北京科技大学2004 — 2005学年度第二学期
高等数学（A卷） 试题 （时间120分钟）
学院 考场 班级 学号 姓名
一、填空 (每小题3分，共15分)
1．设函数，则函数在点
处的梯度为
2. 将三次积分
化为球面坐标系下的三次积分(函数在已知区域上连续)
3. 曲面在点(0,1,-1)处的切平面与
平面的夹角为
4. 光滑曲面在坐标平面
的投影区域为
，那么该曲面的面积可以用二重积分表示为
5. 设级数收敛，且和为s，则
二、选择 (每小题3分，共15分)
1. 已知函数，则
( C )
（A）； (B)
； (C)
； (C)
2. 设常数k>0, 则级数是 (C )
(A) 发散； (B) 绝对收敛； (C) 条件收敛； (D) 发散与收敛与k的取值无关
3. 微分方程的通解是 ( B )
(A)； (B)
； (C)
； (D)
4. 二元函数的极大值点是 ( A )
(A)（1，1）； (B)（1，-1）； (C)（-1，1）； (D)（-1，-1）
5. 若是上半椭圆
，取顺时针方向，则
的值为 (C )
(A) 0 ; (B) ; (C)
; (D)
三、计算 (共70分)
1．（6分）设是
的解，
计算
解：特征方程
（3分）
（6分）
(先求通解，定出常数，再进行积分也可以)
2．（8分）计算二次积分
解：
3．（6分）在过点和
的曲线族
中，求一条曲线L，使沿该曲线从
到
的积分
的值最小.
解：（4分）
唯一驻点，
所以 ： 所求曲线使
为最小。
4. （8分）设连续，
是平面
第一卦限部分的上侧，计算曲面积分
解： 由两类曲面面积积分之间的关系，且
（3分）
原式
=
=
5. （8分）求级数的收敛域与和函数.
解：
当时，级数发散。
所以：收敛区间为() （4分）
设，则
所以： （8分）
6．（8分）已知试将
展开成
的幂级数.
解：
所以： （5分）
所以： （8分）
7. (8分) 计算是球心在原点的上半单位球面的下侧。
解：补取上侧，使
为闭曲面，（1分）
又 （2分）
（5分）
= （8分）
8．（6分）设具有二阶连续导数，且
（1）确定，使得
（2）求出一个函数
解：(1)由得：
由此解出： （3分）
即：
(2) （6分）
9．（6分）在球面上求出一点
使
沿着点
到
的方向导数具有最大值（不必判别）。
，其方向余弦为
（2分）
（4分）
令
得 （6分）
10．（6分）计算， 其中
连续，L为从点
到点
的弧段.
与线段
所围面积为
（如图）
解 （2分）
又的方程为：
（3分）
（6分）
解法2
.
.
故.
