【课时训练】函数模型及其应用
一、选择题
1．(2018德阳一诊)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent，假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等．若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为( )
A．5 B．8
C．9 D．10
【答案】A
【解析】∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，可得n＝ln ，∴f(t)＝a·，因此，当k min后甲桶中的水只有 L时， f(k)＝a·＝a，即＝，∴k＝10，则m＝k－5＝5.
2．(2018安徽淮南模拟)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是( )
【答案】C
【解析】由三视图可知，该容器上部分为圆台下部分是一个与上部分形状相同的倒放的圆台，所以水面高度随时间的变化为先慢后快再慢的情况．故选C.
3．(2018北京西城模拟)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg [H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵[H＋]·[OH－]＝10－14，∴＝[H＋]2×1014，∵7.35<－lg [H＋]<7.45，
∴10－7.45<[H＋]<10－7.35，∴10－0.9<＝1014·[H＋]2<10－0.7，10－0.9＝>，lg(100.7)＝0.7>lg 3>lg 2，∴100.7>3>2，10－0.7<<，∴<<.故选C.
4．(2018四川内江模拟)某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品．已知经销甲、乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：P＝，Q＝ (a>0)．若不管资金如何投入，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a的最小值应为( )
A． B．5
C． D．2
【答案】A
【解析】设投入x万元经销甲商品，则经销乙商品投入(20－x)万元，总利润y＝P＋Q＝＋·.令y≥5，则＋·≥5对0≤x≤20恒成立．∴a≥10－，∴a≥对0≤x<20恒成立．∵f(x)＝的最大值为，且x＝20时，a≥10－也成立，∴amin＝.故选A.
二、填空题
5．(2018山东日照一模)某商店按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件．若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．
【答案】190 元
【解析】设售价提高x元，则依题意y＝(1 000－5x)×(20＋x)＝－5x2＋900x＋20 000＝－5(x－90)2＋60 500.
故当x＝90时，ymax＝60 500，此时售价为每件190元．
6．(2018浙江台州一模)现有含盐7%的食盐水200 g，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g，则x的取值范围是________．
【答案】(100,400)
【解析】设y＝，令5%＜y＜6%，即(200＋x)5%＜200×7%＋x·4%＜(200＋x)6%，解得100＜x＜400.
7．(2019陕西宝鸡质检)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
【答案】9
【解析】由已知可得
y＝
＝由y＝22.6解得x＝9.
8．(2018湖南永州模拟)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)．
【答案】8
【解析】设过滤n次才能达到市场要求，则2%n≤0.1%，即n≤，所以nlg≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.
9．(2018湖北七州第一次联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．
【答案】10
【解析】由题设可得(1－0.1)P0＝P0e－5k，即0.9＝e－5k，故－5k＝ln 0.9；又(1－0.19)P0＝P0e－kt，即0.81＝e－kt，故－kt＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10k，故t＝10，应填10.
10．(2018四川南充模拟)渔场中鱼群的最大养殖量为m，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)，则鱼群年增长量的最大值是________．
【答案】
【解析】由题意，空闲率为1－，
∴y＝kx，定义域为(0，m)，
y＝kx＝－2＋，
∵x∈(0，m)，k＞0，∴当x＝时，ymax＝.
三、解答题
11．(2018江苏盐城中学期末)我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的AMPN矩形健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB＝60°，|AC|＝30米，|AM|＝x米，x∈[10,20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为元(k为正常数)．
(1)试用x表示S，并求S的取值范围；
(2)求总造价T关于面积S的函数T＝f(S)；
(3)如何选取|AM|，使总造价T最低(不要求求出最低造价)?
【解】(1)在Rt△PMC中，显然|MC|＝30－x，∠PCM＝60°，|PM|＝|MC|·tan∠PCM＝(30－x)，
∴矩形AMPN的面积S＝|PM|·|AM|＝
x(30－x)，x∈[10,20]，
∴200≤S≤225.
(2)矩形AMPN健身场地造价T1＝37k，
又∵△ABC的面积为450，∴草坪造价T2＝(450－S)．∴总造价T＝T1＋T2＝25k，
200≤S≤225.
(3)∵＋≥12，
当且仅当＝，即S＝216时等号成立，
此时x(30－x)＝216，解得x＝12或x＝18.
答：选取|AM|为12米或18米时总造价T最低．
12．(2018福建三明第一中学期中)某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似地表示为：
y＝
且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
【解】(1)当x∈[200,300]时，该项目获利为S，则S＝200x－＝－(x－400)2，
∴当x∈[200,300]时，S<0，因此，该项目不会获利．
当x＝300时，S取得最大值－5 000，
∴政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损．
(2)由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：
＝
当x∈[120,144)时，＝x2－80x＋5 040＝(x－120)2＋240，∴当x＝120时，取得最小值240.
当x∈[144,500)时，＝x－200＋≥2－200＝400－200＝200，
当且仅当＝，即x＝400时，取得最小值200.
∵240>200，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
