2018年文科数学全国三卷

2018年数学试题 文（全国卷3）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）

1．已知集合word/media/image1_1.png，word/media/image2_1.png，则（ ）

A．word/media/image4_1.png B．word/media/image5_1.png C．word/media/image6_1.png D．word/media/image7_1.png

2．（ ）

A．word/media/image9_1.png B． C．word/media/image11_1.png D．

3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）4．若word/media/image15_1.png，则word/media/image16_1.png（ ）

A．word/media/image17_1.png B．word/media/image18_1.png C． D．word/media/image20_1.png

5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）

A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7

6．函数 的最小正周期为（ ）

A．word/media/image22_1.png B． C．word/media/image24_1.png D．word/media/image25_1.png

7．下列函数中，其图像与函数word/media/image26_1.png的图像关于直线word/media/image27_1.png对称的是（ ）

A．word/media/image28_1.png B．word/media/image29_1.png C． D．word/media/image31_1.png

8．直线分别与word/media/image33_1.png轴，轴交于word/media/image35_1.png，word/media/image36_1.png两点，点word/media/image37_1.png在圆word/media/image38_1.png上，则word/media/image39_1.png面积的取值范围是（ ）

A．word/media/image40_1.png B． C．word/media/image42_1.png D．

9．函数word/media/image44_1.png的图像大致为（ ）

10．已知双曲线（word/media/image46_1.png）的离心率为word/media/image47_1.png，则点word/media/image48_1.png到word/media/image49_1.png的渐近线的距离为（ ）

A． B．word/media/image51_1.png C． D．word/media/image53_1.png

11．的内角word/media/image55_1.png，word/media/image56_1.png，word/media/image57_1.png的对边分别为word/media/image58_1.png，word/media/image59_1.png，word/media/image60_1.png．若的面积为word/media/image62_1.png，则（ ）

A．word/media/image64_1.png B． C．word/media/image66_1.png D．word/media/image67_1.png

12．设word/media/image68_1.png，word/media/image69_1.png，word/media/image70_1.png，word/media/image71_1.png是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为word/media/image73_1.png，则三棱锥体积的最大值为（ ）

A．word/media/image75_1.png B． C．word/media/image77_1.png D．word/media/image78_1.png

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知向量word/media/image79_1.png，word/media/image80_1.png，word/media/image81_1.png．若word/media/image82_1.png，则________．

14．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准

备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是

________．

15．若变量word/media/image84_1.png满足约束条件则word/media/image86_1.png的最大值是________．

16．已知函数，word/media/image88_1.png，则word/media/image89_1.png________．

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试

考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

等比数列word/media/image90_1.png中，word/media/image91_1.png．

⑴求的通项公式；

⑵记word/media/image93_1.png为的前项和．若word/media/image96_1.png，求．

18．（12分）

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两

种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，

第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数word/media/image98_1.png，并将完成生产任务所需时间超过和不超过word/media/image100_1.png的工人数填入下面的列联表：

⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附：word/media/image103_1.png，．

19．（12分）

如图，矩形word/media/image105_1.png所在平面与半圆弧所在平面垂直，word/media/image107_1.png是上异于，word/media/image109_1.png的点．

⑴证明：平面word/media/image110_1.png平面word/media/image111_1.png；

⑵在线段word/media/image112_1.png上是否存在点word/media/image113_1.png，使得word/media/image114_1.png平面？说明理由．

20．（12分）

已知斜率为word/media/image116_1.png的直线与椭圆word/media/image118_1.png交于，word/media/image120_1.png两点．线段word/media/image121_1.png的中点为word/media/image122_1.png．

⑴证明：word/media/image123_1.png；

⑵设word/media/image124_1.png为word/media/image125_1.png的右焦点，为word/media/image127_1.png上一点,且．证明:word/media/image129_1.png ．

21．（12分）

已知函数．

⑴求由线word/media/image131_1.png在点word/media/image132_1.png处的切线方程；

⑵证明：当word/media/image133_1.png时，word/media/image134_1.png．

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系word/media/image136_1.png中，的参数方程为word/media/image138_1.png（为参数），过点word/media/image140_1.png且倾斜角为的直线word/media/image142_1.png与word/media/image143_1.png交于word/media/image144_1.png两点．

⑴求word/media/image145_1.png的取值范围；

⑵求word/media/image146_1.png中点word/media/image147_1.png的轨迹的参数方程．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

设函数．

⑴画出word/media/image149_1.png的图像；

⑵当， word/media/image151_1.png，求word/media/image152_1.png的最小值．

参考答案

一、选择题

1．答案：C

解答：∵aba2987b49e3c2935d225f8ce135df55.png，c9247407cc142f60ec32c87ff36f7bcc.png，∴fc60c2014e591795b44079f4f37753cc.png.故选C.

2．答案：D

解答：53e7a6fc80b576b775e8201fcaad6607.png，选D.

3．答案：A

解答：根据题意，A选项符号题意；

4．答案：B

解答：03b69bf6dd82dcdb7839fc5cf6d23fee.png.故选B.

5．答案：B

解答：由题意9af757bc67448cbe958529f2314a3bba.png.故选B.

6．答案：C

解答：

8fce5883cb13b8f4546ed751ac8dad0c.png，

∴50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的周期274bc9fda6097adacfcbe19e36cfbe1b.png.故选C.

7．答案：B

解答：50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png关于a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png对称，则9536b175b3dc7aecec200f672fd9d059.png.故选B.

8．答案：A

解答：

由直线d0131af79155ff003a5dd811c71194d2.png得fa46ca5616656c79eae6f349605f7353.png，∴41841cd9ee26387c59ad3dc9b5eac080.png，圆b87ba37273613b5ea611bc14800516f9.png的圆心为d8888c9eb26f75e00c7f92f18903d91d.png，∴圆心到直线d0131af79155ff003a5dd811c71194d2.png的距离为9695a4b710af9c467fd9288da02c1fa1.png，∴点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png到直线d0131af79155ff003a5dd811c71194d2.png的距离的取值范围为bb46993c2ecf76065d9596cc98e35b27.png，即41b0b0bf1c59abd78f137c2ac379e3a2.png，∴27d246e10f9354648027d60763645974.png.

9．答案：D

解答：

当e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png时，9830b0ed5a957ff5ebfc7624a5ed45c5.png，可以排除A、B选项；

又因为5e607c647a1c4ea46742fb6d5589e159.png，则8baaf0ef5eac596ebf01a45909545fc1.png的解集为2947c1055efd6ee328a4ae36ecb18813.png，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png单调递增区间为a55ca5e0d3378d46b9970f83328b2be8.png，4d38a34e2df4c8065af5b26d6e04f13a.png；99300cb144197ff8dc44e17568431c8f.png的解集为09378ae878e4204b7cd8c94394315733.png，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png单调递减区间为96c016394a41601a95a26b22e7e6bf0c.png，7cdaff643de6a36fae136b8436ab51a6.png.结合图象，可知D选项正确.

10．答案：D

解答：

由题意4a966ed51691d9ec37318a2d9a773f28.png，则d1b7ac8ea76b92c2de0812ed33f234f4.png，故渐近线方程为584d2f5ae2717cc6986a06c8df469415.png，则点031e74e0d97e47f6017b0c41d6958a08.png到渐近线的距离为714a0f1d8c30cd6501bf06c42e820569.png.故选D.

11．答案：C

解答：

5dfcdcb1cfaec62b5bad785f6cd1a6e2.png，又03616323e2cdd58e0383df47bb3b7ea3.png，故595f99ba66056caad20d4b8620c1e4de.png，∴ebf1172d2d2fca4635f288c10c4ef55f.png.故选C.

12．答案：B

解答：

如图，75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png为等边三角形，点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png，0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png，f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png外接球的球心，dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png为75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的重心，由ae496dfe7556533f2a7f299120221cd2.png，得756808b6625c5909a3444ed3d81b7dd6.png，取f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png的中点c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png，∴6b34a4ae1584b2201034d47b95d8f624.png，∴bc64de5f0f402d64bf2bc8d6a57a8fc9.png，∴球心f186217753c37b9b9f958d906208506e.png到面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png的距离为26970b721c895c67d5547abdea2c07ea.png，∴三棱锥33b5ac052cc5242019727b2c94278654.png体积最大值d096a10410e41e479a1130cd4ece1128.png.

二、填空题

13．答案：93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png

解答：

57e803ead15817bfc05371adfd663eae.png，∵88771f776b4ad9334338a8845c4a69ab.png，∴3a27914e266a2278875145bed668ff31.png，解得f80bb9c5ecfb4dbe6a7c2133a37ea671.png.

14．答案：分层抽样

解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法.

15．答案：eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png

解答：

由图可知在直线c5f0f45ff32981361d92625432de7ef7.png和566162f3afaf9f5f67e7d7ca7a4b424e.png的交点52053dc3ca4218b698d115408e557a44.png处取得最大值，故25eec3dc9cd8a931ea616d80b8ec4393.png.

16．答案：02e3c1cfd03c87011d3b438dee3b08c4.png

解答：3136c07743f93f5178eb535de535110d.png

3cc5684711b567677e48afad2ebfe8bf.png09c295d613b7d5bab8bba7e7ab399bb6.png，

∴7f494b429290ee664d92db039c1505b1.png，∴8923f3ae30d339775e49420be5a06333.png.

三、解答题

17．答案：（1）d367e4e96b95a62dce2096f3c0af4474.png或10246d4a203b65fcf2b34e685eb99867.png；（2）1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png.

解答：（1）设数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的公比为7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png，∴ab0a3e32f9854db88392363f227fbc67.png，∴f7fccd826291c242b82565cbd4c32e0d.png.

∴d367e4e96b95a62dce2096f3c0af4474.png或10246d4a203b65fcf2b34e685eb99867.png.

（2）由（1）知，1ebdbef4e2edf6449f828c1d14834a8b.png或695284d89c6036ee69cfda2e07cb48d4.png，

∴78ac02fa41fc9dc6677913a9672a98bd.png或88ee681706e7cfae51d4ea864e9fb2cc.png（舍），

∴f711d4255917d40a68d272b8464223cc.png.

18．

解答：

（1）第一种生产方式的平均数为3232eafdd9e52a8c73b8f14f4ae44b68.png，第二种生产方式平均数为80b1eb03a31c42ffa7f5cbeedf624893.png，∴

55535bf4cd89fbc6b3b014d88b46e8f3.png，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.

（2）由茎叶图数据得到6c5b774d8b276a9b463662f3602d4be5.png，∴列联表为

（3）9f070abc46c2e0008695c5c32a009363.png，∴有052dc876aab54eb67279c4bb23f10aed.png

的把握认为两种生产方式的效率有差异.

19．

解答：（1）∵正方形450a6a878da57702f09346aa81e76189.png半圆面a28966bac17b8eef99c5afa5eb594130.png，

∴498391ca5279d62a4befa86cf59f67fd.png半圆面a28966bac17b8eef99c5afa5eb594130.png，∴498391ca5279d62a4befa86cf59f67fd.png平面23d8bc2b33aa76cd40f661c9e181ef67.png.

∵707354872d4e8210a2a573b99721b1fb.png在平面23d8bc2b33aa76cd40f661c9e181ef67.png内，∴26f5f1955a23799e2fca49d6e3f5391b.png，又∵69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png是半圆弧4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png上异于bb519c9957fe4645a1152856df434749.png的点，∴118bf2696d62e6d03c53a545d682915e.png.又∵c47ad92e9f8f35f08b0076ee895e5eaf.png，∴5bd54b6389508d5199e57537c165842d.png平面6fb4f22992a0d164b77267fde5477248.png，∵707354872d4e8210a2a573b99721b1fb.png在平面e2cc0cdaccb483cf829036ec7f5ec031.png内，∴平面f93aa6bf5871fda89c4ddecd7271a04f.png平面6fb4f22992a0d164b77267fde5477248.png.

（2）线段25ec916d56b8212e569dbf2e4e4b51d4.png上存在点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png且44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png为25ec916d56b8212e569dbf2e4e4b51d4.png中点，证明如下：

连接dc71081357eb48aff35868cbd1043496.png交于点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，连接1ff4c0a8b2262a5eea6da1e7feeb82b9.png；在矩形cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png中，f186217753c37b9b9f958d906208506e.png是4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png中点，44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png是25ec916d56b8212e569dbf2e4e4b51d4.png的中点；

∴8d1cbeeb08c1d009fa1e55554639aead.png，∵7457cdd15d09bfc6c4dbb5d2b6f87390.png在平面03f554192338a6010647346c89146288.png内，92a54b358b4cf53cca4095e4697e1004.png不在平面03f554192338a6010647346c89146288.png内，∴da9696e7072afddc9ab16f0ba8647335.png平面03f554192338a6010647346c89146288.png.

20．

解答：

（1）设直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png方程为ab1b8c23c722d75bca5e69775f6ae9da.png，设f99a5e7a20e963b917af6f0a746b0589.png,32a60b125f2f670bebc6a7a1ef8a9f5c.png,

0b264b779a462b11d229d7d0b9c8fcbc.png联立消415290769594460e2e485922904f345d.png得0f4990457de75a5b0db847dd546e0aa3.png，

则eb6c7a6a38d27e99dff2c092f9f38b4c.png，

得a682698a145324087bbbf3cb1ccabe37.png…①，

且13aa1cceb8a2db8a0dcedd58943eaf4a.png，634310d09d3663d5059d0f08b4a5b497.png，

∵0a0596a02eb219bd6336b93543a68c06.png，∴ 231b8bbeb4fa45885c97d90d3d2637be.png且7ac875d7d159339134b37ddd56563963.png.

且998c17c1d0b7a764dc0cb80b269ed171.png…②.

由①②得faecc02d0c1e455d2cb15b86c332ca1d.png，

∴416052facfc2a512a27aef418d4eea49.png或c50774e64d88201ef9759c19fd67ff67.png.

∵7ac875d7d159339134b37ddd56563963.png，∴ c50774e64d88201ef9759c19fd67ff67.png.

（2）adafe13d1fc654d34bb884390299fd3f.png，5667e665cd325bb1b1f791689b0abd9a.png,

∵683f84716039af9fba086d84da3b69b1.png，6794ce2527719431776852159e1bd001.png，∴44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的坐标为2301d5f8a77a376ddf3c30920241ded5.png.

由于44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png在椭圆上，∴ 606f1518c5ef25ce4aeacc4841e2f9c9.png，∴790e4799aa272502de1bdae578fd5777.png，5bea1ec61b6e41ce32af260bfaf26227.png，

又5a73a8003c50ada71688aed2a9b86766.png，b4deac737f04455d0599dc79e0b57534.png，

两式相减可得27512e4e6c9277127cf5db8c1f2801e2.png，

又7e18126ef2ae818150f6e235d70c2a3d.png，46e2d36ee0af8a27312bada4c56e6cb9.png，∴316e9e8d56f48e2888bc8ba9f9c4321d.png，

直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png方程为68fbbd2e0c139ddc245914ff929d2567.png，

即786b7fd73df96651278918c76928054c.png，

∴edd4da204c8b44042b0af5dcb9622b91.png，

消去415290769594460e2e485922904f345d.png得f2bec212f3e2ea3b6eeec8cda0bd8b41.png，57677953b0dcc646444cedb28d3694c7.png，

25a70ef2fada89ec79cb4d2fd9eb6444.png，

b75f88943762dcef58693bc869f730c5.png,

∴0550f833596fda86e5fc037536f578c8.png.

21．

解答：（1）由题意：a9d8bcb944cc421f0a525b701dda5331.png得d0375227b8f05157b388df2da6d72072.png，

∴d728f3f4deaa06c940c147e6383065ab.png，即曲线f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png在点7ddfc20ea128b714a623a4d7e5cc84cd.png处的切线斜率为c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png，∴dfb008a82ae3b3cbc634218d6d2d05d2.png，即dd01d3aa47e3c688eaa6b59308ae2a16.png；

（2）证明：由题意：原不等式等价于：ed569c0de10a98eeeaed769fe114c3f9.png恒成立；令e1d2f69e5f57b347b520019ec73abd22.png，

∴772dcf2bb2f1544ef007762a6cf95ddb.png，0c0f1e124c2862826e8a3a4bfee51068.png，∵43be9163c38281625cf713051581195b.png，∴dfad7e55ec8827360d790c9ef8312fbc.png恒成立，∴620d7872524e44a56669d72441609ab4.png在ee79fabc055934de03d92f1e8ba90090.png上单调递增，∴620d7872524e44a56669d72441609ab4.png在ee79fabc055934de03d92f1e8ba90090.png上存在唯一0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png使84636a4ea12cf065ff9ac2d645425ade.png，∴5201f7e917b03aa6722704f8969a05b7.png，即a4e112d44448006d20740946a2ccc3cc.png，且e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png在8105cdb7dc3bd50552ac85d82c2dd317.png上单调递减，在cb1ecec15ab4cf0cd8b3640bb6cda17a.png上单调递增，∴510ddc9aa3e349864b441ae88d5fdcee.png.

又b074ba74ca5ad77a19cfd4c4904aa3db.png，

47036c93dadebdb511b3191f560bad6b.png，∵43be9163c38281625cf713051581195b.png，∴92ee670485f7d4a5b106e85c64b16b44.png，∴df66bfa13874bacea2e0dc2e6f6a3c81.png，∴577e751e14124bc114a5218c0381f2b4.png，得证.

综上所述：当43be9163c38281625cf713051581195b.png时，3bc1b088ad3ce998ad75cea048b69003.png.

22．

解答：

（1）f0e4599afba2421520937491613e682d.png的参数方程为87b998cf619726d26cb8ecf28bd2d227.png，∴f0e4599afba2421520937491613e682d.png的普通方程为bac03f0ffc7d608da9f4129763cb49e7.png，当b3824b13e68a52493017f9588cc813d7.png时，直线：75f5c132dbb14566cb03ea445383d5f6.png与f0e4599afba2421520937491613e682d.png有两个交点，当ed3f756257eada650725947221738f4e.png时，设直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程为e2334f346387f0738fe1a0c432a290cf.png，由直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与f0e4599afba2421520937491613e682d.png有两个交点有0811f371dd6e47d5ef3abc0fab4b7f63.png，得765f6bd1941dc9566cfced9c941aac3a.png，∴8c0c5544135f02b5abc98b6ce98cc040.png或7fc1223c017926ad06ccbb40e78aad1e.png，∴a94c2f37144268e0341af97200c02d33.png或2130b2ced2f1560adeeec5ef6e418ae0.png，综上24329a4b39ff472b2f8391ec70f02e47.png.

（2）点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png坐标为90cbc22edf225adf8a68974f51227f05.png，当b3824b13e68a52493017f9588cc813d7.png时，点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png坐标为5c16f757233856dcf311176b7410d2d5.png，当ed3f756257eada650725947221738f4e.png时，设直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程为b4d8130f024d2377e28c2ef36d2b84f2.png，8abdc390cf62f2cb5c210564edb18b13.png，∴3e113be4dee36904b6b6d921cf98fd5b.png有1faf51b4db0b3ef9cf908be6f6e8feae.png，整理得8720500fe4e59f588d6a63d5b6757e53.png，∴75d868a155c521b6feb7434432ff5958.png，0e7b05e27eb35fea84eecb16e28bcec8.png，∴ 150fea1eb1b51250de6cc02c23358ac5.png得6476bf0ea0c7121fffe6a383d50846ff.png代入④得d349affa64b1ddb73433a5461b881743.png.当点ff3d96d69b6908a00d4f5aad40397989.png时满足方程d349affa64b1ddb73433a5461b881743.png，∴b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png中点的44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的轨迹方程是d349affa64b1ddb73433a5461b881743.png，即7d0c3751beef6aac224f60d424e1624d.png，由图可知，768d8923604c7129bfd7f346a10f6712.png，dc3d16c4fa70a4153fcb8afe3d1f18dd.png，则eb6e8454a34950b35ac78bb4fc878d84.png，故点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的参数方程为a449f770368bc3d508213d043a03a44a.png（dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png为参数，11982c27aff929f36fd270b3cb5a064e.png）.

23．

解答：

（1）f45d57825a8dd49fd55f2af14de28a23.png，如下图：

（2）由（1）中可得：40419bf313926fce132afa940116d2dc.png，a9461fed004af5242c26b793993b9b27.png，

当3d7b566aaed7713dfc5583dfc4b9c386.png，19bf9442bea375a24abb4c22e9951a92.png时，65c884f742c8591808a121a828bc09f8.png取最小值，

∴65c884f742c8591808a121a828bc09f8.png的最小值为e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png.