河南省新乡市2019-2020学年高二上学期期末数学（理科）试题（解析版）

新乡市高二上学期期末考试

数学（理科）

考生注意：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.

2.请将各题答案填写在答题卡上.

3.本试卷主要考试内容：人教A版必修5，选修2-1.

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.双曲线的焦距是（ ）

A. 10 B. 20 C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

双曲线的方程得，，可求，即可求出焦距．

【详解】解：双曲线中，，

，

．

故选：．

【点睛】本题考查的重点是双曲线的几何性质，解题的关键是掌握，属于基础题．

2.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ）

A. B. 19 C. D. 39

【答案】A

【解析】

【分析】

已知两边一夹角求对边，应用余弦定理，即可求解.

【详解】，，，由余弦定理可得

.

故选:A.

【点睛】本题考查余弦定理解三角形，属于基础题.

3.已知点在抛物线的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

首先表示出抛物线的准线，根据点在抛物线的准线上，即可求出参数，即可求出抛物线的焦点.

【详解】解：抛物线的准线为

因为在抛物线的准线上

故其焦点为

故选：

【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.

4.给出下列四个说法，其中正确的是（ ）

A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”

B. “”是“双曲线离心率大于”的充要条件

C. 命题“，”的否定是“，”

D. 命题“在中，若，则是锐角三角形”的逆否命题是假命题

【答案】D

【解析】

【分析】

A选项：否命题应该对条件结论同时否定，说法不正确；

B选项：双曲线的离心率大于，解得，所以说法不正确；

C选项：否定应该是：，，所以说法不正确；

D选项：“在中，若，则是锐角三角形”是假命题，所以其逆否命题也为假命题，所以说法正确.

【详解】命题“若，则”的否命题是“若，则”，所以A选项不正确；

双曲线的离心率大于，即，解得，则“”是“双曲线的离心率大于”的充分不必要条件，所以B选项不正确；

命题“，”的否定是“，”， 所以C选项不正确；

命题“在中，若，则是锐角三角形”， 在中，若，可能，此时三角形不是锐角三角形，所以这是一个假命题，所以其逆否命题也是假命题，所以该选项说法正确.

故选：D

【点睛】此题考查四个命题关系，充分条件与必要条件，含有一个量词的命题的否定，关键在于弄清逻辑关系，正确求解.

5.已知双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，则（ ）

A. 1 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】A

【解析】

【分析】

由椭圆的方程可得焦点坐标，根据双曲线的性质即可得的值.

【详解】在椭圆中，，，，

即椭圆的焦点坐标为，

∴双曲线的焦点为，

∴，解得，

故选：A.

【点睛】本题主要考查椭圆焦点坐标以及双曲线的焦点坐标，属于中档题.

6.在等差数列中，，，则公差（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】

由，将转化为表示，结合，即可求解.

【详解】，

.

故选:B.

【点睛】本题考查等差数列基本量计算，属于基础题.

7.已知命题若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则直线与抛物线相切，命题若，则方程表示椭圆.下列命题是真命题的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

若直线与抛物线的对称轴平行，满足条件，此时直线与抛物线相交，可判断命题为假；当时，，命题为真，根据复合命题的真假关系，即可得出结论.

【详解】若直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个交点，

直线与抛物不相切，可得命题是假命题，

当时，，

方程表示椭圆

命题是真命题，

则是真命题.

故选:B.

【点睛】本题考查复合命题真假的判断，属于基础题.

8.已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是该双曲线上的一点，且，则（ ）

A. 2或18 B. 2 C. 18 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据可判断出点P在该双曲线左支上，再根据双曲线的定义即可得结果.

【详解】在双曲线中，，，，

因为，

所以点P在该双曲线左支上，则，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，判断出点P的位置是解题的关键，属于中档题.

9.已知，，若不等式恒成立，则正数的最小值是（ ）

A. 2 B. 4

C. 6 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】

由基本不等式求出的最小值，只需最小值大于等于18，得到关于的不等式，求解，即可得出结论.

详解】，

因为不等式恒成立，

所以，即，

解得，所以.

故选:B.

【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.

10.观察下面数阵，

1

3 5

7 9 11 13

15 17 19 21 23 25 27 29

…

则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ）

A. 545 B. 547 C. 549 D. 551

【答案】C

【解析】

【分析】

由该数阵中第m行有个数，所以前m行共有个数，进而得出前两个每一行的数据，即可得到答案.

【详解】由题意，可得该数阵中第m行有个数，所以前m行共有个数，

当时，可得前8行共255个数，

因为该数阵中的数依次相连成公差为2的等差数列，

所以该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的应用，其中解答中认真审题，求得数表中数据的规律，结合等差、等比数列求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

11.已知椭圆的左焦点为，点是椭圆的上顶点，直线与椭圆交于，两点.若点到直线的距离是1，且不超过6，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

设椭圆的右焦点为，连接，，根据椭圆的对称性可得，结合椭圆的定义，从而有，点到直线的距离是1，可求得，根据椭圆的关系，可得，结合，即可求出的范围.

【详解】设椭圆的右焦点为，连接，.

由椭圆的对称性可知四边形是平行四边形，

则，则，即.

因为点到直线的距离是1，所以，

所以，则椭圆的离心率.

因为，所以，所以，

即椭圆的离心率.

故选:A.

【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，以及椭圆定义应用，属于中档题.

12.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上.若为钝角三角形，则的取值范围是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据双曲线的几何性质，结合余弦定理分别讨论当为钝角时的取值范围，根据双曲线的对称性，可以只考虑点在双曲线上第一象限部分即可.

【详解】由题：双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，

必有，若为钝角三角形，根据双曲线的对称性不妨考虑点在双曲线第一象限部分：

当为钝角时，在中，设，

有，，

即，，

所以

；

当时，所在直线方程，所以，，

，根据图象可得要使，点向右上方移动，

此时，

综上所述：的取值范围是.

故选：C

【点睛】此题考查双曲线中焦点三角形相关计算，关键在于根据几何意义结合特殊情况分类讨论，体现数形结合思想.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上.

13.若抛物线经过点，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

将点代入抛物线即可求解.

【详解】由题：抛物线经过点，

所以，

即.

故答案为：

【点睛】此题考查根据点在曲线上代入求解参数值，属于简单题目.

14.在等比数列中，若，是方程的两根，则________.

【答案】.

【解析】

【分析】

由题意求得，，再结合等比数列的性质，即可求解.

【详解】由题意知，，是方程的两根，可得，，

又由，，所以，，可得，

又由，所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的性质的应用，其中解答中熟练应用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

15.直线与椭圆有公共点，则的取值范围是_______．

【答案】

【解析】

【分析】

将直线方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，方程有两个解，，解不等式，即可求解。

【详解】联立整理得.

因为直线与椭圆有公共点，所以，

解得或.

故答案为:.

【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，转化为方程解的个数，属于基础题.

16.在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则_______．

【答案】

【解析】

【分析】

代入，展开整理得，①

化为，与①式相加得

，转化为关于的方程，求解即可得出结论.

【详解】因为，所以，

所以，因为，

所以，

则，

整理得，解得.

故答案为:.

【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，考查三角函数化简求值，属于中档题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知关于的方程在上恰有3个解，存在，使不等式成立.

（1）若为真命题，求正数的取值范围；

（2）若为真命题，且为假命题，求正数的取值范围.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】

（1）由，，可得，当命题为真，结合正弦函数的图像可得，即可求出结论；

（2）命题为真，即存在，使不等式成立，转化为，设，只需，由，，求出函数的最大值，即求出为真时的取值范围. 为真命题，且为假命题，分为真假和真假，分别求出的范围，即可求解.

【详解】解：（1）因为，，所以.

因为为真命题，所以

在上恰有3个解，

∴，

所以，所以.

当为真命题时，的取值范围是.

（2）不等式等价于

.

设，

，所以，则.

当为真命题时，.

因为为真命题，且为假命题，所以与中一真一假，

①当真假时，.

②当真假时，解得或.

综上，的取值范围是.

【点睛】本题以命题的真假关系为背景，考查三角方程解的个数求参数范围，考查含余弦的二次函数的最值，考查复合命题的真假关系求参数，属于中档题.

18.在中，内角，，所对的边分别为，，，.

（1）求；

（2）若，，求的面积.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】

，化为，结合两角和的正切公式，可得，由的范围，求出；

（2）由，，，根据余弦定理，得到关于边的一元二次方程，求出，由面积公式，即可求解.

【详解】解：（1）因为，

所以，

所以.

因为，所以，

因为，所以.

（2）由（1）可知，则，.

因为，，所以，

即，解得.

故的面积为.

【点睛】本题考查三角函数化简求角，考查余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中档题.

19.设数列的前项和为，且，数列是等比数列，且，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）,

（2）

【解析】

【分析】

（1）根据数列前项和与通项的关系，分，可求出. ，再由已知求出，进而求出公比，即可求出的通项公式；

（2）是等差数列，是等比数列，用错位相减法求的前项和.

【详解】解：（1）当时，，

当时，，

则.

当时，满足上式，则

因为，，

所以，，所以.

设等比数列的公比为，

则，解得，

故.

（2）由（1）可得，

则，①

，②

①-②得，

故.

【点睛】本题考查由数列的前项和求通项公式，考查等比数列通项公式的基本量计算，考查用错位相减法求数列的前项和，属于中档题.

20.已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于两点.

（1）若直线l的方程为，求的值；

（2）若直线l的斜率为2，l与y轴的交点为P，且，求.

【答案】（1）18；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设出点的坐标联立直线与抛物线的方程，消去，由韦达定理可得，由抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等即可得结果.

（2）可设直线l的方程为，联立直线与抛物线的方程，消去，结合韦达定理以及可解出，，根据弦长公式即可得结果.

【详解】（1）设，.

联立整理得，

则.

因为均在抛物线C上，所以.

（2）设，则直线l的方程为.

联立整理得，

则，，

且，即.

因为，所以点N为线段的中点，所以.

因为，所以，，

此时，，

故.

【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，直线与抛物线相交时所得的弦长问题，注意抛物线性质的应用，属于中档题.

21.如图，在四棱锥中，，，，，O为的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，，，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）取的中点F，连接，易得，，由线面垂直判定定理可得平面，进而，再将与线面垂直判定定理相结合即可得结果.

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，可求出平面的一个法向量，取平面的一个法向量，根据图象结合即可得结果.

【详解】（1）证明：取的中点F，连接.

因为，F为的中点，所以.

因为O为中点，F为的中点，所以.

因为，所以，

因为，平面，平面，所以平面.

又平面，所以.

因为，O为的中点，所以.

因为，平面，平面，

所以平面.

（2）解：以O为坐标原点，所在直线为x轴，平行的直线为y轴，所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵，

∴，∴，

则，，，，，

因为，所以，

故，.

设平面的法向量，则

不妨取，则

平面的一个法向量，记二面角的大小为，

由图可知为锐角，则.

【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，利用向量法求二面角的大小，求出面的法向量是解题的关键，属于中档题.

22.已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上，且的最小值是（为坐标原点）.

（1）求椭圆的标准方程.

（2）已知动直线与圆：相切，且与椭圆交于，两点.是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在

【解析】

【分析】

（1）根据焦距和椭圆的几何意义即可求出椭圆标准方程；

（2）分别对斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，相切即圆心到直线距离等于半径，即向量的数量积为零，进行代数运算即可求解.

【详解】（1）因为的最小值是，所以，

因为椭圆的焦距为，所以，即，

所以，

故椭圆的标准方程是；

（2）①当直线的斜率不存在时，

因为直线与圆相切，所以直线的方程为，

则直线与椭圆的交点为或，

因为，所以，所以，即，

②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，，.

联立，整理得，

则，，

因为，在直线上，所以，

将，代入上式，得，

因为，所以，即，

因为动直线与圆相切，所以，所以，即，

综上，存在，使得.

【点睛】此题考查根据椭圆的几何意义求解椭圆方程，根据直线与曲线的位置关系结合韦达定理解决探索性问题.