课时达标训练（九）
[即时达标对点练]
题组1 直线与椭圆的位置关系
1．直线y＝kx＋1与椭圆＋
＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2．直线y＝x＋2与椭圆＋
＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．
题组2 直线与椭圆的相交弦问题
3．椭圆＋
＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为( )
A．10 B．12 C．16 D．18
4．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
5．已知中心在原点，一个焦点为F(0，)的椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点横坐标为
，求此椭圆的方程．
题组3 与椭圆有关的最值问题
6．已知动点P(x，y)在椭圆＋
＝1上，若A点坐标为(3，0)，|
|＝1，且
＝0，则|
|的最小值是________．
7．若点O和点F分别为椭圆＋
＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则
的最大值为________．
8．如图，点A是椭圆C：＋
＝1(a>b>0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，
(1)若点P的坐标为(0，1)，求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围．
[能力提升综合练]
1．若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过(m，n)的直线与椭圆＋
＝1的交点个数( )
A．至多一个 B．2个
C．1个 D．0个
2．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是( )
A．[4－2，4＋2
] B．[4－
，4＋
]
C．[4－2，4＋2
] D．[4－
，4＋
]
3．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若
＝( )
A. B．2 C.
D．3
4．椭圆Γ：＋
＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝
(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
5．已知椭圆G：＋y2＝1，过点(0，2)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(2)O为坐标原点，求△OAB的面积．
6．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y＝x＋m相交于不同的两点M，N，问是否存在实数m使|AM|＝|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．
答案
即时达标对点练
1.解析：选A 因为直线y＝kx＋1过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆＋
＝1的内部，故直线y＝kx＋1与椭圆
＋
＝1相交．
2.解析：由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
又∵直线与椭圆有两个公共点，
∴Δ＝(4m)2－4m(m＋3)＝16 m2－4m2－12m
＝12m2－12m>0，
解得m>1或m<0.
又∵m>0且m≠3，
∴m>1且m≠3.
答案：(1，3)∪(3，＋∞)
3.解析：选B∵|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，∴|AF1|＋|BF1|＝4×5－8＝12.
4.解析：由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝|x1－x2|
＝＝
＝
.
答案：
5.解：设所求椭圆的方程为＋
＝1(a>b>0)．
弦两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
由＋
＝1及y＝3x－2得
(a2＋9b2)x2－12b2x＋b2(4－a2)＝0，
x1＋x2＝，由已知
＝
，
即＝1，
所以a2＝3b2.又c2＝a2－b2＝50，
所以得a2＝75，b2＝25，
所以椭圆的方程为＋
＝1.
6.解析：易知点A(3，0)是椭圆的右焦点．
答案：
7.解析：由＋
＝1可得F(－1，0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3
＝
x2＋x＋3＝
(x＋2)2＋2，
当且仅当x＝2时，取得最大值6.
答案：6
8.解：∵直线AB的斜率为1，
∴∠BAP＝45°，
(1)∵P(0，1)，
即b＝2，且B(3，1)．
∵B在椭圆上，
∴＋
＝1，得a2＝12，
∴椭圆C的标准方程为＋
＝1.
(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t－3)，
∴t－3＝－b，即b＝3－t.
显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得，
＋
＝1，解得a2＝
.
∵a2>b2>0，
∴>(3－t)2>0.
∴>1，即
－1＝
>0，
∴所求t的取值范围是.
能力提升综合练
1.解析：选B 因为直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，
所以>2，即m2＋n2<4，
所以n2<4－m2，
则＋
<
＋
＝1－
m2<1.
所以点(m，n)在椭圆＋
＝1内部，
故过点(m，n)的直线与椭圆有2个交点．
2.解析：选A 方程可化为＋
＝1，故椭圆焦点在y轴上，又a＝2
，b＝
，所以
－≤m≤
，
故4－2≤2m＋4≤2
＋4.
3.解析：选A 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1，0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝
n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得
×
＋
＝1.
解得n2＝1，
∴||＝
＝
＝
.
4.解析：直线y＝(x＋c)过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.
在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以该椭圆的离心率e＝
＝
＝
－1.
答案：－1
5.解：(1)由已知得a＝2，b＝1，
所以c＝＝
.
所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(
，0)，
离心率为e＝＝
.
(2)设l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
由l与圆x2＋y2＝1相切得＝1，
解得k＝±.
将y＝±x＋2代入x2＋4y2－4＝0，
得13x2±16x＋12＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝
，
|AB|＝2＝2
＝2＝
.
又O到AB的距离d＝1.
∴S△OAB＝×|AB|×1＝
.
6解：(1)依题意可设椭圆方程为＋y2＝1，
则右焦点F(，0)．
由题设＝3，
解得a2＝3，
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设P为弦MN的中点，
由
得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.
由于直线与椭圆有两个交点，
所以Δ>0，即－2<m<2，
所以xP＝＝－
，从而yP＝xP＋m＝
，
所以kAP＝＝
，
又|AM|＝|AN|，
所以AP⊥MN，
所以＝－1，解得m＝2，
所以不存在实数m使|AM|＝|AN|.
