（完整版）北京大学2018年博雅计划数学真题

北京大学2018年博雅计划数学试卷

选择题共20小题，在每小题的四个项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。

1. 设n为正整数，word/media/image1_1.png为组合数，则word/media/image2_1.png等于（ ）

A. word/media/image3_1.png B. 2018！ C. word/media/image4_1.png D. 前三个答案都不对

【答案】D

解析： 408724bf449329789c5845a13dc9167f.png，

b72c37fcd032da39cdabf7fa1bfe52a6.png

58c45401809587a8cd9b5538789d6061.png，故选D。

2. 设a，b，c为非负实数，满足a+b+c=3，则a+ab+abc的最大值为（ ）

A. 3 B. 4 C. word/media/image8_1.png D. 前三个答案都不对

【答案】B

解析：word/media/image9_1.png，对其求导得到word/media/image10_1.png时取最大值为4。

3. 一个正整数word/media/image11_1.png称为具有3-因数积性质若n的所有正因数的乘积等于word/media/image12_1.png，则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为（ ）

A. 55 B. 50 C. 51 D. 前三个答案都不对

【答案】C

解析：设word/media/image11_1.png的所有正因数的乘积为T，即58d9167a494a85920e2421fe70b8a2b0.png。

6d24e2bc97c5e4283dd8e34674afe7ea.png显然符合题意；下面证明当a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png时，正整数word/media/image11_1.png的质因数的个数最多为2：假设7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png的质因数的个数大于或等于3，即7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png的全部质因数为822670af6d3c3def6b5abba1781e4ca6.png，并设83fd26d4c8d1436b7d626453d1c382b0.png，则word/media/image11_1.png的所有正因数的乘积中，1fd2de485eae179733f5ffe0d047f1ce.png至少在7e42a16efc7194344f4da4c0eaca2c68.png这些因子中出现，即180e6a78de35fca208945f3e43ef2c75.png出现的次数大于或等于4，这样T936d689fad5b3e3acef7592808bc2d3e.png，这与题意58d9167a494a85920e2421fe70b8a2b0.png矛盾，所以假设不成立，即word/media/image11_1.png的质因数的个数最多为2。

若7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png只有一个质因数，设fe1be76f498185982e01ec2695ab4f87.png，则1b2b725b898766f55b53e64ff9ea6216.png，此时只有质数cbf35836f6763c82beac016314f6d602.png满足0cec724e6c13094173447ebda92bc0ea.png；

若7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png有两个质因数，设acc74e49593bfb4e36590cc6149de21d.png，此时26a24d7fe244a649a6244b5c1292678e.png，解得c5e381f6f2b1ee9e1a1fc535f0c6e858.png，即7b32baf7dc14595cb345763a58422c50.png：word/media/image32_1.png取2时word/media/image33_1.png有24个取值，word/media/image32_1.png取3时word/media/image33_1.png有13个取值，word/media/image32_1.png取5时word/media/image33_1.png有5个取值，word/media/image32_1.png取7时word/media/image33_1.png有3个取值，word/media/image32_1.png取11时word/media/image33_1.png有2个取值，word/media/image32_1.png取13时word/media/image33_1.png有1个取值；

综上，所求总个数=1+2+24+13+5+3+2+1=51个。

4. 已知复数word/media/image34_1.png，word/media/image35_1.png，则word/media/image36_1.png的最小值为（ ）

A. 2 B. word/media/image37_1.png C. word/media/image38_1.png D. 前三个答案都不对

【答案】B

解析：0b67ca1ca878e67945091af5e44f5df7.png，

5d03a55b0d5ced01279f9d717100ac80.png，

7f48b97807986bc4214f59bd4f206842.png，取等条件为：

7defc2dfebc3b51a287c8a3db560f233.png。

5. 设A是不超过2018的正整数组成的集合，对于正整数k，用word/media/image43_1.png表示所有可能的A中k个数乘积的倒数之和，则word/media/image44_1.png的值为（ ）

A. 1 B. word/media/image45_1.png C. word/media/image46_1.png D. 前三个答案都不对

【答案】C

解析：9c8191ed98b3974dc70aafd64ba33efc.png，

b032a59e70d249f92056bacea6c9db93.png，

两式相加即得4afb967d0ce9e44dff3da70741adb61b.png。

6. 已知实数a,b,c成公差非0的等差数列，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（-3，2），点N的坐标为（2，3），过点P作直线ax+by+c=0的垂线，垂足为点M，则M,N间的距离的最大值与最小值的乘积是（ ）

A. 10 B. word/media/image50_1.png C. word/media/image51_1.png D. 前三个答案都不对

【答案】A

解析：由等差中项性质得a395ea947a837bcd374bf8c6e8d1cc3a.png，可见直线ax+by+c=0过定点58b675586a651acd4e2290455a0219da.png，设垂足70d3efd00780cbdcf86fd855877c442f.png，则2282566e101bcc03e273a7802f4e2d5e.png，即点M在圆T：a76e3c28d2ccb4ef2502980ec17119f3.png上，

点N到圆心T的距离fa6162e20ffe5cefca489074d7f82f6a.png，所以4523f9ef3c9a6abc909d6ec67b0fc97a.png。

7. 设word/media/image59.wmf是4036个实数，word/media/image60_1.png互异，满足对任意的word/media/image61_1.pngword/media/image62_1.png都有word/media/image63_1.png=2018，则对任意的word/media/image64_1.pngword/media/image65_1.png

word/media/image66_1.png的值为（ ）

A. 2018 B. -2018 C. 不能确定 D. 前三个答案都不对

【答案】B

解析：由83027b061aad6827c5f3d14f9e020174.png恒成立可得：

4f7f8cc6fc1a3913b7cc3881d4b5e8a3.png，

上式两边令c93b7ca0602d8fd06894ac08a4ae3065.png即得word/media/image70_1.png。

8. 用[x]表示不超过实数x的最大整数，例如[π]=3,[-π]= -4. 设n为正整数，用word/media/image71_1.png表示当word/media/image72_1.png时，函数word/media/image73_1.png的值域中的元素的个数，则使得word/media/image74_1.png最小的n的取值为（ ）

A. 63 B. 1009 C. 2018 D. 前三个答案都不对

【答案】A

解析：令be2ad1910481e48849874df5d118ea96.png，当22d9bb2875d7a70aeb68696096f3b9b2.png时a8173e5b88b7de6dc97025ddc801d8cf.png；741f18d36ab7547034c7f7ee1d12cc26.png时，则a540a810d5f047539a0e31aa16cc7d99.png，cf3f8140a18eb7a7c4c8e37c8bd5cf09.png有k个取值；19e4fa71cd298c9306ac10c4b2108541.png，

所以619aa42c82ff79b0875e05a4224f1c80.png，当06d6651ea0b118a89bd5ee9d969e2005.png时word/media/image74_1.png最小，而a896620fe506323943ada73cde9a25be.png，b2999b6a5f9398d3c14e66b6d82fbba1.png，故n=64时最小，选D。

9. 已知word/media/image86_1.png的面积为1，D,E 分别为边BC,CA上的点，且word/media/image87_1.png,word/media/image88_1.png,AD和BE交于点P，则四边形PDCE的面积是（ ）

A. word/media/image89_1.png B. word/media/image90_1.png C. word/media/image91_1.png D. 前三个答案都不对

【答案】B

解析：

83bb7c7a982911e10238c3883e6dda48.png，

又c7170a6ddae45653c603d2103ea64a1c.png。比较两式得99a648fe6e02e5f17031d148b30e7ed0.png，

所以a57ff94f23b6483f7f5aa18677de896f.png。

10. 设实数x,y满足word/media/image97_1.png，则word/media/image98_1.png的最小值为（ ）

A. word/media/image99_1.png B. word/media/image100_1.png C. word/media/image101_1.png D. 前三个答案都不对

【答案】C

解析：0aa68e807e2494e0ee50f036ffa28503.png表示椭圆word/media/image97_1.png上动点6dfa81a9ee264b1c870d531ed02c7b16.png到定点a263792f24431eedaec005a80696abb0.png与定点6794ce2527719431776852159e1bd001.png的距离之和，F为椭圆右焦点，设左焦点为ece4d79303afd2ae58519f6b1743a44d.png，则

07d29e0924c65bc19db71e513b1e8151.png922371a379d2166071a0757e8a4f4b8d.png。

11. 设关于word/media/image109_1.png的方程word/media/image110_1.png有3个互不相同的实根，则实数word/media/image111_1.png的取值范围是（ ）

A. word/media/image112_1.png B. word/media/image113_1.png C. word/media/image114_1.png D. 前三个答案都不对

【答案】D

解析：29a6dc9f1bd7841e2823c85c797403c1.png，

be8a9f9531e646138be32ac9d63f3847.png，要使原方程有三个互不相等实根，则4da472708cfbcffbbeb7a3139fe6b4a0.png或9b86fbd259ff30b9a9d0c7cec59a6889.png，解得3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png，故选D。

12. 把正整数中的非完全平方数从小到大排成一个数列word/media/image120_1.png，例如，word/media/image121_1.png，word/media/image122_1.png，word/media/image123.wmf，word/media/image124_1.png，…，则word/media/image125_1.png的值为（ ）

A. 2061 B. 2062 C. 2063 D. 前三个答案都不对

【答案】C

解析：29c36ada6b116c34e88812756e049a09.png，即小于2018的数中共有44个完全平方数，所以189c1356805907bb94df41b1a9a45027.png，6d8a6c1657162b0e7fe56dc542b2c028.png（2025是完全平方数，不在该数列中）。

13. 15人围坐在圆桌旁，从中选出4人使得其中任意两人都不相邻的选法数为（ ）

A. 1820 B. 450 C. 360 D. 前三个答案都不对

【答案】B

解析：从15人中任选4人的方法总数为ed980cfef2764a1c6a7e7ba049ce209e.png：

若选出的4个人刚好顺序相邻，情况种数=15；若选出的4人中有3人顺序相邻，其余1人与他们隔开，情况种数=420638b7377fd7ef3f958d928fe19597.png；若选出的4人可分成两两一组，其中每组内部两人相邻，但整体两组不相邻，情况种数=85e6dbc35369c80439d5a4dc38850022.png；若选出的4人中只有两人相邻，其他两人跟他们彼此不相邻，情况种数=306874040715dc9bbb3af9dd077af72f.png。

综上，所求4人使得其中任意两人都不相邻的选法数=b62381a623b2a53d0ab808293b3dfe77.png。

14. 从不超过2018的正整数中任取3个数使得不包含两个连续的数，则这样的取法种数是（其中word/media/image134_1.png表示组合数）（ ）

A. word/media/image135_1.png B. word/media/image136_1.png C. word/media/image137_1.png D. 前三个答案都不对

【答案】A

解析：从2018个数中任取3个数的方法总数为696cadf7a4cf7a4070308c310b279cbd.png：若取出的三个数均相邻，情况数=2016；

若取出的三个数只有两个数相邻，情况数=d794c972473942e21f4890d7e469a337.png；

综上，所求方法种数=5e47dab5f085c04fd84317327360afcb.png。

15. 设集合S中有10个元素，从S中每次随机选取1个元素，取出后还放回S中，则取5次后出现重复元素的概率是（保留两位有效数字）（ ）

A. 0.50 B. 0.55 C. 0.70 D. 前三个答案都不对

【答案】C

解析：由加法原理和乘法原理word/media/image141_1.png，因而答案选C。

16. 立方体word/media/image142_1.png中，word/media/image143_1.png 为word/media/image144_1.png的中点，word/media/image145_1.png为word/media/image146_1.png的中点，则异面直线word/media/image147_1.png与word/media/image148_1.png的夹角余弦值是（ ）

A. word/media/image149_1.png B. word/media/image150_1.png C. word/media/image151_1.png D. 前三个答案都不对

【答案】B

解析：如图，易知af724419ffbeb5697898524a9656d4be.png，故所求余弦值等于02ba6b261761876cfd39eca098bdcff9.png，设立方体棱长为1，则

4962b1d77c9d67bc091242e1f5a64906.png，在三角形701e4c289ee6ec67271b176b4fd00ede.png中，由余弦定理易得a5adc1a32bf43752e9288796bb69a975.png。

17. 有多少个正整数n满足word/media/image158_1.png.( )

A. 0 B. 1 C. 无穷多个 D. 前三个答案都不对

【答案】A

解析：运用等差角求和公式，在式子上下同乘word/media/image159_1.png，然后积化和差得到：

word/media/image160_1.png

word/media/image161_1.png

word/media/image162_1.png

下面需要对这个式子就行估算，注意到word/media/image163_1.pngword/media/image164_1.png0.707word/media/image165_1.png，即a51bb70bbeacf43f9398b3df2d65a237.png，而上式左边不超过1，所以不存在word/media/image167_1.png使得原式成立。

18. word/media/image168_1.png的最小值所属区间为（ ）

A. [10,11] B.(11,12] C. (12,13] D. 前三个答案都不对

【答案】C

解析：首先观察原式代数结构特点，易知取最小值时6fc273b60d0c1d728b4f53d6c6ed595a.png，可先固定9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，即把9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png视为常数，415290769594460e2e485922904f345d.png看做变量，此时9bbc54d59d45373522f78e8fb6690da4.png为常量，f65c961ecfd057c9422e74a6aff1e7d6.png表示415290769594460e2e485922904f345d.png轴上一动点P96d409fafa72ed7ab971a8dfbb09836f.png到定点Adc2d5487899e99a44e1e5d6b2e3fadc1.png与定点Bef69b6ae36c2c64352002912e12c214c.png距离之和，显然a8ae6fabac4cfce9b63e842e9c17065d.png，当且仅当A，P，B三点共线时取等；cf4a9cf159ba7927958d4b3e2a0a7b78.png，

问题进而转化为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴上动点bf8b2cd23c561df788e4418e611c2467.png到定点Cb74a73b7e45dcda01a13685fe539965c.png与定点Db0387e610bc36f734ab993f0d2cc2c48.png距离之和，显然

002d78f1c425c30de275ba1ffe302d1b.png，当且仅当C、D、37a12b78a9ca96989ad7ceceacb37ea2.png三点共线时，即784f87ffe3b28b963142b376ad0055ee.png取等；

进一步往回带可得动点P坐标为ead971b3e56115682dc71cf658b54661.png。

综上，当f306db5cafc2843e645a8267af6b3e2d.png时，word/media/image168_1.png最小值为13，故选C。

19. 方程word/media/image187_1.png的实根个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 前三个答案都不对

【答案】D

解析：注意到babddb8f7d6a1eecf6ad1b20aa07e111.png为定值，故可设18c82501cefdf0e93bb3d7f209fc1c90.png，则ec0c0667a9b975b32a615e6141c0d7b9.png，原方程等价于：

99d0fc9bb1b23089271531d8b3356711.png

4e262324fc1e804bc93b71a9a70b96b2.png，又39d97ddbda0696e58094ea8c5500005c.png，所以15c760d35423fac315a93a3123d54d0c.png，由韦达定理解得

95c1060c75448b11ed2d85885bb80559.png，进而121947047132458c823ba646d215469b.png，解得e21e805ab016d796d8ec3122398628b1.png，原方程实根个数为4，故选D。

20. word/media/image198_1.png表示边长为整数，周长为n的两两不全等的三角形的个数，则word/media/image199_1.png的值为（ ）

A. 3 B. 0 C. -3 D. 前三个答案都不对

【答案】B

解析：首先证明456415906f907bab92ebb8648a4d22be.png中不含边长为1的三角形情形：假设456415906f907bab92ebb8648a4d22be.png中某个三角形某边长为1，则其余两边长之和为293559d06fe12fdc82e149cbed3b2a39.png，又f9c7558e68ad9e82126a71e838735a91.png，故必有519b378d7c02689235644d48958bffce.png，不妨设46fa7900cc397f3a4b3fa2e72d6885e7.png，这样导致1b05d3a91d8bef9f666dab18497739c0.png，与构成三角形条件矛盾，所以假设不成立，即456415906f907bab92ebb8648a4d22be.png中三角形最短边长度357080c94eb0830597a8445f55bb4bb8.png。

如此1e624bc6649ec1952dd49cab8108a73a.png中三角形每条边长度增加1即为456415906f907bab92ebb8648a4d22be.png中情形，456415906f907bab92ebb8648a4d22be.png中三角形每条边长度减去1即为1e624bc6649ec1952dd49cab8108a73a.png中情形，这样1e624bc6649ec1952dd49cab8108a73a.png与456415906f907bab92ebb8648a4d22be.png构成一一映射，故必有c0b5cc7d0758ccc452914aedddfca999.png，选B。

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