2018-2019学年广东省汕头市澄海区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．计算：＝（ ）
A．3 B．±3 C．9 D．±9
2．如果点A（x+2，4）在第二象限，那么x的值可以是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．0 D．2
3．如图，点O在直线AB上，OC为射线，∠2比∠1的3倍少20°，则∠1的度数为（ ）
A．35° B．45° C．50° D．130°
4．某校对学生到学校上学前往方式进行调查，如图为收集数据后绘制的扇形统计图．已知骑自行车的人数为400人，根据图中提供的信息，本次调查的对象中选择坐私家车前往的人数是（ ）
A．200 B．220 C．360 D．1000
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C．
D．
6．已知是二元一次方程组
的解，则m+n的值是（ ）
A．0 B．﹣2 C．1 D．3
7．已知今年甲的年龄比乙的年龄多12岁，4年后甲的年龄恰好是乙的年龄的2倍，则甲今年的年龄是（ ）
A．20岁 B．16岁 C．15岁 D．12岁
8．如图，已知BE平分∠ABC，DE∥BC，则图中相等的角共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
9．某运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x到结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了二次才停止，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞23 B．x≤47 C．23≤x＜47 D．23＜x≤47
10．如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中与△ABD面积相等的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．如果x2＝5，那么x＝ ．
12．方程组的解是 ．
13．如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则∠1＝ 度．
14．若（a﹣2）2与互为相反数，则a+b的值为 ．
15．若不等式2（x+1）＞3的最小整数解是方程5x﹣2ax＝3的解，则a的值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下、向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0）那么点A13的坐标为 ，点A4n+1（n为自然数）的坐标为 （用含n的代数式表示）
三、解答题（-）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．计算： +|
﹣2|+
﹣
18．解不等式组：．
19．完成下列推理结论及推理说明：
如图，已知∠B+∠BCD＝180°，∠B＝∠D．求证：∠E＝∠DFE．
证明：∵∠B+∠BCD＝180°（已知
AB∥CD（ ）
∠B＝ （ ）
又∵∠B＝∠D（已知）
＝ （等量代换）
∴AD∥BE（ ）
∠E＝∠DFE（ ）
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20．某初级中学围绕“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图（1）是根据这组数据绘制的条形统计图，图（2）是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）该校对多少名学生进行了抽样调查？
（2）本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的百分比是多少？
（3）若该校九年级共有300名学生，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
21．如图，已知∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．
（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若BF⊥AC，∠2＝140°，求∠AFG的度数．
22．为缓解我区某一高速路口交通压力，区政府决定再修筑一段通往高速路口的市政路．某建筑公司接到任务，须在规定时间内完成任务．如果按原来的施工速度，每天修路120米，那么在规定时间内只能完成任务的90%．为能按时完成任务，该公司增加人力投入修路工作，每天能修路160米，这样就能提前一天完成任务．求规定的时间和修路的长．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
23．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此
的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜
＜2，于是可用
﹣1来表示
的小数部分．
请解答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果的小数部分为a，
的整数部分为b，求a+b﹣
的值
（3）已知：100+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x+
+24﹣y的平方根．
24．在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别是（a，0），（b，0）．且a，b满足+|3a﹣b+10|＝0，C为y轴正半轴上一点，且S△ABC＝6．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）是否存在点P（t，t）使S△PAB＝S△ABC？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M在线段AC上，且AM＝2CM，连结BM，求点M的坐标．
25．（1）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是线段CD上一点．求证：∠AEB＝∠DAE+∠CBE；
（2）如图②，若AE平分∠DAC，∠CAB＝∠CBA．
①求证：∠ABE+∠AEB＝90°；
②如图③，若∠ACD的平分线与BA的延长线交于点F，与AE交于点P，且∠F＝65°，求∠BCD的度数．
2018-2019学年广东省汕头市澄海区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．计算：＝（ ）
A．3 B．±3 C．9 D．±9
【分析】利用算术平方根的定义求解．
【解答】解：＝9．
故选：C．
【点评】本题考查了算术平方根：求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
2．如果点A（x+2，4）在第二象限，那么x的值可以是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．0 D．2
【分析】直接利用第二象限内点的坐标特征进而得出答案．
【解答】解：∵点A（x+2，4）在第二象限，
∴x+2＜0，
解得：x＜﹣2，则x可以为：﹣3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出x的取值范围是解题关键．
3．如图，点O在直线AB上，OC为射线，∠2比∠1的3倍少20°，则∠1的度数为（ ）
A．35° B．45° C．50° D．130°
【分析】根据∠2＝3∠1﹣20°、∠1+∠2＝180°求解可得．
【解答】解：由题意知∠2＝3∠1﹣20°，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1+3∠1﹣20°＝180°，
解得：∠1＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查的是角的计算，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
4．某校对学生到学校上学前往方式进行调查，如图为收集数据后绘制的扇形统计图．已知骑自行车的人数为400人，根据图中提供的信息，本次调查的对象中选择坐私家车前往的人数是（ ）
A．200 B．220 C．360 D．1000
【分析】利用扇形统计图，用骑自行车的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用总人数乘以坐私家车前往的人数所占的百分比得到选择坐私家车前往的人数．
【解答】解：400÷40%＝1000，
1000×22%＝220，
所以本次调查的对象中选择坐私家车前往的人数是220人．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形统计图：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C．
D．
【分析】直接利用平方根的定义结合算术平方根的定义分析得出答案．
【解答】解：A、（）2＝3，故此选项正确；
B、±＝±3，故此选项正错误；
C、＝4，故此选项正错误；
D、＝3，故此选项正错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根以及平方根，正确把握相关定义是解题关键．
6．已知是二元一次方程组
的解，则m+n的值是（ ）
A．0 B．﹣2 C．1 D．3
【分析】把x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可求出m+n的值．
【解答】解：把代入方程组得：
，
解得：m＝1，n＝﹣3，
则m+n＝1﹣3＝﹣2，
故选：B．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
7．已知今年甲的年龄比乙的年龄多12岁，4年后甲的年龄恰好是乙的年龄的2倍，则甲今年的年龄是（ ）
A．20岁 B．16岁 C．15岁 D．12岁
【分析】设今年甲的年龄为x岁，则今年乙的年龄为（x﹣12）岁，根据4年后甲的年龄恰好是乙的年龄的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设今年甲的年龄为x岁，则今年乙的年龄为（x﹣12）岁，
根据题意得：x+4＝2（x﹣12+4），
解得：x＝20．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．如图，已知BE平分∠ABC，DE∥BC，则图中相等的角共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【分析】根据平行线的性质得到∠DEB＝∠CBE，∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠C，由角平分线的性质得到∠ABE＝∠CBE，等量代换得到∠ABE＝∠DEB，即可得到结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠DBE＝∠DEB．
所以图中相等的角共有5对．
故选：D．
【点评】这类题首先利用平行线的性质确定内错角相等或同位角相等，然后根据角平分线定义得出其它相等的角．
9．某运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x到结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了二次才停止，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞23 B．x≤47 C．23≤x＜47 D．23＜x≤47
【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于95，第二次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可．
【解答】解：根据题意，得：，
解得：23＜x≤47，
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．
10．如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中与△ABD面积相等的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据等高模型，同底等高的三角形的面积相等即可判断；
【解答】解：∵AE∥BD，
∴S△ABD＝S△BDE，
∵DE∥BC，
∴S△BDE＝S△EDC，
∵AB∥CD，
∴S△ABD＝S△ABC，
∴与△ABD面积相等的三角形有3个，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．如果x2＝5，那么x＝ ± ．
【分析】根据平方根的定义进行填空即可．
【解答】解：∵x2＝5，
∴x＝±，
故答案为±．
【点评】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．
12．方程组的解是
．
【分析】根据加减消元法解方程即可求解．
【解答】解：，
①+②得3x＝9，解得x＝3，
把x＝3代入①得3﹣y＝0，解得y＝3．
故原方程组的解为．
故答案为：．
【点评】考查了解二元一次方程组，用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
13．如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则∠1＝ 45 度．
【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵m∥n，
∴∠1＝45°；
故答案为：45．
【点评】此题考查了等腰直角三角形和平行线的性质，用到的知识点是：两直线平行，同位角相和等腰直角三角形的性质；关键是求出∠ABC的度数．
14．若（a﹣2）2与互为相反数，则a+b的值为 7 ．
【分析】根据相反数的性质列出算式，根据偶次方的非负性、算术平方根的非负性计算即可．
【解答】解：由题意得，（a﹣2）2+＝0
则（a﹣2）2＝0，＝0，
解得，a＝2，b＝5，
则a+b＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查的是非负数的性质、相反数的概念，掌握相反数之和为0、偶次方的非负性、算术平方根的非负性是解题的关键．
15．若不等式2（x+1）＞3的最小整数解是方程5x﹣2ax＝3的解，则a的值为 1 ．
【分析】求得x的取值范围来确定x的最小整数解；然后将x的值代入已知方程列出关于系数a的一元一次方程，通过解该方程即可求得a的值．
【解答】解：解不等式2（x+1）＞3得：x＞，
所以不等式的最小整数解为x＝1，
将x＝1代入方程5x﹣2ax＝3，得：5﹣2a＝3，
解得：a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式、一元一次方程的解以及一元一次不等式的整数解．解不等式要依据不等式的基本性质．
16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下、向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0）那么点A13的坐标为 （6，1） ，点A4n+1（n为自然数）的坐标为 （2n，1） （用含n的代数式表示）
【分析】观察图形结合点的坐标的变化，可得出点A4n+1（n为自然数）的坐标为（2n，1），依此规律即可得出结论．
【解答】解：∵点A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0）、A5（2，1）、A6（3，1）、A7（3，0）、A8（4，0）、A9（4，1）、…，
∴点A4n+1（n为自然数）的坐标为（2n，1），
∴点A13的坐标为（6，1）．
故答案为：（6，1）；（2n，1）．
【点评】本题考查了规律型中点的坐标，根据点的坐标的变化，找出变化规律是解题的关键．
三、解答题（-）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．计算： +|
﹣2|+
﹣
【分析】本题涉及绝对值、二次根式化简、三次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解： +|
﹣2|+
﹣
＝4﹣+2﹣3﹣3
＝﹣．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、三次根式、绝对值等考点的运算．
18．解不等式组：．
【分析】先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的方法求不等式组的公共集．
【解答】解：由①得，x＞﹣5，
由②得，x＜﹣2，
原不等式组的解集为﹣5＜x＜﹣2．
【点评】主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取较大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
19．完成下列推理结论及推理说明：
如图，已知∠B+∠BCD＝180°，∠B＝∠D．求证：∠E＝∠DFE．
证明：∵∠B+∠BCD＝180°（已知
AB∥CD（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∠B＝ ∠DCE （ 两直线平行，同位角相等 ）
又∵∠B＝∠D（已知）
∴∠DCE ＝ ∠D （等量代换）
∴AD∥BE（ 内错角相等，两直线平行 ）
∠E＝∠DFE（ 两直线平行，内错角相等 ）
【分析】根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠B＝∠DCE，求出∠DCE＝∠D，根据平行线的判定得出AD∥BE，根据平行线的性质得出即可．
【解答】证明：∵∠B+∠BCD＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠B＝∠DCE（两直线平行，同位角相等），
∵∠B＝∠D（已知），
∴∠DCE＝∠D（等量代换），
∴AD∥BE（ 内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠DFE（两直线平行，内错角相等），
故答案为：同旁内角互补，两直线平行，∠DCE，两直线平行，同位角相等；∴∠DCE；∠D；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质是：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20．某初级中学围绕“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图（1）是根据这组数据绘制的条形统计图，图（2）是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）该校对多少名学生进行了抽样调查？
（2）本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的百分比是多少？
（3）若该校九年级共有300名学生，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
【分析】（1）根据有理数的加法，可得样本容量；
（2）用最喜欢篮球活动的人数除以被调查人数，可得答案；
（3）根据九年级的人数除以九年级所占的百分比，可得全校的人数，根据全校的人数乘以“最喜欢跳绳活动的人数”所占的百分比，可得答案．
【解答】解：（1）样本容量为：4+8+10+18+10＝50；
（2）本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有18人，占被调查人数的百分比是＝36%；
（3）全校人数为300÷（1﹣38%﹣32%）＝1000人，
全校喜欢跳绳的人数为1000×＝160（人）．
答：全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．如图，已知∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．
（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若BF⊥AC，∠2＝140°，求∠AFG的度数．
【分析】（1）由于∠AGF＝∠ABC，可判断GF∥BC，则∠1＝∠3，由∠1+∠2＝180°得出∠3+∠2＝180°判断出BF∥DE；
（2）由BF∥DE，BF⊥AC得到DE⊥AC，由∠2＝140°得出∠1＝40°，得出∠AFG的度数．
【解答】解：（1）BF∥DE，理由如下：
∵∠AGF＝∠ABC，
∴GF∥BC，
∴∠1＝∠3，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠3+∠2＝180°，
∴BF∥DE；
（2）∵BF∥DE，BF⊥AC，
∴DE⊥AC，
∵∠1+∠2＝180°，∠2＝140°，
∴∠1＝40°，
∴∠AFG＝90°﹣40°＝50°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等，同旁内角互补．
22．为缓解我区某一高速路口交通压力，区政府决定再修筑一段通往高速路口的市政路．某建筑公司接到任务，须在规定时间内完成任务．如果按原来的施工速度，每天修路120米，那么在规定时间内只能完成任务的90%．为能按时完成任务，该公司增加人力投入修路工作，每天能修路160米，这样就能提前一天完成任务．求规定的时间和修路的长．
【分析】设修路的长度为x米，规定y天完成任务，根据“每天修路120米，那么在规定时间内只能完成任务的90%；每天修路160米，这样就能提前一天完成任务”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设修路的长度为x米，规定y天完成任务，
根据题意得：，
解得：．
答：修路的长度为800米，规定6天完成任务．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
23．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此
的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜
＜2，于是可用
﹣1来表示
的小数部分．
请解答下列问题：
（1）的整数部分是 4 ，小数部分是
﹣4 ．
（2）如果的小数部分为a，
的整数部分为b，求a+b﹣
的值
（3）已知：100+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x+
+24﹣y的平方根．
【分析】（1）先估算出的范围，即可得出答案；
（2）先估算出、
的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；
（3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．
【解答】解：（1）∵4＜＜5，
∴的整数部分是4，小数部分是
﹣4，
故答案为：4，﹣4；
（2）∵2＜＜3，
∴a＝﹣2，
∵3＜＜4，
∴b＝3，
∴a+b﹣＝
﹣2+3﹣
＝1；
（3）∵100＜110＜121，
∴10＜＜11，
∴110＜100+＜111，
∵100+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝110，y＝100+﹣110＝
﹣10，
∴x++24﹣y＝110+
+24﹣
+10＝144，
x++24﹣y的平方根是±12．．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出、
、
、
的范围是解此题的关键．
24．在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别是（a，0），（b，0）．且a，b满足+|3a﹣b+10|＝0，C为y轴正半轴上一点，且S△ABC＝6．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）是否存在点P（t，t）使S△PAB＝S△ABC？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M在线段AC上，且AM＝2CM，连结BM，求点M的坐标．
【分析】（1）根据非负数的性质列出方程组，解方程组求出a、b，得到点A、B的坐标，设点C的坐标为（0，y），根据三角形的面积公式求出y，得到点C的坐标；
（2）根据三角形的面积公式求出t，得到点P的坐标；
（3）作MN⊥AB于N，得到△ANM∽△AOC，根据相似三角形的性质分别求出MN、ON，得到点M的坐标．
【解答】解：（1）由题意得，，
解得，，
则点A、B的坐标分别是（﹣3，0），（1，0），
设点C的坐标为（0，y），
AB＝4，
由题意得，×4×y＝6，
解得，y＝3，
∴点C的坐标为（0，3）；
（2）由题意得，×4×|t|＝
×6，
解得，t＝±2，
则P点坐标为（﹣2，﹣2）、（2，2）；
（3）作MN⊥AB于N，
则MN∥OC，
∴△ANM∽△AOC，
∴＝
＝
＝
，即
＝
＝
，
解得，MN＝2，AN＝2，
∴ON＝OA﹣AN＝1，
∴点M的坐标为（﹣1，2）．
【点评】本题考查的是非负数的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．（1）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是线段CD上一点．求证：∠AEB＝∠DAE+∠CBE；
（2）如图②，若AE平分∠DAC，∠CAB＝∠CBA．
①求证：∠ABE+∠AEB＝90°；
②如图③，若∠ACD的平分线与BA的延长线交于点F，与AE交于点P，且∠F＝65°，求∠BCD的度数．
【分析】（1）过E作EF∥AD，根据AD∥BC可得出EF∥BC，故可得出∠DAE＝∠EAF，∠CBE＝∠BEF，由此可得出结论；
（2）①根据AD∥BC可知∠DAC＝∠ACB．再由AE平分∠DAC得出∠EAC＝∠DAC＝
∠ACB，根据∠ABC＝∠BAC，∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°即可得出结论；
②由①知∠BAE＝90°，故∠FAE＝90°．再由三角形外角的性质得出∠APC＝90°+65°＝155°．根据三角形内角和定理得出∠PAC+∠ACP＝25°．由AE平分∠DAC，CF平分∠ACD及三角形内角和定理得出∠D的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图①，过E作EF∥AD，
∵AD∥BC，
∴EF∥BC，
∴∠DAE＝∠AEF，∠CBE＝∠BEF，
∴∠AEB＝∠DAE+∠CBE；
（2）①证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB．
∵AE平分∠DAC，
∴∠EAC＝∠DAC＝
∠ACB，
∵∠ABC＝∠BAC，∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠EAC＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°；
②解：如图（3），由①知∠BAE＝90°，
∴∠FAE＝90°．
∵∠F＝65°，
∴∠APC＝90°+60°＝155°．
∴∠PAC+∠ACP＝25°．
∵AE平分∠DAC，CF平分∠ACD，
∴∠DAC+∠ACD＝2（∠PAC+∠ACP）＝50°，
∴∠D＝180°﹣50°＝130°．
∵AD∥BC，
∴∠BCD＝180°﹣∠D＝180°﹣130°＝50°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平分线的性质、三角形内角和定理等知识，难度适中．
