初中数学 抛物线知识点归纳总结与经典习题

抛物线经典结论和例题

1. 直线与抛物线的位置关系

　　直线，抛物线，

　　，消y得：

（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；

（2）当k≠0时，

Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；

Δ=0， 直线与抛物线相切，一个切点；

Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

直线： 抛物线，

1　联立方程法：

设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出，

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如

a. 相交弦AB的弦长

或

b. 中点, ，

2　点差法：

设交点坐标为，，代入抛物线方程，得

将两式相减，可得

所以

a. 在涉及斜率问题时，

b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，即，

同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有

（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）

一、抛物线的定义及其应用

例1、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．

(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；

(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．

例2、设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一 点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)

A．(0,2)　　　B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)

二、抛物线的标准方程和几何性质

例3、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是 (　　)

A．4 B．3 C．4 D．8

例4、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3则此抛物线的方程为 (　　 )

A．y2＝x　　　B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x

三、抛物线的综合问题

例5、已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝ ＋λ，求λ的值．

例6、已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求· 的最小值

例7、已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线l：y＝－x＋b与抛物线C交于A，B两点．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．

练习题

1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于( ）

A．1　　　　　B．4 C．8 D．16

2．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( )

A．－ B．－ C. D.

3．(2011·辽宁高考)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 (　　)

A. B．1 C. D.

4．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )

A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定

5．已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则||FA|－|FB||的值等于 (　　) A．4 B．8C． 8 D．16

6．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是 (　　)

A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2)

7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝ (　　)

A．4 B．8 C．8 D．16

8．抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，抛物线的方程 （ ）

A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x

9以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______．

10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(－3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．

11．已知抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么| | ＋| | ＝________.

12．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，若x1＋x2＝6，那么 |AB|等于________

13．根据下列条件求抛物线的标准方程：

(1)抛物线的焦点是双曲线 16x2－9y2＝144的左顶点；

(2)过点P(2，－4)．

14．已知点A(－1,0)，B(1，－1)，抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量与的夹角为，求△POM的面积．

解析

一、抛物线的定义及其应用

例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.

由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．

于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连结AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为.

(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.

例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即p＝4，根据已 知只要|FM|>4即可．根据抛物线定|FM|＝y0＋2由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．

二、抛物线的标准方程和几何性质

例3、设点A(x1，y1)，其中y1>0.由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1.则有 |BF|＝|BB1|；又|CB|＝2|FB|，因此有|CB|＝2|BB1|，cos∠CBB1＝＝，∠CBB1＝.即直线AB与x轴的夹角为.又|AF|＝|AK|＝x1＋＝4，因此y1＝4sin＝2，因此△AKF的面积等于|AK|·y1＝×4×2＝4.

例4．分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分别为A1、B1，由已知条件|BC|＝2|BF|得|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，又|AA1|＝|AF|＝3，

∴|AC|＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，∴F为线段AC的中点．故点F到准线的距离为p＝|AA1|＝，故抛物线的方程为y2＝3x.

三、抛物线的综合问题

例5、(1)直线AB的方程是y＝2(x－)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以：x1＋x2＝，由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.

(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)；

设 ＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)．

又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)．

即(2λ－1)2＝4λ＋1.解得λ＝0，或λ＝2.

例6、 (1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有－|x|＝1.化简得y2＝2x＋2|x|. 当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.

所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)．

(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. (7分)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1. (8分)

因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－. 设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得

x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.

＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)·(x4＋1)

＝ x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1 (11分)

＝1＋(2＋)＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4(k2＋)≥8＋4×2＝16.

当且仅当k2＝，即k＝±1时， ·取最小值16.

例7 、(1)抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，由抛物线定义和已知条件可知

|MF|＝1－(－)＝1＋＝2，解得p＝2, 故所求抛物线C的方程为y2＝4x.

(2)联立消去x并化简整理得y2＋8y－8b＝0.

依题意应有Δ＝64＋32b>0，解得b>－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－8，y1y2＝－8b，设圆心Q(x0，y0)，则应用x0＝，y0＝＝－4.

因为以AB为直径的圆与x轴相切，所以圆的半径为r＝|y0|＝4.

又|AB|＝＝＝

＝

所以|AB|＝2r＝＝8，解得b＝－.

所以x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝，

则圆心Q的坐标为(，－4)．故所求圆的方程为(x－)2＋(y＋4)2＝16.

练习题：

1．解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则有＝2解得a＝8.

2．解析：抛物线方程可化为x2＝－，其准线方程为y＝.设M(x0，y0)，则由抛物线的定义，可知－y0＝1⇒y0＝－.

3．解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|＋|BF|)－＝－＝.

4．解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线l，A1、B1分别为A、B在直线l上的射影，则|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，于是M到l的距离d＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝半径，故相切．

5．解析：依题意F(2,0)，所以直线方程为y＝x－2由，消去y得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||FA|－|FB||＝|(x1＋2)－(x2＋2)|＝|x1－x2|＝＝＝8.

6．解析：如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排除A、C、D.答案：B

7．解析：设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝ (　　)

A．4 B．8

C．8 D．16

8．解析：由准线方程x＝－2，可知抛物线为焦点在x轴正 ，半轴上的标准方程，同时得p＝4，所以标准方程为 y2＝2px＝8x

9．解析：抛物线的焦点为F(0,4)，准线为y＝－4，则圆心为(0,4)，半径r＝8. 所以，圆的方程为x2＋(y－4)2＝64.

10．解析：设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，则准线为y＝－.∵Q(－3，m)在抛物线上，∴9＝am.而点Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离，∴|m－(－)|＝5.将m＝代入，得|＋|＝5，解得，a＝±2，或a＝±18，∴所求抛物线的方程为x2＝±2y，或x2＝±18y.

11．解析：由，消去y，得x2－5x＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A、B两点的横坐标，故x1＋x2＝5，因为抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，所以| | ＋| | ＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝7

12．解析：因线段AB过焦点F，则|AB|＝|AF|＋|BF|.又由抛物线的定义知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，故|AB|＝x1＋x2＋2＝8.

13．解析：双曲线方程化为－＝1，左顶点为(－3,0)，由题设抛物线方程为

y2＝－2px(p>0)，则－＝－3，∴p＝6，∴抛物线方程为y2＝－12x.

(2)由于P(2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny，代入P点坐标求得m＝8，n＝－1，

∴所求抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y.

14．解：设点M(，y1)，P(，y2)，∵P，M，A三点共线，∴kAM＝kPM，

即＝，即＝，∴y1y2＝4.

∴ · ＝·＋y1y2＝5.∵向量 与 的夹角为，∴| |·| |·cos＝5.∴S△POM＝| | ·| | ·sin＝.