广西名校高考数学猜题试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|lgx＜1}，则M∩N=（ ）
A．（﹣1，4） B．（0，4） C．（0，10） D．（4，10）
2．若i是虚数单位，复数word/media/image2_1.png的虚部为（ ）
A．word/media/image4_1.png B．
word/media/image4_1.png C．
word/media/image7_1.png D．
word/media/image7_1.png
3．若x，y满足word/media/image10_1.png，则使得z=2x+y取最大值时的最优解为（ ）
A．（0，3） B．（3，0） C．（1，2） D．（2，1）
4．几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．word/media/image13_1.png B．
word/media/image15_1.png C．
word/media/image13_1.png D．
word/media/image15_1.png
5．已知向量word/media/image19_1.png=（3，1），
word/media/image19_1.png=（1，3），
word/media/image19_1.png=（k，﹣2），若（
word/media/image19_1.png﹣
word/media/image19_1.png）∥
word/media/image19_1.png，则向量
word/media/image19_1.png与向量
word/media/image19_1.png的夹角的余弦值是（ ）
A．word/media/image23_1.png B．
word/media/image7_1.png C．
word/media/image26_1.png D．
word/media/image4_1.png
6．执行右面的程序框图，若输入的n=6，m=4那么输出的p是（ ）
A．120 B．240 C．360 D．720
7．等比数列{an}中，a4=2，a7=5，则数列{lgan}的前10项和等于（ ）
A．2 B．lg50 C．10 D．5
8．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，22），从中随机取一件，其长度误差落在区间（2，4）内的概率为（ ）（若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
9．已知φ∈（word/media/image13_1.png，π），且sinφ=
word/media/image7_1.png，若函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
word/media/image13_1.png，则f（
word/media/image13_1.png）的值为（ ）
A．﹣word/media/image7_1.png B．﹣
word/media/image7_1.png C．
word/media/image7_1.png D．
word/media/image7_1.png
10．过双曲线word/media/image36_1.png﹣
word/media/image38_1.png=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若
word/media/image40_1.png=2
word/media/image40_1.png，则此双曲线的离心率为（ ）
A．word/media/image43_1.png B．
word/media/image43_1.png C．2 D．
word/media/image43_1.png
11．已知球的直径SC=2word/media/image43_1.png，A，B是该球球面上的两点，若AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的表面积为（ ）
A．22 B．16 C．12 D．10
12．函数f（x）的导函数为f′（x），对∀x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，若f（ln4）=2，则不等式f（x）＞eword/media/image47_1.png的解集是（ ）
A．（1，+∞） B．（0，ln4） C．（ln4，+∞） D．（0，1）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．6的展开式中，x4y2的系数为 ．
14．已知抛物线x2=2py上的点M（m，3）到它的焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为 ．
15．已知函数f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2﹣x，则f（2016）+f（﹣2017）的值为 ．
16．已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足an2=S2n﹣1（n∈N+）．若不等式word/media/image49_1.png≤
word/media/image51_1.png对任意的n∈N+恒成立，则实数λ的最大值为 ．
三、解答题
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且word/media/image53_1.png．
（1）求角A的值；
（2）若∠B=word/media/image13_1.png，BC边上中线AM=
word/media/image43_1.png，求△ABC的面积．
18．（12分）随着科技的发展，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，除传统的打电话外，手机的功能越来越强大，人们可以玩游戏，看小说，观电影，逛商城等，真是“一机在手，天下我有”，所以，有人把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，低头族已经严重影响了人们的生活，一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中，随机抽取100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图．
（I）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名市民的平均年龄；
（II）在抽出的100名中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名接受采访，再从抽出的这20名中年龄在[30，40）的选取2名担任主要发言人．记这2名主要发言人年龄在[30，35）的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
word/media/image57_1.png
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，PC与底面ABCD所成角为30°．
（I）证明：平面PBD⊥平面PAC；
（II）求平面APB与平面PCD所成二面角（锐角）的余弦值．
word/media/image59_1.png
20．（12分）已知椭圆word/media/image36_1.png+
word/media/image38_1.png=1（a＞b＞0）的右焦点为F，M为上顶点，O为坐标原点，若△OMF的面积为
word/media/image7_1.png，且椭圆的离心率为
word/media/image23_1.png．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）．
（I）若f（x）在[1，3]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；
（II）记g（x）=f（x）+（2+a）lnx﹣2（b﹣1）x，并设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥1+word/media/image65_1.png，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．
四、选修4-4：坐标系与参数方程选讲
22．（10分）已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为word/media/image67_1.png（θ为参数），直线l经过定点P（1，1），倾斜角为
word/media/image13_1.png．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆锥曲线C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．
五、解答题（共1小题，满分0分）
23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|．
（1）当a=﹣4时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）≤|x﹣3|的解集包含[0，1]，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|lgx＜1}，则M∩N=（ ）
A．（﹣1，4） B．（0，4） C．（0，10） D．（4，10）
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】根据题意，解x2﹣3x﹣4＜0可得集合M，解lgx＜1可得集合N，进而由交集的意义，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，x2﹣3x﹣4＜0⇒﹣1＜x＜4，
则M={x|x2﹣3x﹣4＜0}=（﹣1，4）；
lgx＜1⇒0＜x＜10，
则N={x|lgx＜1}=（0，10）；
故M∩N=（0，4）；
故选：B．
【点评】本题考查集合交集的运算，关键是求出集合A、B．
2．若i是虚数单位，复数word/media/image2_1.png的虚部为（ ）
A．word/media/image4_1.png B．
word/media/image4_1.png C．
word/media/image7_1.png D．
word/media/image7_1.png
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】根据复数的运算法则计算即可．
【解答】解：复数word/media/image2_1.png=
word/media/image76_1.png=
word/media/image78_1.png=
word/media/image7_1.png+
word/media/image7_1.pngi，
∴复数word/media/image2_1.png的虚部为
word/media/image7_1.png，
故选：D．
【点评】本题考查了复数的运算法则，以及复数的概念，属于基础题．
3．若x，y满足word/media/image10_1.png，则使得z=2x+y取最大值时的最优解为（ ）
A．（0，3） B．（3，0） C．（1，2） D．（2，1）
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求2x+y取最大值时的最优解为即可．
【解答】解：作出不等式组word/media/image10_1.png对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设z=2x+y，则得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z．
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z截距最大，
此时z最大．
由word/media/image82_1.png，解得 A（1，2）．
∴2x+y取最大值时的最优解为（1，2）．
故选：C．
word/media/image84_1.png
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
4．几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
word/media/image86_1.png
A．word/media/image13_1.png B．
word/media/image15_1.png C．
word/media/image13_1.png D．
word/media/image15_1.png
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，利用体积计算公式即可得出．
【解答】解：由三视图可知：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，
所以其体积为word/media/image92_1.png．
故选：C．
【点评】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．已知向量word/media/image19_1.png=（3，1），
word/media/image19_1.png=（1，3），
word/media/image19_1.png=（k，﹣2），若（
word/media/image19_1.png﹣
word/media/image19_1.png）∥
word/media/image19_1.png，则向量
word/media/image19_1.png与向量
word/media/image19_1.png的夹角的余弦值是（ ）
A．word/media/image23_1.png B．
word/media/image7_1.png C．
word/media/image26_1.png D．
word/media/image4_1.png
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的坐标运算和向量的平行求出k的值，再根据向量的夹角公式即可求出．
【解答】解：∵word/media/image19_1.png =（3，1），
word/media/image19_1.png=（1，3），
word/media/image19_1.png=（k，﹣2），
∴word/media/image19_1.png﹣
word/media/image19_1.png=（k﹣3，﹣3），
∵（word/media/image19_1.png﹣
word/media/image19_1.png）∥
word/media/image19_1.png，
∴3（k﹣3）=1×（﹣3），
∴k=2，
∴word/media/image105_1.png=3×2+1×（﹣2）=4，
∴|word/media/image19_1.png|=
word/media/image108_1.png，|
word/media/image19_1.png|=2
word/media/image43_1.png，
∴cos＜word/media/image19_1.png，
word/media/image19_1.png＞=
word/media/image110_1.png=
word/media/image112_1.png=
word/media/image23_1.png，
故选：A．
【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的夹角公式，以及向量平行，属于中档题．
6．执行右面的程序框图，若输入的n=6，m=4那么输出的p是（ ）
word/media/image115_1.png
A．120 B．240 C．360 D．720
【考点】EF：程序框图．
【分析】由框图输入的n，m的值及对k和p的赋值，首先进行了一次运算，然后判断k＜m是否成立，成立继续执行运算
k=k+1，p=p（n﹣m+k），不成立算法结束，输出p的值．
【解答】解：框图首先输入n=6，m=4，给循环变量k赋值1，累积变量p赋值1，
执行运算p=1×（6﹣4+1）=3；
判断1＜4成立，执行k=1+1=2，p=3×（6﹣4+2）=12；
判断2＜4成立，执行k=2+1=3，p=12×（6﹣4+3）=60；
判断3＜4成立，执行k=3+1=4，p=60×（6﹣4+4）=360；
判断4＜4不成立，跳出循环，输出p的值为360，算法结束．
故选C．
【点评】本题考查了程序框图，考查了当型循环结构，解答此题的关键是分清循环次数，是基础题．
7．等比数列{an}中，a4=2，a7=5，则数列{lgan}的前10项和等于（ ）
A．2 B．lg50 C．10 D．5
【考点】89：等比数列的前n项和．
【分析】由等比数列的性质和对数的运算可得S=lga1a2…a10=lg105，化简可得．
【解答】解：∵等比数列{an}中，a4=2，a7=5，
∴a1a10=a2a9=…=a4a7=10，
∴数列{lgan}的前10项和S=lga1+lga2+…+lga10
=lga1a2…a10=lg105=5
故选：D
【点评】本题考查等比数列的性质和求和公式，涉及对数的运算，属基础题．
8．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，22），从中随机取一件，其长度误差落在区间（2，4）内的概率为（ ）（若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】由题意P（﹣2＜ξ＜2）=0.6826，P（﹣4＜ξ＜4）=0.9544，可得P（2＜ξ＜4）=word/media/image7_1.png（0.9544﹣0.6826），即可得出结论．
【解答】解：由题意P（﹣2＜ξ＜2）=0.6826，P（﹣4＜ξ＜4）=0.9544，
所以P（2＜ξ＜4）=word/media/image7_1.png（0.9544﹣0.6826）=0.1359．
故选：B．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
9．已知φ∈（word/media/image13_1.png，π），且sinφ=
word/media/image7_1.png，若函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
word/media/image13_1.png，则f（
word/media/image13_1.png）的值为（ ）
A．﹣word/media/image7_1.png B．﹣
word/media/image7_1.png C．
word/media/image7_1.png D．
word/media/image7_1.png
【考点】H6：正弦函数的对称性；H1：三角函数的周期性及其求法．
【分析】由周期求出ω，由条件求出cosφ的值，从而求得f（word/media/image13_1.png）的值．
【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于word/media/image13_1.png，
可得word/media/image13_1.png=
word/media/image13_1.png，∴ω=2．
由φ∈（word/media/image13_1.png，π），且sinφ=
word/media/image7_1.png，可得 cosφ=﹣
word/media/image7_1.png，
∴f（word/media/image13_1.png）=sin（
word/media/image13_1.png+φ）=cosφ=﹣
word/media/image7_1.png，
故选：B．
【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
10．过双曲线word/media/image36_1.png﹣
word/media/image38_1.png=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若
word/media/image40_1.png=2
word/media/image40_1.png，则此双曲线的离心率为（ ）
A．word/media/image43_1.png B．
word/media/image43_1.png C．2 D．
word/media/image43_1.png
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】先由word/media/image136_1.png，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．
【解答】解：如图因为word/media/image136_1.png，所以A为线段FB的中点，
∴∠2=∠4，又∠1=∠3，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．
故∠2+∠3=90°=3∠2⇒∠2=30°⇒∠1=60°⇒word/media/image138_1.png．
∴word/media/image140_1.png=4⇒e=2．
故选：C．
word/media/image142_1.png
【点评】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．
11．已知球的直径SC=2word/media/image43_1.png，A，B是该球球面上的两点，若AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的表面积为（ ）
A．22 B．16 C．12 D．10
【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】证明SC⊥面ABO，求出各侧面面积，即可求出棱锥S﹣ABC的表面积．
【解答】解：∵∠BSC=∠ASC=45°，且SC为直径，
∴△ASC与△BSC均为等腰直角三角形．
∴BO⊥SC，AO⊥SC．
又AO∩BO=O，∴SC⊥面ABO．
△SAB中，SB=AB=word/media/image108_1.png，AB=2，∴S△SAB=
word/media/image146_1.png=3，
同理S△ABC=3，
∵S△BSC=S△ASC=word/media/image148_1.png=5
∴棱锥S﹣ABC的表面积为16，
故选：B．
word/media/image150_1.png
【点评】本题考查线面垂直，考查棱锥S﹣ABC的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
12．函数f（x）的导函数为f′（x），对∀x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，若f（ln4）=2，则不等式f（x）＞eword/media/image47_1.png的解集是（ ）
A．（1，+∞） B．（0，ln4） C．（ln4，+∞） D．（0，1）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】构造函数g（x）=word/media/image153_1.png，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（ln4）=2，求得g（ln4）=1，继而求出答案
【解答】解：∵∀x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，
∴f′（x）﹣word/media/image7_1.pngf（x）＞0，于是有（
word/media/image153_1.png）′＞0，
令g（x）=word/media/image153_1.png，则有g（x）在R上单调递增，
∵不等式f（x）＞eword/media/image47_1.png，
∴g（x）＞1，
∵f（ln4）=2，
∴g（ln4）=1，
∴x＞ln4，
故选：C．
【点评】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（x﹣2y）6的展开式中，x4y2的系数为 60 ．
【考点】DC：二项式定理的应用．
【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得x4y2的系数．
【解答】解：（x﹣2y）6的展开式的通项公式Tr+1=word/media/image157_1.png•x6﹣r•（﹣2）r•yr，
令r=2，可得x4y2的系数为word/media/image157_1.png•4=60，
故答案为：60．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．
14．已知抛物线x2=2py上的点M（m，3）到它的焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为 y=﹣2 ．
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】由题意可知：p＞0，焦点（0，word/media/image7_1.png），准线方程y=﹣
word/media/image7_1.png，则3+
word/media/image7_1.png=5，即可求得p的值，即可求得抛物线的准线方程．
【解答】解：抛物线x2=2py过M（m，3），则焦点在y轴的正半轴上，p＞0，
∴焦点（0，word/media/image7_1.png），准线方程y=﹣
word/media/image7_1.png，
则M到焦点的距离d=y+word/media/image7_1.png=5，即3+
word/media/image7_1.png=5，
∴p=4，
抛物线的准线方程y=﹣word/media/image7_1.png=﹣2，
故答案为：y=﹣2．
【点评】本题考查抛物线的性质，焦点弦公式，考查计算能力，属于基础题．
15．已知函数f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2﹣x，则f（2016）+f（﹣2017）的值为 3 ．
【考点】3T：函数的值．
【分析】根据题意可得函数的周期为4，然后根据函数的周期性，即可求解．
【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（﹣2017）=f（﹣504×4﹣1）=f（1），
f（2016）=f（504×4）=f（﹣3）=f（0），
当x∈[0，1]时，f（x）=2﹣x，
故f（1）=1，f（0）=2，
故f（2016）+f（﹣2017）=f（0）+f（1）=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件求出函数的周期性是解决本题的关键．
16．已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足an2=S2n﹣1（n∈N+）．若不等式word/media/image49_1.png≤
word/media/image51_1.png对任意的n∈N+恒成立，则实数λ的最大值为 ﹣21 ．
【考点】8F：等差数列的性质．
【分析】在已知递推式中分别取n=1，2，联立方程组求得首项和公差，求出等差数列的通项公式，进一步得到an+1，代入不等式word/media/image49_1.png≤
word/media/image51_1.png后分n为偶数和奇数变形，分离参数λ后分别利用基本不等式求最值和函数单调性求最值，取交集后得到λ的取值范围，则λ的最大值可求．
【解答】解：在an2=S2n﹣1中，
令n=1，n=2，
得word/media/image164_1.png，即
word/media/image166_1.png，
解得a1=1，d=2，
∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
an+1=2n+1．
①当n为偶数时，要使不等式word/media/image49_1.png≤
word/media/image51_1.png恒成立，
即需不等式word/media/image168_1.png恒成立，
∵word/media/image170_1.png，等号在n=2时取得，
∴此时λ需满足λ≤25；
②当n为奇数时，要使不等式word/media/image49_1.png≤
word/media/image51_1.png恒成立，
即需不等式word/media/image168_1.png恒成立，
∵word/media/image173_1.png随n的增大而增大，
∴n=1时，word/media/image173_1.png取得最小值﹣6．
则λ≤﹣6﹣15=﹣21．
综合①、②可得λ的取值范围是λ≤﹣21．
∴实数λ的最大值为﹣21．
故答案为：﹣21．
【点评】本题考查数列递推式，考查了等差数列通项公式的求法，训练了利用基本不等式和函数单调性求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．
三、解答题
17．（12分）（2017•广西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且word/media/image53_1.png．
（1）求角A的值；
（2）若∠B=word/media/image13_1.png，BC边上中线AM=
word/media/image43_1.png，求△ABC的面积．
【考点】HP：正弦定理．
【分析】（1）利用正弦定理化边为角可求得cosA=word/media/image23_1.png，从而可得A；
（2）易求角C，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中利用余弦定理可求b，再由三角形面积公式可求结果；
【解答】解：（1）∵word/media/image53_1.png．
∴由正弦定理，得word/media/image180_1.png，化简得cosA=
word/media/image23_1.png，
∴A=word/media/image13_1.png；
（2）∵∠B=word/media/image13_1.png，∴C=π﹣A﹣B=
word/media/image182_1.png，
可知△ABC为等腰三角形，
在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=word/media/image184_1.png，
解得b=2，
∴△ABC的面积S=word/media/image7_1.pngb2sinC=
word/media/image186_1.png=
word/media/image43_1.png．
【点评】该题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，属基础题，熟记相关公式并灵活运用是解题关键．
18．（12分）（2017•广西模拟）随着科技的发展，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，除传统的打电话外，手机的功能越来越强大，人们可以玩游戏，看小说，观电影，逛商城等，真是“一机在手，天下我有”，所以，有人把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，低头族已经严重影响了人们的生活，一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中，随机抽取100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图．
（I）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名市民的平均年龄；
（II）在抽出的100名中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名接受采访，再从抽出的这20名中年龄在[30，40）的选取2名担任主要发言人．记这2名主要发言人年龄在[30，35）的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
word/media/image57_1.png
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（I）根据频数之和为100计算①，根据频率计算公式计算②；补全频率分布直方图，利用加权平均数公式计算平均年龄；
（II）求出20名人中，[30，35）和[35，40）内的人数，利用概率公式计算P（ξ），得出分布列和数学期望．
【解答】解：（ I）由题意知频率分布表中的①位置应填数字为：100﹣5﹣20﹣30﹣10=35，
②位置应填数字为：word/media/image182_1.png =0.3．
补全频率分布直方图，如图所示．
word/media/image191_1.png
平均年龄估值为：22.5×0.05+27.5×0.20+32.5×0.35+37.5×0.30+42.5×0.10=33.5．
（ II）设抽出的20名受访者年龄在[30，35）和[35，40）分别由m，n名，由分层抽样可得word/media/image193_1.png，解得m=7，n=6
所以年龄在[30，40）共有13名．
故ξ的可能取值为0，1，2，word/media/image195_1.png，
word/media/image197_1.png，
word/media/image195_1.png，
ξ的分布列为：
word/media/image203_1.png．
【点评】本题考查了频率分布直方图，分层抽样，概率计算，及离散型变量的分布列，属于中档题．
19．（12分）（2017•广西模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，PC与底面ABCD所成角为30°．
（I）证明：平面PBD⊥平面PAC；
（II）求平面APB与平面PCD所成二面角（锐角）的余弦值．
word/media/image59_1.png
【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．
【分析】（I）推导出AC⊥BD，PA⊥BD，从而BD⊥面PAC，由此能证明平面PBD⊥平面PAC．
（II）PC与底面ABCD所成角为∠PCA=30°，推导出∠B=120°，设AC与BD相交于点O，取PC的中点Q，以OB，OC，OQ分别为x，y，z轴方向建立空间直角坐标系，由此能求出面APB与平面PCD所成二面角的余弦值．
【解答】证明：（I）∵底面ABCD是平行四边形，且AB=AD，
∴AC⊥BD…（1分）
又∵PA⊥平面ABCD，PA⊥BD…（2分）
∵AC∩PA=A，∴BD⊥面PAC…（3分）
∴平面PBD⊥平面PAC．…（4分）
解：（II）∵PA⊥平面ABCD，
∴PC与底面ABCD所成角为∠PCA=30°，
∴在Rt△PAC中，word/media/image206_1.png，
∴在△ABC中，word/media/image208_1.png，
∴∠B=120°，故∠DAB=60°，BD=2，…（6分）
设AC与BD相交于点O，取PC的中点Q，连结OQ，则OQ∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，∴OQ⊥平面ABCD，
以OB，OC，OQ分别为x，y，z轴方向建立空间直角坐标系，
则word/media/image210_1.png，B（1，0，0），
word/media/image212_1.png，D（﹣1，0，0），
word/media/image210_1.png…（8分）
设平面APB的法向量word/media/image215_1.png
由word/media/image217_1.png，得
word/media/image219_1.png，
取word/media/image221_1.png，则y=﹣1，z=0，
故平面APB的一个法向量为word/media/image223_1.png，…（9分）
由word/media/image217_1.png，得
word/media/image226_1.png，
取word/media/image221_1.png，则
word/media/image229_1.png，
∴平面PCD的一个法向量word/media/image231_1.png…（10分）
∴word/media/image233_1.png，…（11分）
设平面APB与平面PCD所成二面角为θ，且因为θ为锐角．
∴word/media/image235_1.png，即平面APB与平面PCD所成二面角的余弦值为
word/media/image26_1.png．…（12分）
word/media/image238_1.png
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，注意向量法的合理运用．
20．（12分）（2017•广西模拟）已知椭圆word/media/image36_1.png+
word/media/image38_1.png=1（a＞b＞0）的右焦点为F，M为上顶点，O为坐标原点，若△OMF的面积为
word/media/image7_1.png，且椭圆的离心率为
word/media/image23_1.png．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）由题意得word/media/image244_1.png，由此能求出椭圆方程．
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由M（0，1），F（1，0），得kPQ=1．设直线l的方程为y=x+m，由word/media/image246_1.png得3x2+4mx+2m2﹣2=0．由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出直线l的方程．
【解答】解：（1）∵椭圆word/media/image36_1.png+
word/media/image38_1.png=1（a＞b＞0）的右焦点为F，M为上顶点，O为坐标原点，
△OMF的面积为word/media/image7_1.png，且椭圆的离心率为
word/media/image23_1.png，
由题意得word/media/image244_1.png，
解得b=1，word/media/image221_1.png，
故椭圆方程为word/media/image254_1.png．
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
因为M（0，1），F（1，0），故kPQ=1．
于是设直线l的方程为y=x+m，
由word/media/image246_1.png得3x2+4mx+2m2﹣2=0．
由△＞0，得m2＜3，且word/media/image257_1.png，
word/media/image259_1.png．
由题意应有word/media/image261_1.png，
又word/media/image263_1.png，
故x1（x2﹣1）+y2（y1﹣1）=0，得x1（x2﹣1）+（x2+m）（x1+m﹣1）=0．
即word/media/image265_1.png．
整理得word/media/image267_1.png．
解得word/media/image173_1.png或m=1．经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去m=1．
当word/media/image173_1.png时，所求直线l存在，且直线l的方程为
word/media/image2_1.png．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的合理运用，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
21．（12分）（2017•广西模拟）已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）．
（I）若f（x）在[1，3]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；
（II）记g（x）=f（x）+（2+a）lnx﹣2（b﹣1）x，并设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥1+word/media/image65_1.png，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为a≤2x2，x∈[1，3]上恒成立，求出a的范围即可；
（Ⅱ）求出g（x）的导数，求出g（x1）﹣g（x2）的解析式，根据函数的单调性求出其最小值即可．
【解答】解：（ I）∵f（x）=x2﹣alnx在[1，3]上是单调递增函数，
∴word/media/image272_1.png在[1，3]上恒成立…（1分）
∴a≤2x2，x∈[1，3]上恒成立．…（2分）
∵y=2x2在x∈[1，3]上的最小值为2，∴a≤2…（3分）
（Ⅱ）∵g（x）=x2﹣alnx+（2+a）lnx﹣2（b﹣1）x=x2+2lnx﹣2（b﹣1）x，
∴word/media/image274_1.png…（4分）
令g'（x）=0，得x2﹣（b﹣1）x+1=0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1…
word/media/image276_1.png
=word/media/image278_1.png
=word/media/image280_1.png
=word/media/image282_1.png=
word/media/image284_1.png…（6分）
∵0＜x1＜x2，∴设word/media/image286_1.png，
令word/media/image288_1.png（0＜t＜1），…（7分）
则word/media/image290_1.png，
∴h（t）在（0，1）上单调递减．…（8分）
又∵word/media/image292_1.png，∴
word/media/image294_1.png，
即word/media/image296_1.png
即2t2﹣5t+2≥0，解得∴word/media/image173_1.png或t≥2．
又∵0＜t＜1，∴word/media/image299_1.png．…（10分）
∴word/media/image301_1.png．
∴g（x1）﹣g（x2）的最小值为word/media/image15_1.png…（12分）
