一次函数知识点总结与常见题型

　一次函数知识点总结与常见题型

基本概念

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

例题：在匀速运动公式中,表示速度,表示时间,表示在时间内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应

例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x－1 (3)y= (4)y=－3x (5)y=x2－1中，是一次函数的有（ ）

（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

例题：下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ）

A．y= B．y= C．y= D．y=·

函数中自变量x的取值范围是___________.

已知函数，当时，y的取值范围是 （ ）

A. B. C. D.

5、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

9、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) k不为零 x指数为1 b取零

当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．

(1) 解析式：y=kx（k是常数，k≠0）

(2) 必过点：（0，0）、（1，k）

(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限

(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小

(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

例题：(1).正比例函数，当m 时，y随x的增大而增大.

(2)若是正比例函数，则b的值是 （ ）

A.0 B. C. D.

.(3)函数y=(k－1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( )

A. B. C. D.

(4)东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是_______________．

(5)平行四边形相邻的两边长为x、y，周长是30，则y与x的函数关系式是__________．

10、一次函数及性质

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) k不为零 x指数为1 b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（－，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0 （2）必过点：（0，b）和（－，0）

（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限

b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限

直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限

（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.

（5）倾斜度：|k| 越大，图象越接近于y轴；|k| 越小，图象越接近于x轴.

（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

（上加下减，左加右减） 当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

例题：若关于x的函数是一次函数，则m= ，n .

.函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）

将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线 ；将直线y＝－x－5向上平移5个单位，得到直线 .

若直线和直线的交点坐标为(),则____________.

已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（ ）

Ａ．3m+1 Ｂ．3m Ｃ．m Ｄ．3m－1

11、一次函数y=kx＋b的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：与y轴的交点（0，b），与x轴的交点（，0）.即横坐标或纵坐标为0的点.

☆k、b的符号对直线位置的影响☆

图像过一、二、三象限　　　图像过一、三、四象限 图像过一、二、四象限　图像过二、三、四象限

（大大不过四） （大小不过二） （小大不过三） （小小不过一）

思考：若m＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过 （ ）

A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限

12、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.

13、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系

（1）两直线平行：k1=k2且b1 b2 （2）两直线相交：k1k2

（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2 （4）两直线垂直：k1·k2= –1

14、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

15、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

16、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.

17、一次函数与二元一次方程组

（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同.

（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点.

18、一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积

一次函数y=kx＋b的图象与两条坐标轴的交点：与y轴的交点（0，b），与x轴的交点（，0）.

直线（b≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为s=

常见题型

1、考察一次函数定义

1、若函数word/media/image58_1.png是y关于x的一次函数，则word/media/image59_1.png的值为 ；解析式为 .

2、要使y=(m－2)xn－1+n是关于x的一次函数,n,m应满足 , .

2、考查图像性质

1、已知一次函数y=（m－2）x+m－3的图像经过第一，第三，第四象限，则m的取值范围是________．

2、若一次函数y=（2－m）x+m的图像经过第一、二、四象限，则m的取值范围是______

3、已知是整数，且一次函数的图象不过第二象限，则为 .

4、直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是图4中的（ ）

5、直线如图5，则下列条件正确的是（ ）

6、如果，，则直线不通过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7、如图6，两直线和在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）

8、如果，，则直线不通过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

9、为 时，直线与直线的交点在轴上.

10、要得到y=－x－4的图像，可把直线y=－x（ ）．

（A）向左平移4个单位（B）向右平移4个单位 （C）向上平移4个单位 （D）向下平移4个单位

11、已知一次函数y=－kx+5，如果点P1（x1，y1），P2（x2，y2）都在函数的图像上，且当x1<x2时，有y1<y2成立，那么系数k的取值范围是________．

12、已知点（－4，y1），（2，y2）都在直线y=－ x+2上，则y1 、y2大小关系是( )

（A）y1 >y2 （B）y1 =y2 （C）y1 <y2 （D）不能比较

三、交点问题

1、若直线y=3x－1与y=x－k的交点在第四象限，则k的取值范围是（ ）．

（A）k< （B）<k<1 （C）k>1 （D）k>1或k<

2、若直线和直线的交点坐标为，则 .

3、一次函数的图象过点和两点，且，则 ，的取值范围是 .

4、直线经过点， ，则必有（ ）

A.

5、如图所示，已知正比例函数word/media/image103_1.png和一次函数word/media/image104_1.png，它们的图像都经过点P（a，1），且一次函数图像与y轴交于Q点。 （1）求a、b的值；（2）求△PQO的面积。

4、面积问题

1、若直线y=3x+6与坐标轴围成的三角形的面积为S，则S等于（ ）．

A．6 B．12 C．3 D．24

2、若一次函数y=2x+b的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9，则b=_______．

3、已知一次函数与的图像都经过，且与轴分别交于点B，，则的面积为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

4、已知一次函数y＝kx＋b的图像经过点（－1，－5），且与正比例函数的图像相交于点（2，a），

求（1）a的值；（2）k、b的值；（3）这两个函数图像与x轴所围成的三角形面积。

五、一次函数解析式的求法

（1） 定义型 例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。

（2）点斜型 例2. 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。

（3）两点型 例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。

（4）图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。

（5）斜截型 例5. 已知直线与直线平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为 。

（6）平移型 例6.①把直线向上平移2个单位得到的图像解析式为 。

②把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为 。

③把直线向左平移2个单位得到的图像解析式为 。

④把直线向右平移2个单位得到的图像解析式为 。

规律：

（7） 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为 。

（8）面积型 例8. 已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为 。

（9）对称型 例9. 若直线l与直线关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。

知识归纳： 若直线与直线关于

（1）x轴对称，则直线l的解析式为 （2）y轴对称，则直线l的解析式为

（3）直线y＝x对称，则直线l的解析式为

（4）直线对称，则直线l的解析式为

（5）原点对称，则直线l的解析式为

（10）开放型 例10.一次函数的图像经过(－1,2)且函数y的值随x的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式 .

（11）比例型 例11..已知y与x+2成正比例，且x＝1时y＝－6．求y与x之间的函数关系式

练习题：

1. 已知直线y=3x－2, 当x=1时，y=

2. 已知直线经过点A（2,3），B（－1，－3），则直线解析式为________________

3. 点（－1，2）在直线y=2x＋4上吗？ （填在或不在）

4. 当m　　　　　时，函数y=(m－2)word/media/image127_1.png +5是一次函数，此时函数解析式为　　　　　　。

5. 已知直线y=3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则函数的解析式为 .

6. 已知变量y和x成正比例，且x=2时，y=－,则y和x的函数关系式为 。

7. 点(2,5)关于原点的对称点的坐标为 ；关于x轴对称的点的坐标为 ；关于y轴对称的点的坐标为 。

8. 直线y=kx＋2与x轴交于点（－1，0），则k= 。

9. 直线y=2x－1与x轴的交点坐标为 与y轴的交点坐标 。

10. 若直线y=kx＋b平行直线y=3x＋4，且过点（1，－2），则k= .

11. 已知A(－1,2), B(1,－1), C(5,1), D(2,4), E(2,2),其中在直线y=－x+6上的点有_________,在直线y=3x－4上的点有_______

12. 某人用充值50元的IC卡从A地向B地打长途电话，按通话时间收费，3分钟内收费2.4元，以后每超过1分钟加收1元，若此人第一次通话t分钟（3≤t≤45），则IC卡上所余的费用y（元）与t（分）之间的关系式是 .

13. 某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如下表

由上表得y与x之间的关系式是

14. 已知:一次函数的图象与正比例函数Y=－X平行,且通过点(0,4), (1)求一次函数的解析式.(2)若点M(－8,m)和N(n,5)在一次函数的图象上,求m,n的值

15. 已知一次函数y=kx+b的图象经过点(－1, －5),且与正比例函数y= x的图象相交于点(2,a),

求(1)a的值 (2)k,b的值 (3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积.

16. 有两条直线，，学生甲解出它们的交点坐标为（3，－2），学生乙因把c抄错了而解出它们的交点坐标为，求这两条直线解析式

17. 已知正比例函数的图象与一次函数的图象交于点P（3，－6）

（1）求的值。（2）如果一次函数与x轴交于点A，求A点坐标

18. 某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的余油量y（L）与工作时间x（h）之间为一次函数关系，如图所示．

（1）求y与x的函数解析式．

（2）一箱油可供拖位机工作几小时？

六、分段函数

1、某自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量收费办法，若某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示。

（1）写出与的函数关系式；

（2）若某户该月用水21吨，则应交水费多少元？

2、果农黄大伯进城卖菠萝，他先按某一价格卖出了一部分菠萝后，把剩下的菠萝全部降价卖完，卖出的菠萝的吨数和他收入的钱数（万元）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：

（1）降价前每千克菠萝的价格是多少元？

（2）若降价后每千克菠萝的价格是1.6元，他这次卖菠萝的总收入是2万元，问他一共卖了多少吨菠萝？

3、某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月不超过100度时，按每度0.57元计费；每月用电超过100度时，其中的100度按原标准收费；超过部分按每度0.50元计费.

（1）设用电度时，应交电费元，当≤100和＞100时，分别写出关于的函数关系式.

（2）小王家第一季度交纳电费情况如下：

问小王家第一季度共用电多少度？

4、某校需要刻录一批电脑光盘，若电脑公司刻录，每张需要8元（含空白光盘费）；若学校自刻，除租用刻录机需120元外每张还需成本费4元（含空白光盘费），问刻录这批电脑光盘，到电脑公司刻录费用少？还是自刻费用少？说明你的理由

七、一次函数应用

1、甲、乙二人在如图所示的斜坡AB上作往返跑训练．已知：甲上山的速度是a米/分，下山的速度是b米/分，（a<b）；乙上山的速度是a米/分，下山的速度是2b米/分．如果甲、乙二人同时从点A出发，时间为t（分），离开点A的路程为S（米），那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A出发后的时间t（分）与离开点A的路程S（米）之间的函数关系的是（ ）

2、如图7，A、B两站相距42千米，甲骑自行车匀速行驶，由A站经P处去B站，上午8时，甲位于距A站18千米处的P处，若再向前行驶15分钟，使可到达距A站22千米处.设甲从P处出发小时，距A站千米，则与之间的关系可用图象表示为（ ）

3、汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米/时，那么汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系用图象表示为( )

A B C D

4、某油库有一大型储油罐，在开始的8分钟内，只开进油管，不开出油管，油罐的油进至24吨（原油罐没储油）后将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐内的油从24吨增至40吨，随后又关闭进油管，只开出油管，直到将油罐内的油放完，假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变.

（1）试分别写出这一段时间内油的储油量Q（吨）与进出油的时间t(分)的函数关系式.

（2）在同一坐标系中，画出这三个函数的图象.

5、甲乙两个仓库要向A、B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地需70吨水泥，B地需110吨水泥，两库到A，B两地的路程和运费如下表（表中运费栏“元/（吨、千米）”表示每吨水泥运送1千米所需人民币）

（1）设甲库运往A地水泥吨，求总运费（元）关于（吨）的函数关系式，画出它的图象（草图）.

（2）当甲、乙两库各运往A、B两地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？

6、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10．已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元．

（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值．

（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值．

7、某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门。乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元。

（1）分别写出该公司两种购买方案的付款（元）与所购买的水果质量（千克）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。

（2）依据购买量判断，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。

8、某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：

注：利润=售价－成本

（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？

（2）该公司如何建房获得利润最大？

（3）根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元（a>0），且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？

八 一次函数与方案设计问题

一次函数是最基本的函数，它与一次方程、一次不等式有密切联系，在实际生活中有广泛的应用。例如，利用一次函数等有关知识可以在某些经济活动中作出具体的方案决策。近几年来一些省市的中考或竞赛试题中出现了这方面的应用题，这些试题新颖灵活，具有较强的时代气息和很强的选拔功能。

1．生产方案的设计

例1 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。

(1)要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出来；

(2)生产A、B两种产品获总利润是y(元)，其中一种的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?

2.调运方案设计

例2 北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台。如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是4百元/台、8百元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3百元/台、5百元/台。求：

(1)若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台?

(2)若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案?

(3)求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元?

例3 某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额(指每日卖出商品所收到的总金额)为60万元。由于营业性质不同，分配到三个部的售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每1万元营业额所需售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润情况如表2。

表1 表2

商场将计划日营业额分配给三个经营部，设分配给百货部、服装部和家电部的营业额分别为x(万元)、y(万元)、z(万元)(x,y,z都是整数)。

(1) 请用含x的代数式分别表示y和z；

(2) 若商场预计每日的总利润为C(万元)，且C满足19≤C≤19.7，问这个商场应怎样分配日营业额给三个经营部?各部应分别安排多少名售货员?

3．优惠方案的设计

例4 某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游。甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待。”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠。”若全票价为240元。

(1)设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)；

(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样；

(3)就学生数x讨论哪家旅行社更优惠。

练习

1．某童装厂现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套，已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利润30元。设生产L型号的童装套数为x，用这批布料生产这两种型号的童装所获利润为y(元)。

(1)写出y(元)关于x(套)的函数解析式；并求出自变量x的取值范围；

(2)该厂在生产这批童装中，当L型号的童装为多少套时，能使该厂所获的利润最大?最大利润为多少?

2．A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往C、D两农村，如果从A城运往C、D两地运费分别是20元/吨与25元/吨，从B城运往C、D两地运费分别是15元/吨与22元/吨，现已知C地需要220吨，D地需要280吨，如果个体户承包了这项运输任务，请帮他算一算，怎样调运花钱最小?

3．下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润。某汽车运输公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售(每辆汽车按规定满载，并且每辆汽车只装一种蔬菜)

(1)若用8辆汽车装运乙、丙两种蔬菜11吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆?

(2)公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到B地销售(每种蔬菜不少于一车)，如何安排装运，可使公司获得最大利润?最大利润是多少?

4．有批货物，若年初出售可获利2000元，然后将本利一起存入银行。银行利息为10%，若年末出售，可获利2620元，但要支付120元仓库保管费，问这批货物是年初还是年末出售为好?

八 一次函数与方案设计问题

答案1解 (1)设安排生产A种产品x件，则生产B种产品是(50-x)件。由题意得

解不等式组得 30≤x≤32。

因为x是整数，所以x只取30、31、32，相应的(50-x)的值是20、19、18。

所以，生产的方案有三种，即第一种生产方案：生产A种产品30件，B种产品20件；第二种生产方案：生产A种产品31件，B种产品19件；第三种生产方案：生产A种产品32件，B种产品18件。

(2)设生产A种产品的件数是x，则生产B种产品的件数是50-x。由题意得

y=700x+1200(50-x)=-500x+6000。(其中x只能取30，31，32。)

因为 -500<0, 所以 此一次函数y随x的增大而减小，

所以 当x=30时，y的值最大。

因此，按第一种生产方案安排生产，获总利润最大，最大利润是：-500·3+6000=4500(元)。

本题是利用不等式组的知识，得到几种生产方案的设计，再利用一次函数性质得出最佳设计方案问题。

2解 设上海厂运往汉口x台，那么上海运往重庆有(4-x)台，北京厂运往汉口(6-x)台，北京厂运往重庆(4+x)台，则总运费W关于x的一次函数关系式：

W=3x+4(6-x)+5(4-x)+8(4+x)=76+2x。

(1) 当W=84(百元)时，则有76+2x=84,解得x=4。

若总运费为8400元，上海厂应运往汉口4台。

(2) 当W≤82(元)，则

解得0≤x≤3，因为x只能取整数，所以x只有四种可的能值：0、1、2、3。

答：若要求总运费不超过8200元，共有4种调运方案。

(3) 因为一次函数W=76+2x随着x的增大而增大，又因为0≤x≤3，所以当x=0时，函数W=76+2x有最小值，最小值是W=76(百元)，即最低总运费是7600元。

此时的调运方案是：上海厂的4台全部运往重庆；北京厂运往汉口6台，运往重庆4台。

本题运用了函数思想得出了总运费W与变量x的一般关系，再根据要求运用方程思想、不等式等知识解决了调运方案的设计问题。并求出了最低运费价。

例3 解 (1)由题意得，解得

(2) C=0.3x+0.5y+0.2z=-0.35x+22.5。

因为 19≤C≤19.7， 所以 9≤-0.35x+22.5≤19.7，解得 8≤x≤10。

因为 x,y,z是正整，且x为偶数，所以 x=8或10。

当x=8时，y=23,z=29，售货员分别为40人，92人，58人；

当x=10时，y=20,z=30，售货员分别为50人，80人，60人。

本题是运用方程组的知识，求出了用x的代数式表示y、z，再运用不等式和一次函数等知识解决经营调配方案设计问题。

3.销方案的设计

解 (1)y甲=120x+240, y乙=240·60%(x+1)=144x+144。

(2)根据题意，得120x+240=144x+144, 解得 x=4。

答：当学生人数为4人时，两家旅行社的收费一样多。

(3)当y甲>y乙，120x+240>144x+144， 解得 x<4。

当y甲乙,120x+240<144x+144, 解得 x>4。

答：当学生人数少于4人时，乙旅行社更优惠；当学生人数多于4人时，甲旅行社更优惠；本题运用了一次函数、方程、不等式等知识，解决了优惠方案的设计问题。

综上所述，利用一次函数的图象、性质及不等式的整数解与方程的有关知识解决了实际生活中许多的方案设计问题，如果学生能切实理解和掌握这方面的知识与应用，对解决方案问题的数学题是很有效的。

练习答案：

1. (1) y=15x+1500；自变量x的取值范围是18、19、20。

(2) 当x=20时，y的最大值是1800元。

2. 设A城化肥运往C地x吨，总运费为y元，则y=2x+10060 (0≤x≤200)，

当x=0时，y的最小值为10060元。

3. (1) 应安排2辆汽车装运乙种蔬菜，6辆汽车装运丙种蔬菜。

(2) 设安排y辆汽车装运甲种蔬菜，z辆汽车装运乙种蔬菜，则用［20-(y+z)］辆汽车装运丙种蔬菜。

得 2y+z+1.5［20-(y+z)］=36，化简，得 z=y-12，所以 y-12=32-2y。

因为 y≥1， z≥1， 20-(y+z)≥1，所以 y≥1， y-12≥1， 32-2y≥1，

所以 13≤y≤15.5。

设获利润S百元，则S=5y+108，

当y=15时，S的最大值是183，z=y-12=3， 20-(y+z)=2。

4. (1) 当成本大于3000元时，年初出售好；

(2) 当成本等于3000元时，年初、年末出售都一样；

(3) 当成本小于3000元时，年末出售好。

一次函数专题训练

一、选择题

1．已知一次函数word/media/image154_1.png,若word/media/image155_1.png随着word/media/image156_1.png的增大而减小,则该函数图象经过（ ）

（A）第一、二、三象限 （B）第一、二、四象限

（C）第二、三、四象限 （D）第一、三、四象限

2．若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k的值为

A．word/media/image157_1.png B．－2 C．word/media/image158_1.png D．2

3．点P1（word/media/image159_1.png1，word/media/image160_1.png1），点P2（word/media/image161_1.png2，word/media/image162_1.png2）是一次函数word/media/image163_1.png＝－4word/media/image164_1.png + 3 图象上的两个点，且word/media/image165_1.png1＜word/media/image166_1.png2，则word/media/image167_1.png1与word/media/image168_1.png2的大小关系是（ ）

（A）word/media/image169_1.png1＞word/media/image170_1.png2 （B）word/media/image171_1.png1＞word/media/image172_1.png2＞0 （C）word/media/image173_1.png1＜word/media/image174_1.png2 （D）word/media/image175_1.png1＝word/media/image176_1.png2

4．下列图形中，表示一次函数word/media/image177_1.png=word/media/image178_1.png+word/media/image179_1.png与正比例函数y =word/media/image180_1.png（word/media/image181_1.png、word/media/image182_1.png为常数，且word/media/image183_1.png≠0）的图象的是（ ）

5．某棵果树前x年的总产量y与x之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前x年的年平均产量最高，则x的值为( )

A．3 B．5 C．7 D．9

6．根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为（ ）

A．1 B．－1 C．3 D．－ 3

7．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，３），那么一定有（ ）A．m>0，n>0 B．m>0，n<0 C．m<0，n>0 D．m<0，n<0

8．已知一次函数y=x﹣2，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）

A． B．

C． D．

9．体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的有y人，若（x，y）恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式是（ ）

A．y=x+9与word/media/image190_1.png B．y=﹣x+9与word/media/image190_1.png

C．y=﹣x+9与word/media/image191_1.png D．y=x+9与word/media/image191_1.png

10．P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数word/media/image192_1.png图象上的两点，下列判断中，正确的是（ ）

A．y1＞y2 B．y1＜y2

C．当x1＜x2时，y1＜y2 D．当x1＜x2时，y1＞y2

11．对于函数y=﹣3x+1，下列结论正确的是（ ）

A．它的图象必经过点（﹣1，3） B．它的图象经过第一、二、三象限

C．当x＞1时，y＜0 D．y的值随x值的增大而增大

12．假期到了，17名女教师去外地培训，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案（ ）

A．5种 B．4种 C．3种 D．2种

13．函数y=3x﹣4与函数y=2x+3的交点的坐标是（　　）

A． （5，6） B． （7，﹣7） C． （﹣7，﹣17） D． （7，17）

14．如图表示某加工厂今年前5个月每月生产某种产品的产量c（件）与时间t（月）之间的关系，则对这种产品来说，该厂（ ）

A.1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月产量逐月减小

B.1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月产量与3月持平

C.1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月产量均停止生产

D.1月至3月每月产量不变， 4、5两月均停止生产

15．若反比例函数word/media/image194_1.png的图象过点（﹣2，1），则一次函数y=kx﹣k的图象过（ ）

A．第一、二、四象限 B．第一、三、四象限

C．第二、三、四象限 D．第一、二、三象限

16．方程word/media/image195_1.png的根可视为函数word/media/image196_1.png的图象与函数word/media/image197_1.png的图象交点的横坐标，则方程word/media/image198_1.png的实根x0所在的范围是（ ）

A．word/media/image199_1.png B．word/media/image200_1.png C．word/media/image201_1.png D．word/media/image202_1.png

17．今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，带了50元钱取购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本7元，乙种笔记本每本5元，每种笔记本至少买3本，则张老师购买笔记本的方案共有（ ）

A．3种 B．4种 C．5种 D．6种

18．已知正比例函数word/media/image203_1.png的图象经过点（1，－2），则正比例函数的解析式为（ ）

A．word/media/image204_1.png　　 B．word/media/image205_1.png　　 C．word/media/image206_1.png　　 D．word/media/image207_1.png

19．小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s（米）与小文出发时间t（分）之间的函数关系如图所示．下列说法：①小亮先到达青少年宫；②小亮的速度是小文速度的2.5倍；③a=24；④b=480．其中正确的是（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

20．对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义一种运算：word/media/image209_1.png．例如，A（－5，4），B（2，﹣3），word/media/image210_1.png．若互不重合的四点C，D，E，F，满足word/media/image211_1.png，则C，D，E，F四点（ ）

A．在同一条直线上 B．在同一条抛物线上

C．在同一反比例函数图象上 D．是同一个正方形的四个顶点

二、填空题

21．函数word/media/image212_1.png=word/media/image213_1.png的图象经过点P(3，－1)，则word/media/image214_1.png的值为 .

22．请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式　 　．

23．写出一个过点（0，3），且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数关系式：

.(填上一个答案即可)

24．已知点P(word/media/image215_1.png，一3)在一次函数word/media/image216_1.png=2word/media/image217_1.png+9的图象上，则word/media/image218_1.png= .

25．如果直线word/media/image219_1.png不经过第二象限，那么实数word/media/image220_1.png的取值范围是_________.

26．已知，函数y=3x的图象经过点A（﹣1，y1），点B（﹣2，y2），则y1　 　y2（填“＞”“＜”或“=”）

27．已知点（3，5）在直线y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）上，则word/media/image221_1.png的值为 .

28．已知一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，﹣2）和点B（1，0），则k=　 　，b=　 　．

29．如图，一个正比例函数图像与一次函数word/media/image222_1.png的图像相交于点P，则这个正比例函数的表达式是 .

30．把直线y=2x﹣1向上平移2个单位，所得直线的解析式是　 　．

31．直线word/media/image224_1.png沿word/media/image225_1.png轴平移3个单位，则平移后直线与word/media/image226_1.png轴的交点坐标为 .

32．某书定价25元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打八折，试写出付款金额y（单位：元）与购书数量x（单位：本）之间的函数关系　 　．

33．如图，在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A（0，1）作y轴的垂线l于点B，过点B1作作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B．BA为邻边作word/media/image227_1.pngABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1．B1A1为邻边作word/media/image227_1.pngA1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则Cn的坐标是　 　．

34．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：

①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；

②兔子和乌龟同时从起点出发；

③乌龟在途中休息了10分钟；

④兔子在途中750米处追上乌龟．

其中正确的说法是　 　．（把你认为正确说法的序号都填上）

35．已知直线word/media/image230_1.png（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为Sn，则S1+S2+S3+┅+S2012= ．

三、计算题

36．小张骑车往返于甲、乙两地，距甲地的路程word/media/image231_1.png（千米）与时间word/media/image232_1.png（小时）的函数图象如图所示．

（1）小张在路上停留　　　小时，他从乙地返回时骑车的速度为　　　千米／时．

（2）小王与小张同时出发，按相同路线前往乙地，距甲地的路程word/media/image234_1.png（千米）与时间word/media/image235_1.png（小时）的函数关系式为word/media/image236_1.png．小王与小张在途中共相遇几次？请你计算第一次相遇的时间．

37.已知一次函数word/media/image237_1.png的图象与反比例函数word/media/image238_1.png图象交于点 P（4，n）。

（1）求P点坐标

（2）求一次函数的解析式

（3）若点A（word/media/image239_1.png，word/media/image240_1.png），B（word/media/image241_1.png，word/media/image242_1.png）在上述一次函数的图象上，且word/media/image243_1.png，试比较word/media/image240_1.png、word/media/image242_1.png 的大小，并说明理由。

38．如图，直线word/media/image244_1.png的解析式为word/media/image245_1.png，且word/media/image246_1.png与word/media/image247_1.png轴交于点word/media/image248_1.png，直线word/media/image249_1.png经过点word/media/image250_1.png、word/media/image251_1.png，直线word/media/image252_1.png、word/media/image253_1.png交于点word/media/image254_1.png．

（1）求点word/media/image255_1.png的坐标；

（2）求直线word/media/image257_1.png的解析表达式；

（3）求word/media/image258_1.png的面积；

（4）在直线word/media/image259_1.png上存在异于点word/media/image260_1.png的另一点word/media/image261_1.png，使得word/media/image262_1.png与word/media/image263_1.png的面积相等，请直接写出点word/media/image264_1.png的坐标．

39．已知：word/media/image265_1.png，试判断直线word/media/image266_1.png一定经过哪些象限，并说明理由。

40．已知直线word/media/image267_1.png与双曲线word/media/image268_1.png交于点P(word/media/image269_1.png)．

（1）求m的值；

（2）若点word/media/image270_1.png、word/media/image271_1.png在双曲线word/media/image268_1.png上．且word/media/image272_1.png，试比较word/media/image273_1.png的大小．

四、解答题

41．国家推行“节能减排，低碳经济”的政策后，某企业推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装费为b元.据市场调查知：每辆车改装前、后的燃料费（含改装费）word/media/image275_1.png、word/media/image276_1.png（单位：元）与正常运营时间word/media/image277_1.png（单位：天）之间分别满足关系式：word/media/image278_1.png、word/media/image279_1.png，如图所示.

试根据图像解决下列问题：

（1）每辆车改装前每天的燃料费word/media/image280_1.png= 元,每辆车的改装费b= 元.正常运营 天后，就可以从节省燃料费中收回改装成本.

（2）某出租汽车公司一次性改装了100辆车，因而，正常运营多少天后共节省燃料费40万元？

42．(12分)汽车油箱中的余油量Q(升)是它行驶的时间word/media/image281_1.png(小时)的一次函数．某天该汽车外出时，油箱中余油量与行驶时间的变化关系如图：

（1）根据图象，求油箱中的余油Q与行驶时间word/media/image282_1.png的函数关系．(7分)

（2）从开始算起，如果汽车每小时行驶40千米，当油箱中余油 20升时，该汽车行驶了多少千米？(5分)

43．如图，在平面直角坐标中，直角梯形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，AB∥OC，∠AOC=900，∠BCO=450，BC=word/media/image285_1.png，点C的坐标为（－18，0）.

（1）求点B的坐标；

（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式.

44．某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长为6千米的公路．如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在30≤x≤120，具有一次函数的关系，如下表所示．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修2千米，因此在没有增减建设力量的情况下，修完这条路比计划晚了15天，求原计划每天的修建费．

45．某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：

该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后可获毛利润共2.1万元．

（毛利润=（售价﹣进价）×销售量）

（1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？

（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．

46．我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费．该市某户居民5月份用水word/media/image286_1.png吨，应交水费word/media/image287_1.png元．

(1)若0＜word/media/image288_1.png≤6，请写出word/media/image289_1.png与word/media/image290_1.png的函数关系式．(3分)

(2)若word/media/image291_1.png＞6，请写出word/media/image292_1.png与word/media/image293_1.png的函数关系式．(3分)

(3)在同一坐标系下，画出以上两个函数的图象．(4分)

(4)如果该户居民这个月交水费27元，那么这个月该户用了多少吨水？(4分)

47．已知反比例函数word/media/image295_1.png的图象与一次函数word/media/image296_1.png的图象交于点A（1，4）和点B

（word/media/image297_1.png，word/media/image298_1.png）．

（1）求这两个函数的表达式；

（2）观察图象，当word/media/image299_1.png>0时，直接写出word/media/image300_1.png>word/media/image301_1.png时自变量word/media/image299_1.png的取值范围；

（3）如果点C与点A关于word/media/image299_1.png轴对称，求△ABC的面积．

48．（2013年四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=word/media/image302_1.png．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．

（1）点A的坐标为　 　，直线l的解析式为　 　；

（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；

（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；

（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．

一次函数竞赛专题

专题一 一次函数探究题

1.用m根火柴可以拼成如图1所示的x个正方形，还可以拼成如图2所示的2y个正方形，那么用含x的代数式表示y，得______________.

2. 将长为38cm、宽为5cm的长方形白纸按如图所示的方法黏合在一起，黏合部分的白纸宽为2cm．

（1）求5张白纸黏合的长度；

（2）设x张白纸黏合后的总长为ycm，写出y与x的函数关系式（标明自变量x的取值范围）；

（3）用这些白纸黏合的总长能否为362cm？并说明理由．

3. 如图所示，结合表格中的数据回答问题：

（1）设图形的周长为l，梯形的个数为n，试写出l与n的函数关系式；
（2）求n=11时图形的周长．

专题二 根据k、b确定一次函数图象

4. 如图，在同一直角坐标系内，直线l1：y=（k－2）x+k，和l2：y=kx的位置可能是（　　）

A B C D

5. 下列函数图象不可能是一次函数y=ax－（a－2）图象的是（　　）

A B C D

6. 已知a、b、c为非零实数，且满足，则一次函数y=kx+（1+k）的图象一定经过第二___________象限．

专题三 一次函数图象的综合应用

7..春节期间，某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开展海产品的运输业务，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示．已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/小时，100千米/小时，以下说法正确的是（　　）

A．当运输货物重量为60吨，选择汽车 B．当运输货物重量大于50吨，选择汽车

C．当运输货物重量小于50吨，选择火车 D．当运输货物重量大于50吨，选择火车

8.某种子商店销售”黄金一号”玉米种子,为惠民促销,推出两种销售方案供采购者选择.

方案一:每千克种子价格为4元，无论购买多少均不打折；方案二:购买3千克以内(含3千克)的价格为每千克5元,若一次性购买超过3千克的,则超过3千克的部分的种子价格打7折.

(1)请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量(千克)和付款金额(元)之间的函数关系式;

(2)若你去购买一定量的种子,你会怎样选择方案？说明理由.

9.（2013新疆）库尔勒某乡A 、B两村盛产香梨,A村有香梨200吨, B村有香梨300吨,现将这批香梨运到C 、D两个冷藏仓库,已知C仓库可储存240吨, D仓库可储存260吨;从A村运往C 、D两处的费用分别为每吨40元和45元,从B村运往C 、D两处的费用分别为每吨25元和32元.

设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A 、B两村运往两仓库的香梨运输费用分别为yA和yB元.

(1)请填写下表,并求出yA、yB与x之间的函数关系式;

(2)当x为何值时,A村的运费较少?

(3)请问怎样调运,才能使两村运费之和最小?求出最小值.

专题四 利用数形求一次函数的表达式

10. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=，斜边AB在x轴上，点C在y轴的正半轴上，点A的坐标为（2，0）．求直角边BC所在直线的表达式

11. 如图，已知一条直线经过A（0，4）、点B（2，0），将这直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、点D，使DB=DC．求直线CD的函数表达式．

12．平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P在直线y=－x+m上，且AP=OP=4．求m的值．

专题五 二元一次方程组与一次函数关系的应用

13. 甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0. 5小时后乙开始出发，结果比甲早1小时到达B地．如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离s(千米)与时间t（小时）的关系，a表示A、B两地间的距离．请结合图象中的信息解决如下问题：

(1)分别计算甲、乙两车的速度及a的值；

(2)乙车到达B地后以原速立即返回，请问甲车到达B地后以多大的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地？并在图中画出甲、乙在返回过程中离A地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．

14 小华观察钟面（图1），了解到钟面上的分针每小时旋转360度，时针每小时旋转30度.他为了进一步研究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午2:00开始对钟面进行了一个小时的观察.为了研究方便，他将分针与原始位置OP（图2）的夹角记为y1度，时针与原始位置OP的夹角记为y2度（夹角是指不大于平角的角），旋转时间记为t分钟，观察结束后，他利用所得的数据绘制成图象（图3），并求出了y1与t的函数关系式：.

请你完成：

（1）求出图3中y2与t的函数关系式；

（2）直接写出A、B两点的坐标，并解释这两点的实际意义；

（3）若小华继续观察一小时，请你在图3 中补全图象.

专题六、一次函数与不等式

一、填空与选择

1．已知一次函数word/media/image325_1.png,函数word/media/image326_1.png随着word/media/image327_1.png的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则word/media/image328_1.png的取值范围是 （ ）

A.word/media/image329_1.png B.word/media/image330_1.png C.word/media/image331_1.png D.word/media/image332_1.png

2．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是 ( )

A．12分钟 B．15分钟 C．25分钟 D．27分钟

3．如图，点A、B、C、D在一次函数word/media/image334_1.png的图象上，它们的横坐标依次为－1、1、2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积这和是 （ ） A．word/media/image335_1.png B．word/media/image336_1.png C．word/media/image337_1.png D．word/media/image338_1.png

4．函数y1=x+1与y2=ax+b的图象如图所示，这两个函数图象如图所示，那么使y1,y2的值都大于零的x的取值范围是

5．若直线y=mx+4，x=l，x=4和x轴围成的直角梯形的面积是7，则m的值是（ ）

A．－ B．－ C．－ D．－2

6．如图，在直角坐标系中，已知点word/media/image343_1.png，word/media/image344_1.png，对△word/media/image345_1.png连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为　　 ．

word/media/image346_1.png

word/media/image349_1.png

7．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2 007次，点P依次落在点P1, P2, P3, P4, …，P2 007的位置，则P2 007 的横坐标x2 007＝_ ．

8．已知直线y1=ax+b和y2=mx+n的图象如图所示，

根据图象填空．

1 当x_ _时，y1＞y2；当x___ _时，y1=y2；

当x___ ___时，y1＜y2.

⑵ 方程组word/media/image352_1.png 是 .

9．如图，直线word/media/image353_1.png经过word/media/image354_1.png，word/media/image355_1.png两点，

则不等式word/media/image356_1.png的解集为 .

二、解答题

10.如图，直线y=－word/media/image358_1.pngx+1分别与X轴，Y轴交于B，A.

（1）求B，A的坐标；

（2）把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在点C，

以BC为一边做等边三角形△BCD,求D点的坐标.

word/media/image359_1.png11.如图直线y= word/media/image360_1.pngx+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点P处，求直线AM的解析式.

专题七．直线型几何综合题

1．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B→C→D作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程word/media/image362_1.png之间的函数图象大致是（ ）

2．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm(word/media/image365_1.png)，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．

（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；

（2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；

（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．

4．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10cm，CD=4cm，等腰直角三角形PMN的斜边MN=10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止。

（1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由________形变化为___________形；

（2）设当等腰直角△PMN移动x（s）时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y（cm2）。

① 当x=6时，求y的值；

word/media/image367_1.png② 当6＜x≤10时，求y与x的函数关系。

word/media/image368_1.png

一次函数专题训练参考答案

1．B

【解析】

试题分析：∵一次函数word/media/image154_1.png,若word/media/image155_1.png随着word/media/image156_1.png的增大而减小，∴k<0，∴－k>0，∴此函数的图象经过一、二、四象限．

考点：一次函数图象与系数的关系

2．D。

【解析】∵正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），

∴把点（1，2）代入已知函数解析式，得k=2。故选D。

3．A

【解析】

试题分析：根据题意，k=－4＜0，y随x的增大而减小，因为x1＜x2，所以y1＞y2．