三峡大学普通专升本考试 高数试卷及答案

高数模拟题

一、填空题（共10个小题，每小题2分，共20分）.

1、 ．

2、设，则grad ．

3、曲线，，在处的法平面方程为 ．

4、设由方程确定，则 ．

5、设，则 .

6、设，化二重积分为极坐标形式的二次积分，则

．

7、设是平面在第一卦限内部分，则 ．

8、若级数发散，级数收敛，则级数的敛散性是 ．

9、函数的傅里叶级数中，的系数 ．

10、微分方程的通解是 .

二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）

1、设函数可微，则的全微分是[ ]

A .； B .；

C .； D ..

2、曲面在点处的切平面方程是 [ ]

A .； B .；

C .； D ..

3、设是上点与点之间的线段，则[ ]

A . ； B . ； C . ； D . .

4、设闭区域由光滑闭曲线围成，函数及在上具有一阶连续

偏导数，则[ ]

A . ； B . ；

C . ； D . .

5、无穷级数 [ ]

A . 收敛于； B . 收敛于； C . 收敛于； D . 发散.

6、幂级数的收敛区域是[ ]

A .； B .； C .； D . .

7、设区域为，则二重积分[ ]

A .； B .； C .； D . .

8、设是以为周期的奇函数，则的傅里叶系数为[ ]

A .；B .；

C .；D ..

9、下列微分方程中，为二阶常系数齐次线性微分方程的是[ ]

A .； B .； C .； D . .

10、微分方程的通解为(下面为任意常数)[ ]

A .； B .； C .； D . .

三、（10分）求曲面在点处的切平面和法线方程 ．

四、（10分）修建一座容积为的形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别是仓库底面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高，使它的造价最小．

五、（10分）计算下列二重积分：

（1）,　：围成区域．

（2）计算二重积分，其中：，．

六、（10分）计算曲面积分，其中∑是球面

的上侧。

七、（10分）求幂级数的和函数，并指出其收敛域.

八、（10分）已知上半平面内曲线过点，且曲线 上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴，轴，直线所围成的面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程

参考答案

一、填空题（共10个小题，每小题2分，共20分）.

1、；

2、；

3、；

4、-1；

5、0；

6、；

7、；

8、发散；

9、0；

10、。

二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）

1、D； 2、C； 3、D； 4、C； 5、A； 6、B； 7、A； 8、B； 9、A； 10、D。

三、切平面方程

法线方程

四、； 五、； 六、；

七、；

八、曲线方程为：

附加题

1.证明：若极限，则级数收敛。

2.证明：若，则级数与同敛散性。

3.设数列单调减小，且，又级数发散，证明：级数收敛。

1.证：∵，即当时，与等价，而，

∴，因为收敛，故级数收敛。

2.证：令，

则，于是，根据比较审敛法的极限形式，同敛散性。

3.证明：因为单调减小，且，即单调减小有下界，故收敛，设其极限为，即，又因为发散，所以（否则交错级数收敛）。于是对于任意的有，而等比级数收敛，故由比较审敛法知级数收敛。