2014年秋安溪一中、德化一中高三联考
数学（文科）试卷
命题：安溪一中 陈阿成 审核：德化一中 赖玉枝
第Ⅰ卷（选择题 60分）
一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案写在答题卡上）
1．已知全集，集合
，
，则
等于( )
A． B．
C．
D．
2. 化简的结果是( )
A． B．
C．
D．
3．设是等差数列，若
，则
等于( )
A．6 B．8 C．9 D．16
4.已知向量，
，若
，则
的值为 ( )
A． B. 1 C.
D.
5.下列函数为偶函数的是（ ）
A. B.
C.
D.
6.已知焦点在轴上的椭圆
的长轴长为8，则
等于 ( )
A. 4 B. 8 C. 16 D. 18
7.设，则（ ）
A. B.
C.
D.
8．设变量x，y满足则x＋2y的最大值和最小值分别为 ( )
A．1，－1 B．1，－2 C．2，－1 D．2，－2
9．下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 函数
的零点落在区间
内
C. 函数的最小值为2
D. 若，则直线
与直线
互相平行
10. 设偶函数对任意
，都有
，且当
时，
,则
=( )
A.10 B. C.
D.
11.函数的图象如下图，则（ ）
A、
B、
C、
D、
12、设与
是定义在同一区间
上的两个函数，若对任意的
，都有
，则称
和
在
上是“密切函数”，
称为“密切区间”，设
与
在
上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（ ）
A． B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分．请把答案写在答题卡上）
13. 某四棱锥的三视图如右图所示，则该四棱锥的体积为 .
14.曲线
在
处的切线的斜率
15. 执行如图所示的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为
16．写出以下五个命题中所有正确命题的编号
①点A(1,2)关于直线的对称点B的坐标为(3,0)；
②椭圆的两个焦点坐标为
；
③已知正方体的棱长等于2, 那么正方体外接球的半径是；
④下图所示的正方体中，异面直线
与
成
的角；
⑤下图所示的正方形
是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形是矩形．
第④题图. 第⑤题图
三、解答题（本大题有6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤）
17.（本小题满分12分）
已知等差数列的前
项和为
，且
.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）设,求数列
的前
项和为
.
18.（本小题满分12分）
在甲、乙两个盒子中分别装有编号为1，2，3，4的四个形状相同的小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个小球，每个小球被取出的可能性相等．
（Ⅰ）求取出的两个球上的编号都为奇数的概率；
（Ⅱ）求取出的两个球上的编号之和为3的倍数的概率；
（III）求取出的两个球上的编号之和大于6的概率．
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
，且侧面
平面
，点
是棱
的中点．
（Ⅰ）求证：平面
；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若，求证：平面
平面
.
20. （本小题满分12分）已知：为常数）
（1）若，求
的最小正周期；
（2）若在[
上最大值与最小值之和为3，求
的值.
21.（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为
，点
为抛物线
上的一个动点，过点
且与抛物线
相切的直线记为
．
（Ⅰ）求的坐标；
（Ⅱ）当点在何处时，点
到直线
的距离最小？
22.（本小题满分14分）已知，函数
．
（Ⅰ）当时，
（1）若，求函数
的单调区间；
（2）若关于的不等式
在区间
上有解，求
的取值范围；
（Ⅱ）已知曲线在其图象上的两点
，
（
）处的切线分别为
．若直线
与
平行，试探究点
与点
的关系，并证明你的结论．
2014年秋安溪一中、德化一中高三联考
数学（文科）试卷 参考答案
一．选择题：ADAAD CBDBC AD
二．填空题：
13.16 14.2 15.3 16. ①④
三．解答题：
17.解: （Ⅰ）由题意得公差 3分
所以通项公式为 6分
（Ⅱ）数列是公比为2,首项为2的等比数列, 9分
所以 12分
18.解：由题意可知，从甲、乙两个盒子中各取1个小球的基本事件总数为16． 3分
（Ⅰ）记“取出的两个球上的编号都为奇数”为事件A，则事件A的基本事件有：
（1，1），（1，3），（3，1），（3，3）共4个． ． 6分
（Ⅱ） 记“取出的两个球上的编号之和为3的倍数”为事件B，则事件B包含：
（1，2），（2，1），（2，4），（3，3）（4，2）共5个基本事件． 9分
（III）记“取出的两个球上的编号之和大于6”为事件C，则事件C包含的基本事件为：
（3，4），（4，3）（4，4），共3个基本事件． ． 12分
19.解：（Ⅰ）因为底面是菱形，
所以. ----------------------------1分
又因为
平面
， -------------------3分
所以平面
. --------------------------4分
（Ⅱ）因为，点
是棱
的中点，
所以. ----------------------------------5分
因为平面平面
,平面
平面
,
平面
,
----------------------------------7分
所以平面
,
因为平面
,
所以. ------------------------------------8分
（Ⅲ）因为，点
是棱
的中点，
所以. -------------------------------9分
由（Ⅱ）可得， ---------------------------------10分
所以平面
， --------------------------------11分
又因为平面
,
所以平面平面
. --------------------------------12分
20.解： ---------------------4分
（1）最小正周期 ----------------------6分
（2） ----------------------8分
---------------------10分
即 ---------------------12分
21. 解：（Ⅰ）抛物线方程为
故焦点的坐标为
…………………2分
（Ⅱ）设 则
， ∴在P处切线的斜率为
4分
即，∴
6分
∴焦点F到切线的距离为
10分
当且仅当时上式取等号，此时P点的坐标为
12分
22. （Ⅰ）（1）因为，所以
， ……………………1分
则，
而恒成立，
所以函数的单调递增区间为
． …………………4分
（2）不等式在区间
上有解，
即不等式在区间
上有解，
即不等式在区间
上有解，
等价于不小于
在区间
上的最小值． ……………6分
因为时，
，
所以的取值范围是
．……………………9分
（Ⅱ）.因为的对称中心为
，
而可以由
经平移得到，
所以的对称中心为
,故合情猜测，若直线
与
平行，
则点与点
关于点
对称． ……………………10分
对猜想证明如下：
因为，
所以，
所以，
的斜率分别为
，
．
又直线与
平行，所以
，即
，
因为，所以，
， ……………………12分
从而，
所以．
又由上 ，
所以点，
（
）关于点
对称．
故当直线与
平行时，点
与点
关于点
对称．……………………14分
