）

(2)三角对应相等的两个三角形一定全等. （ ）

(3)两边一角对应相等的两个三角形一定全等. （ ）

(4)两角一边对应相等的两个三角形一定全等. （ ）

(5)三边对应相等的两个三角形一定全等. （ ）

(6)两直角边对应相等的两个直角三角形一定全等. （ ）

(7)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等. （ ）

(8)一边一锐角对应相等的两个直角三角形一定全等. （ ）

4.如图，AB⊥AC，DC⊥DB，填空：

(1)已知AB＝DC，利用 可以判定 △ABO≌△DCO；

(2)已知AB＝DC，∠BAD＝∠CDA，利用

可以判△ABD≌△DCA；

(3)已知AC＝DB，利用 可以判定△ABC≌△DCB；

(4)已知AO＝DO，利用 可以判定△ABO≌△DCO；

(5)已知AB＝DC，BD＝CA，利用 可以判定△ABD≌△DCA.

5.完成下面的证明过程： 如图，OA＝OC，OB＝OD.

求证：AB∥DC.

证明：在△ABO和△CDO中，

∴△ABO≌△CDO（ ）.

∴∠A＝ .

∴AB∥DC（ 相等，两直线平行）.

6.完成下面的证明过程：

如图，AB∥DC，AE⊥BD，CF⊥BD，BF＝DE.

求证：△ABE≌△CDF.

证明：∵AB∥DC，

∴∠1＝ .

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB＝ .

∵BF＝DE，

∴BE＝ .

在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（ ）.

三、典型例题

【例1】如图，AB＝AD，BC＝DC.

求证：∠B＝∠D.

【例2】如图，CD⊥AB，BE⊥AC，OB＝OC.

求证：∠1＝∠2.

【例3】已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC，

求证：EB=FC

四、应用拓展

1、如图，OA⊥AC，OB⊥BC，填空：

(1)利用“角的平分线上的点到角的两边

的距离相等”，已知 ＝ ，

可得 ＝ ；

(2)利用“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，

已知 ＝ ，可得 ＝ ；

2、如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，BE＝CF.

求证：AD是△ABC的角平分线.

3、如图，∠ACB=90°,AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE.

求证：△ACD≌△CBE.

4、如图，在R△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.

5、如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF

已知：EG∥AF，________，__________

求证：_________

G

F

E

D

C

B

A

五、总结反思 拓展升华

学习全等三角形应注意以下几个问题

（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；

（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；

（3）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个

三角形不一定全等；

（4）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”

六、课堂作业

课本26页复习题11第2、5、6、8、9题；选做：27页10-12题。

教学理念/反思

教 学

目 标

1．在生活实例中认识轴对称图．

2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．

教学重点

由具体情境抽象出轴对称图形与轴对称的概念．

教学难点

理解轴对称与轴对称图形之间的区别与联系．

教 学 互 动 设 计

设计意图

一、创设情境 感受新知

【问题】观察、讨论、交流，尝试用自己的语言描述这些实物、图片的共同特征

小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．

我们的黑板、课桌、椅子等． 我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的．

这些图形都是对称的．这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．

二、合作交流 解读探究

⑴轴对称图形

1、做一做

把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），想一想，展开后会是一个什么样的图形？位于折痕两侧图案有什么关系？

2、想一想

日常生活中常见的动物图片如：蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等,能发现它们有什么共同特征？

3、轴对称图形定义：

如果一个图形沿一条 折叠，直线两旁的部分能够 这个图形就叫做轴对称图形。 就是它的对称轴。

⑵轴对称

1、做一做: 折纸印墨迹

问题1：你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？

问题2：两边墨迹的位置与折痕有什么关系？

2、想一想: 教材P30-----思考

3、轴对称定义

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与 重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线就是 ，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做 。

⑶关于某条直线成轴对称的图形的性质特征

1、想一想：教材P31 ---思考1 结论：

2、轴对称与轴对称图形的联系与区别．

如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．

经过学生讨论，找到特征后，引导学生归纳轴对称图形的概念．

学生观察图片，在独立思考的基础上进行交流，共同总结每对图形所具有的特征，学生可能发现：沿某条直线对折，两个图形能够完全重合．

三、应用迁移 巩固提高

【例1】下列汉字，如果用一样粗细的笔写出来，哪些是轴对称图形？是轴对称图形的，有几条对称轴？ 大  小  口  中  朋  木

【例2】在26个英文字母中，请你说出几个成轴对称图形的字母，并且指出有几条对称轴

【例3】判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称.

【例4】标出下列图形中的对称点

【例5】观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形，若是，请画出对称轴。

【练习】课本Р4 练习

四、总结反思 拓展升华

这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称．

五、课堂作业 P36 1 2

教 学

目 标

1、 理解线段的垂直平分线的概念；理解成轴对称的两个图形全等。

2 、探索轴对称的基本性质；线段垂直平分线的性质。

教学重点

探索轴对称的性质，并总结出线段垂直平分线的性质。

教学难点

探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题。

教 学 互 动 设 计

设计意图

一、创设情境 导入新课

【思考】如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′和直线MN有什么关系？

学生自行分析操作过程，从操作过程中发现数量关系，点A和A′是对称点，可以设AA′与对称轴的交点为P，将△ABC沿MN对折后A与A′重合，于是有AP=PA′、∠MPA=∠MPA′＝90°，对于其他的点也有类似的情况，于是可以发现，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点并且垂直于这条线段．

鼓励学生经过独立思考，发现数量关系并进行交流，同时给出线段垂直平分线的定义，归纳性质。

二、合作交流 解读探究

⑴轴对称的性质

1、垂直平分线的定义：

经过线段 并且 这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

2、轴对称的性质：

如果两个图形关于某条直线对称，那么 是任何一对对应点所连线段的

类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

⑵线段垂直平分线的性质

1、想一想：如图，木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB，点P是l上的点，当点P在l上移动时，分别量出点P到A、B的距离，你有什么发现？你能证明你的结论吗？

学生观察、操作、思考可以得出线段垂直平分线的性质，然后运用所学知识证明结论的正确性：根据条件OA=OB、∠AOP=∠BOP、OP=OP由SAS可以得出△AOP≌△BOP，于是得出AP=BP．

2、品一品：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的 与这条线段 的距离 。请写出证明过程

思考：反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？

3、再想一想：如图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？

4、归纳：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的

上．

如果两个图形成轴对称，其中对称轴就是任何一对对应点连线的垂直平分线，因此只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴；对于轴对称图形也是类似．

鼓励学生大胆猜测，然后验证自己的猜测，从而让学生体会数学的学习是“猜测－验证”过程．

在图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直．

三、应用迁移 巩固提高

【例1】电信部门要修建一个电视信号发射塔．如图所示，按照要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等。发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．

根据问题的条件和要求，可以发现发射塔必须修建在公路所成角的平分线上，同时还要在线段AB的垂直平分线上，只要作出角的平分线和线段AB的垂直平分线，两者的交点就是符合条件的点．

【例2】如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次,然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开,得到的图案是右图中的【 】

【例3】下列说法中，正确的有【 】

1、两个关于某直线对称的图形是全等形；

2、两个图形关于某直线对称,对称点一定在直线两旁；

3、两个对称图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴；

4、平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称。

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

【例4】将一张正方形纸片经两次对折,并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是【 】

【例5】下列命题中，假命题是（   ）

A、两个三角形关于某直线对称，那么这两个三角形全等

B、两个图形关于某直线对称，且对应线段相交，则交点必在对称轴上

C、两个图形关于某直线对称，对应点的连线不一定垂直对称轴

D、若直线L同时垂直平分AA‘、BB’，那么线段AB＝A'B'

【练习】课本Р34 练习

引导学生根据角平分线性质和线段垂直平分线性质寻找符合条件的点．

四、总结反思 拓展升华

这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题．

五、课堂作业 P36 3 4 5

六、教学反思

教 学

目 标

1．经历探究轴对称图形的对称轴的作法的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

2．掌握轴对称图形对称轴的作法．

3．在探索的过程中，培养学生分析、归纳的能力．

教学重点

作出轴对称图形的对称轴。

教学难点

探索轴对称图形对称轴的作法．

教 学 互 动 设 计

设计意图

一、创设情境 导入新课

【问题1】如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．

【问题2】有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗？

作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对 对称点 ，作出连接它们的 线段 的 垂直平分线 线，就可以得到这两个图形的对称轴．

二、合作交流 解读探究

【问题3】如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

已知：线段AB[如图（1）．

求作：线段AB的垂直平分线．

作法：如图（2）

1．分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；

2．作直线CD．

直线CD就是线段AB的垂直平分线．

【思考】在上述作法中，为什么要以“大于AB的长”为半径作弧？

分等于或小于以AB长为半径作弧两种情况考虑。

【思考】根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线，请与同伴进行交流．

从作法的第一步可知

AC=BC，AD=BD．

∴C、D都在AB的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定定理）．

∴CD就是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线）．

【问题4】下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴．

作法：1．找出五角星的一对对应点A和A′，连结AA′．

2．作出线段AA′的垂直平分线L．

则L就是这个五角星的一条对称轴．

用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．

学生在教师的引导下，利用尺规作图作出线段AB的垂直平分线，然后由学生进行证明．

三、应用迁移 巩固提高

【例1】如下图，已知直线L和两点A、B，在直线L上求作一点P，使PA=PB．

分析：PA=PB，则P点在线段AB的垂直平分线上，P点又在直线L上，故P点为线段AB的垂直平分线与直线L的交点．

解：作出线段AB的垂直平分线L′，L′与直线L的交点即为P，使PA=PB．

【例2】画出下图甲中的各图的对称轴．

分析：根据对称图形的性质可知：这几个图形的对称轴分别有3条、2条、1条、3条．

解：如图所示：

【例3】如下图小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向A村与B村供水，要符合条件：（1）若要使厂部到A、B的距离相等，则应选在哪儿？

（2）若要使厂部到A村、B村的水管最省料，应建在什么地方？

分析：（1）到A、B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到两边距离相等”．

（2）要使厂部到A村、B村的距离和最短，可联想到“两点之间线段最短”．

解：（1）如图（1），取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A、B的距离相等．

（2）如图（2），画出点A关于河岸EF的对称点A′，连A′B交EF于P，则P到A、B的距离和最短．

方法总结：“垂线段最短”“两点之间线段最短”是线段最值问题中两个重要方法．

【练习】课本Р35 练习

方法总结：当对称轴的条数超过1条时，各对称轴往往交于一点．

四、总结反思 拓展升华

本节课我们探讨了尺规作图，作出线段的垂直平分线．并据此得到作出一个轴对称图形一条对称轴的方法：找出轴对称图形的任意一对对应点，连结这对对应点，作出连线的垂直平分线，该垂直平分线就是这个轴对称图形的一条对称轴．

五、课堂作业

P37 6 7 8 9 10

六、教学理念/反思

教 学

目 标

1、通过具体实例学做轴对称图形,认识轴对称变形,探索它的基本性质和定义。

2、能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形。

3、能利用轴对称进行图案设计。

教学重点

1、轴对称变形的基本特征。   

2、能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形。

教学难点

利用轴对称进行一些图案设计。

教 学 互 动 设 计

设计意图

一、创设情境 导入新课

【图片欣赏】展示生活中与轴对称现象有关的美丽图案。如：剪纸艺术、服饰文化、几何图案、花边艺术等。

【观察思考】这些图案是怎样形成的？你想学会制作这种图案的方法吗？

从学生熟悉的图形入手,感受轴对称图形在生活中的广泛应用,体会数学就在身边,激发学生学习数学的兴趣。

二、合作交流 解读探究

【动手画图1】

1、取一张长方形纸；

2、将纸对折，中间夹上复写纸；

3、在纸上沿折叠线画出半只蝴蝶；

4、把纸展开

【动手画图2】

1、再取一张长方形纸；

2、将纸对折，中间夹上复写纸；   

3、在纸上远离折叠线画出一朵花；

4、把纸展开。

学生画图，教师关注：

①学生如何画出图形的基础部分；折痕两旁的部分是什么关系？   

②折痕所在直线就是它的对称轴。

③找出一对对应点并连接，观察它与折痕的关系。

④思考这些图案是怎样形成的？

归纳总结：一个轴对称图形可以看作由它的一部分为基础，按轴对称原理作图而得到。成轴对称的两个图形也可以由其中的任何一个图形为基础，按轴对称原理作图而得到另一个图形。

【动手画图3】

取一张白纸折叠夹上复写纸，任画一个你最喜欢的图形，打开纸看一下，然后改变折痕方向重新叠纸，在原来的图形上描图，再打开，你会发现什么结论？当对称轴的方向和位置发生变化时，得到图形的方向和位置会变吗？

【思考】每组图案是怎样得到的？   

①每组图案中相邻的两个图案是否都是对称的？   

②每组图案各有几条对称轴，对称轴一定是水平或竖直的吗？   

③这些图案由一个图形经一次轴对称作图就能得到吗？

【教师关注】   

①学生画出的是一个什么图形。

②是否改变了折痕并重复了几次。

归纳总结：对称轴的方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也发生了变化。

作轴对称图形的基本特征：

由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；

新图形上的每一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

学生观察图片，动手操作、观察所画图形，先独立思考，然后进行交流．

展示学生的作品，听取学生的评价。

让学生亲自动手学画轴对称图形，去感受、理解轴对称变形的过程。

观察所画图形，寻找对称点，便于总结轴对称作图的基本方法，培养学生独立思考问题、解决问题的能力

三、应用迁移 巩固提高

【例1】如图，已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形。

【思考】

①如果这个图形就是一个点，如何作出与这个点关于这条直线对称的图形呢?

②△ABC关于直线l的对称图形是什么形状？

③ △ABC的轴对称图形可以由哪几个点确定？

在学生交流的过程中，引导学生探索作对称点的方法．如图，作点A关于l的对称点的方法是：

（1）过A作l的垂线垂足为O；

（2）连接AO并延长到A′，使A′O＝AO，则点A′就是点A关于直线l的对称点．

归纳：作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步聚。

几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；

对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。   

【练习】课本Р41 练习

从最简单的几何图形做起，便于学生理解、掌握。

分步设问，便于引导学生理解作图方法。通过教师作图板书的示范,让学生体验作图的准确性和规范性。

让学生在思考、合作、交流中归纳出作一个图形的轴对称图形步骤，锻炼口头表达能力。

四、总结反思 拓展升华

本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案．在利用轴对称变换设计图案时，要注意运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案．

五、课堂作业

P45 1 5

六、教学理念/反思

教 学

目 标

1．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．

2．培养学生运用轴对称解决实际问题的基本能力．

3．使学生掌握数学知识的衔接与各部分知识间的相互联系．

教学重点

能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形

教学难点

应用轴对称解决实际问题．

教 学 互 动 设 计

设计意图

一、创设情境 导入新课

【问题1】以虚线为对称轴画出图的另一半：

【问题2】已知△ABC，过点A作直线l．

求作：△A′B′C′使它与△ABC关于l对称．

二、合作交流 解读探究

【问题3】如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？

【问题4】如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

【问题5】如图，如果A，B在燃气管道l的同旁，泵站应修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律吗？

过程：把管道l近似地看成一条直线如图（2），设B′是B的对称点，将问题转化为在l上找一点C使AC与CB′的和最小，由于在连结AB′的线中，线段AB′最短．因此，线结AB′与直线l的交点C的位置即为所求．

结果：作B关于直线l的对称点B′，连结AB′，交直线l于点C，C为所求．

【思考】为什么在点C的位置修建泵站，就能使所用的输管道最短？

过程：将实际问题转化为数学问题，该问题就是证明AC+CB最小．

结果：

如上图，在直线l上取不同于点C的任意一点C′．由于B′点是B点关于L的对称点，所以BC′=B′C′，故AC′+BC′=AC′+B′C′，在△A′B′C′中AC′+BC′>AB′，而AB′=AC+CB′=AC+CB，则有AC+CB′+C′B．由于C′点的任意性，所以C点的位置修建泵站，可以使所用输气管线最短．

三、应用迁移 巩固提高

【例1】八年级某班同学做游戏，在活动区域边放了一些球，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最短的距离拿到球并跑到目的地A处。

【例2】在例1中，如果另一侧放着一些小木棍，小明先去捡球，还要跑到另一侧去取木棍，则小明又应按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，小木棍，才能最快跑到目的地A处。

【例3】如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边给马喝水，然后回到帐篷，请你帮助他确定这一天的最短路线。

四、总结反思 拓展升华

五、课堂作业

六、教学理念/反思

教 学

目 标

①能在直角坐标系中画出点关于坐标轴对称的点，

②能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，表示关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标．

③在找关于坐标轴对称的点的坐标之间规律并检验其正确性的过程中，培养学生的语言表达能力，观察能力、归纳能力，养成良好的科学研究方法．

教学重点

1．理解图形上的点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．

2．在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识．

教学难点

找对称点的坐标之间的关系，规律．

教 学 互 动 设 计

设计意图

一、创设情境 导入新课

【问题】在如图所示的平面坐标系中，画出下列已知点及其对称点，并把坐标填入空格中．看看每对对称点的坐标有怎样的规律．再和同学讨论一下．

学生动手画图，观察各个对称点与原来的点之间坐标的关系，经过讨论得出规律．

二、合作交流 解读探究

【总结规律】

点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)，即横坐标相等，纵坐标互为相反数；

点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)，即横坐标互为相反数，纵坐标相等．

利用刚才发现的点关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，我们可以很容易地在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴、y轴对称的图形．

教师引导，学生自主探索发现关于x轴、y轴对称的每组对称点坐标的规律．

三、应用迁移 巩固提高

【例1】

①点P(-5, 6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__________.

②点M (a, -5)与点N(-2, b)关于x轴对称，则a=_____, b =_____.

③点P(-5, 6)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为__________.

④点M (a, -5)与点N(-2, b)关于y轴对称，则a=_____, b =_____.

⑤已知点P(2a+b，-3a)与点P’(8，b+2).

若点p与点p’关于x轴对称，则a=_____ b=_______.

若点p与点p’关于y轴对称，则a=_____ b=_______.

【例2】如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形。

【例3】如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形。

【练习】课本Р45 练习2

直接应用关于x、y轴对称点的坐标特征得出结果。

学生根据关于x、y轴对称点的坐标特征，首先求出各点关于x轴、y轴的对称点，然后再连接对称点即可．

本活动主要巩固加深学生对利用坐标表示轴对称的理解，所以要特别关注学生对对称点的坐标的求解过程．

四、总结反思 拓展升华

1．点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段之间的关系来求．

2、(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)，即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)，即横坐标互为相反数，纵坐标相等．

3、如果作关于直线x＝3(记为m)和直线y=-4(记为n)对称的图形，你能发现对应点的坐标之间的关系吗?

五、课堂作业

P45 2 3 4 6 7

教学理念/反思

教 学

目 标

1、巩固等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质，并能灵活应用等腰三角形的性质解决一些实际问题。

2、通过独立思考，交流合作，体会探索数学结论的过程，发展推理能力。

教学重点

等腰三角形性质的探索及应用。

教学难点

等腰三角形性质的应用。

教 学 互 动 设 计

设计意图

一、创设情境 导入新课

【问题1】如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特征？你能画出具有这种特征的三角形吗？

创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容

二、合作交流 解读探究

让学生总结出等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，底边和腰的夹角叫作底角．如图：

△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，AB、AC是腰、BC是底边、∠A是顶角，∠B和∠C是底角．

【问题2】把问题1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段，填入下表：

从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？

性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；

性质2 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

【问题3】你能证明上述两个性质吗？

如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是底边上的中线．

（1） 求证：∠B=∠C；

（2） AD平分∠A，AD⊥BC．

学生活动

学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法，若证∠B=∠C，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可，于是可以证明△ABD和△ACD全等即可，根据条件利用“边边边”可以证明．

解：在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC＝90°．

应用格式：

∵AB=AC（已知）

∴∠BAD=∠CAD（等边对等角）

∵AB=AC，∠BAD=∠CAD ∴BD = ， ⊥ 。

∵AB=AC，BD=CD ∴∠BAD= ， ⊥ .

∵AB=AC，AD⊥BC ∴∠BAD= ， BD= .

学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB=AC．

学生经过观察，独立完成上表，从表中总结等腰三角形的性质．

让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性

三、应用迁移 巩固提高

【例1】如图（，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各个内角的度数．

引导学生分析图形中的关于角的数量关系（三角形的内角、外角、等腰三角形的底角）．

发现：

（1）∠ABC=∠ACB＝∠CDB＝∠A＋∠ABD；

（2）∠A＝∠ABD；

（3）∠A＋2∠C＝180°．

若设∠A＝x，则有x＋4x＝180°，得到x＝36°，进一步得到两个底角．

E

D

C

B

A

【例2】如图3，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且AD=AE.

求证：BD=CE

【练习】课本Р50 练习

学生小组合作、分组讨论，交流．

四、总结反思 拓展升华

这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．

我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．

五、课堂作业

P56 1 2 3

六、教学理念/反思

教 学

目 标

1、掌握等腰三角形的判定方法，并能灵活运用解决实际问题；

2、通过独立思考，交流讨论，发展推理能力和运用数学知识解决实际问题的能力；

教学重点

等腰三角形的判定方法。

教学难点

等腰三角形的判定和性质的区别，等腰三角形的判定的应用。

教 学 互 动 设 计

设计意图

一、创设情境 导入新课

【问题】如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A＝∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？

创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容

二、合作交流 解读探究

学生首先独立思考，然后可以分组讨论，观察问题中的条件，发现问题的本质是在条件∠A＝∠B下，线段AO和BO是否相等，证明两条线段相等，可以考虑这两条线段所在的三角形全等，而图中没有别的三角形，因此需要构造全等的三角形．

教师启发学生发现问题本质，让学生探索“AO=BO”成立的原因，引导学生构造全等三角形：过O作OC⊥AB于点C，利用AAS可以证明△OAC和△OBC全等，进而得到AO=BO．

解：过点O作OC⊥AB于点C。

∵∠A＝∠B、∠ACO=∠BCO、OC=OC

∴△AOC≌△BOC

∴AO=BO．

最后归纳出等腰三角形的判定性质．

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）

应用格式：

∵∠BAD=∠CAD（已知）

∴AB=AC（等角对等边）

三、应用迁移 巩固提高

【例1】求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。

已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．

求证：AB=AC．

证明：∵AD∥BC，

∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），

∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．

又∵∠1=∠2，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC（等角对等边）．

【例2】]如图（1），标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，绳子CD和CE要多长？

解：选取比例尺为1：100（即为1cm代表1m）．

（1）作线段DE=4cm；

（2）作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B；

（3）在MN上截取BC=2.5cm；

（4）连接CD、CE，△CDE就是所求的等腰三角形，量出CD的长，就可以算出要求的绳长．

【例3】如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．

求证：AE=CE．

证明：延长CD交AB的延长线于P．

在△ADP和△ADC中，

∴△ADP≌△ADC，

∴∠P=∠ACD．

又∵DE∥AP

∴∠4=∠P，

∴∠4=∠ACD．

∴DE=CE．

同理可证：AE=DE．

∴AE=CE．

【练习】课本Р53 练习

几何命题的证明首先将文字语言转化成相应的数学语言，再根据题意画出相应的几何图形．

这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题．

通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，平行线的性质．

四、总结反思 拓展升华

本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理，并对判定定理的简单应用作了一定的了解．在利用定理的过程中体会定理的重要性．在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力．

五、课堂作业

P56 4 5 9 13

六、教学理念/反思

教 学

目 标

1、经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程．

2、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题．

教学重点

理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法；

能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题．

教学难点

等边三角形性质和判定的应用．

教 学 互 动 设 计

设计意图

一、创设情境 导入新课

【问题】在等腰三角形中，有一类特殊的三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形．

（1）把等腰三角形的性质（等腰三角形的两个底角相等）用到等边三角形，能得到什么结论？

（2）一个三角形满足什么条件就是等边三角形？

（3）你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？

创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容

二、合作交流 解读探究

学生独立思考，然后进行交流，在交流中完成：

（1）所有性质的探索；

（2）性质的证明．

等边三角形三个内角都相等，并且每个内角都是60°．

三个角都相等的三角形是等边三角形．

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

让学生归纳所有性质，并证明所有的性质

三、应用迁移 巩固提高

【例1】如图，兴趣小组在一次测量活动中测得∠APB＝60°，AP=BP=200 m，他们便得出了结论：池塘最长处不小于200 m．他们的结论对吗？

教学设计：

学生在独立思考的基础上进行讨论，经过讨论可以发现，只需要证明△ABP是等边三角形即可．根据条件AP=BP知，此三角形是等腰三角形，又∠APB＝60°，可以得到三角形是等边三角形，进而可以得到AB＝200 m，所以兴趣小组的结论是正确的．

【例2】已知，在等边△ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE，

求证：△ADE是等边三角形。

教学设计：

学生首先独立思考，然后可以分组讨论，观察问题中的条件，要证明△ADE是等边三角形可以有两种方法：

方法1 证明有两边相等，且有一个角是60°；

方法2 证明三个角都相等（是60°）．

对于方法1，根据条件容易得到，AD=AE且∠A＝60°于是结论成立；对于方法2由于不容易实现，学生可以课下思考．

解：△ADE是等边三角形，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=60°．

又∵AD=AE，

∴△ADE是等腰三角形．

∴△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．

【例3】如图，以△ABC的边AB、AC向外作等边△ABE和△ACD，连接BD、CE，（1）线段CE和BD有什么数量关系？证明你的结论．（2）能否求出∠DFC的度数？

教学设计：

学生先独立思考再小组讨论，然后交流．

（1）经过分析可以发现，只需要证明线段CE和BD所在的△AEC和△ABD全等即可，根据等边三角形的性质可以得到AC=AD，AE=AB，∠DAC=∠EAB＝60°，进而得到∠EAC=∠BAD，根据SAS得到△AEC≌△ABD，于是结论成立；

（2）根据（1）可以得到∠BDA=∠ACE，又∠CGF=∠DGA(对顶角)，可以得到∠DFC＝60°，问题解决．

解：∵△ABE和△ACD是等边三角形，

∴∠DAC=∠EAB＝60°，AE=AB，AD=AC，