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XX市2019年高考第二次模拟考试
文 科 数 学
本试卷共6页，必考题和选考题共23小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡相应的“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第一部分 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合，
，则（ ）
A、 B、
C、
D、
(2) 已知（i是虚数单位），则
( )
A、1 B、0 C、 D、2
(3) 为评估一种农作物的种植效果，选了块地作试验田.这
块地的亩产量（单位：
）分别
为，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A、的平均数 B、
的标准差
C、 的最大值 D、
的中位数
(4) 数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n= ( )
A、5 B、6 C、7 D、8
(5) 已知，椭圆C1的方程为
，双曲线C2的方程为
，C1与C2的离心率之
积为，则C2的渐近线方程为 ( )
A、 B、
C、
D、
(6) 执行下面的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的M = ( )
A、
B、
C、
D、
(7) 一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为的正
方形)，则该几何体外接球的体积为( )
A、 B、
C、 D、
(8) 设分别为
三边
的中点，则
( )
A、 B、
C、
D、
(9) 若将函数的图像向右平移
个单位，所得图像关于y轴对称，则
的最小正
值是 ( )
A、 B、
C、
D、
(10) 已知事件“在矩形的边
上随机取一点
,使
的最大边是
”发生的概率是
,
则 ( )
A、 B、
C、
D、
(11) 平面过正方体
的顶点
,
平面
,
平面
,
平面
,则
所成角的正弦值为( )
A、 B、
C、
D、
(12) 已知是定义在R上的函数，对任意
都有
，若函数
的图象关于直线
对称，且
，则
( )
A、2 B、3 C、－2 D、－3
第二部分 非选择题（共90分）
本试卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
（13）已知,则
.
(14) 圆 与 圆
关于直线
对称,则圆
的方程为 .
(15) 已知的内角
的对边分别为
,若
,
则
的面积为 .
(16) 已知 满足约束条件
,当目标函数
在该约束条件下取到最小值
时，
的最小值为 .
三、解答题：本大题共7小题，满分共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（一）必考题：共60分。
（17）（本小题满分12分）已知正项数列满足：
，其中
为数列
的前
项和.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列
的前
项和
.
（18）（本小题满分12分）如图，四边形为菱形，
为平行四边形，且平面
平面
，设
与
相交于点
，
为
的中点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，
，
，求三棱锥
的体积.
人．
（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；
（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；
（Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取
人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．
（20）（本小题满分12分）已知椭圆：
的离心率是
，其左、右顶点分别为
，
，
为短轴的端点，
的面积为
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）为椭圆
的右焦点，若点
是椭圆
上异于
，
的任意一点，直线
，
与直线
分别交于
，
两点，证明：以
为直径的圆与直线
相切于点
．
21.（本小题满分12分）已知函数，
（Ⅰ）若，求函数
的极值；
（Ⅱ）设函数，求函数
的单调区间；
(Ⅲ)若在（
）上存在一点
，使得
成立，求
的取值范围.
请考生在第（22），（23）题中任选一题作答．作答时一定要用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑(都没涂黑的视为选做第（22）题)。
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线
,圆
，以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求的极坐标方程;
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为
(
),设
与
的交点为
，
，求
的面积.
（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知
（Ⅰ）当时,求
的最小值;
（Ⅱ）若不等式的解集非空,求
的取值范围.
化州市2019年第二次高考模拟考试
数学试卷（文科）参考答案及评分标准
一、 选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分
二、填空题
(13) ． (14) ．
； (15)．
； (16)．
；
三、解答题
（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）令，得
，且
，解得
.
当时，
，
即，
整理得，
所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，
故.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，
（18）（本小题满分12分）（1）证明：四边形
为菱形
，………………1分
又面
面
=
………………2分
面面
C………………3分
,………………4分
………………5分
………………………………6分
（2）在中，
所以,………………6分
………………8分
，
,………………9分
…………………………………. 10分
又,
,
,
. . . . . . . . . . . . . 12分
……………………………14分
（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意：获数学二等奖的考生的比例是，…..1分
所以考生总人数为：（人）． ………………………………………2分
所以该考场考生中语文成绩为一等奖的人数为：
（人）． ………………………………………3分
（Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为、
、
、
，
，……………………………………………4分
，……………………………………………5分
， …………………………………………6分
． …………………………………………7分
所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差．
……………………………………………8分
（Ⅲ）两科均为一等奖共有人，仅数学一等奖有
人，仅语文一等奖有
人
……………………………………………9分
设两科成绩都是一等奖的人分别为
、
、
，只有数学一科为一等奖的
人分别是
、
,只有语文一科为一等奖的
人是
，所以随机抽取两人的基本事件为：
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
共种． …………………………………10分
而两人两科成绩均为一等奖的基本事件为：、
、
共
种． …………11分
所以两人的两科成绩均为一等奖的概率. …………………………12分
（20）（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由已知 …………2分
解得，
． …………4分
故所求椭圆方程为． …………5分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
，
．
设，则
．
于是直线方程为
，令
，得
；
所以，同理
． …………7分
所以，
.
所以
．
所以 ，点
在以
为直径的圆上． …………9分
设的中点为
，则
．
又，
所以
．
所以 ． …………11分
因为是以
为直径的圆的半径，
为圆心，
，
故以为直径的圆与直线
相切于右焦点． …………12分
（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）的定义域为
， ……………………1分
当时，
，
，
……………………2分
所以在
处取得极小值1. ………………………3分
（Ⅱ），
………………………4分
1 当时，即
时，在
上
，在
上
，
所以在
上单调递减，在
上单调递增； ………………………5分
②当，即
时，在
上
，
所以，函数在
上单调递增. …………………6分
（III）在上存在一点
，使得
成立，即
在上存在一点
，使得
，即
函数在
上的最小值小于零. ………………………7分
由（Ⅱ）可知
①即，即
时，
在
上单调递减，
所以的最小值为
，由
可得
，
因为，所以
； ………………………8分
②当，即
时，
在
上单调递增，
所以最小值为
，由
可得
； ………………………9分
③当，即
时， 可得
最小值为
，
因为，所以，
故
此时，不成立. ………………………11分
综上讨论可得所求的范围是：
或
. ………………………12分
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解 (1)因为x=ρcosθ, y=ρsin θ, ……………1分
所以C1的极坐标方程为ρcos θ= - 2, …………2分
C2的极坐标方程为ρ2 - 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0. …………5分
(2)将 代入ρ2 - 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0
得 ，…………6分
则，
，…………7分
得 ，…………8分
由 ,得
,……………9分
…………10分
（23）(本小题满分10分) 解 (1) 当a=1时,f(x)=|x-1|+|x-3|≥|x-1-x+3|=2, ………..3分
∴f(x)的最小值为2, ………….4分
当且仅当1≤x≤3时取得最小值. ……………5分
(2)∵x∈R时,恒有|x-a|+|x-3|≥|(x-a)-(x-3)|=|3-a|, …………7分
且不等式f(x)≤3的解集非空, ………….8分
∴ |3-a|≤3,………….9分
∴ 0≤a≤6. …………..10分
