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衡水二中2018届入学考(理科)

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2018届第一次评价性考试
理科数学
2017.09.13
时间：120分钟 总分：150分
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．若集合Mxylg2x,Nxx1，则MCRN（ ）C xA．(0,2 B．0,2 C．1,2 D．0,
i20152．已知i是虚数单位，则（ ）3．C 1i A．1i1i1i1i B． C． D． 2222 3．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方向拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）

A. 133433 B. C. D. 22444．设0ab1，则下列不等式成立的是（ ）
11A．a3b3 B． C．ab1 D．lg(ba0
ab5已知下列三个命题：
p1:若直线l和平面内的无数条直线垂直，则l； p2：若fx2x2x，则xR,fxfx；
p3：在ABC中，若AB，则sinAsinB. 文案大全

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其中真命题的个数是 （ ）C A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （6．在x1n3）的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ） 2xA．7 B．7 C．28 D．28
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面中，面积最小值为（ ） A．D．
8．如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的ai为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（ ）
5 2B．322 C． 221
2
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A．m38，n12 B．m26，n12 C．m12，n12 D．m24，n10 9．设定义在区间（-b,b上的函数f(xlg则ab的取值范围是（ A ）
A．1,2 B．0,2 C．1,2 D．0,2
1ax（a，bR，且a－2），是奇函数，12xa2x2y22210．过双曲线221(a0,b0的左焦点F(c,0(c0，作圆xy的切4ab线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若OP2OEOF，则双曲线的离心率为（ C ） A．10 B．105 C．102 D．2


12x1,x011．已知函数f(x2，若函数F(xf(xkx有且只有两个零点，则kln(1x,x0的取值范围为（ ）
A．(0,1 B．(0, C．(,1 D．(1, 12已知数列an满足a12,4a3a6， 的和S10（ ）
A. 220 B. 110 C. 99 D. 55
nan1an的前10项是等差数列，则数列n1212第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．
第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
bb，则m__________． 13．4．已知向量a3,m， b1,2，若a·2
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yx,14．若变量x,y满足约束条件xy4,，且z2则k__________． xy的最小值为6，ykx2y21的一个焦点在圆x2y24x50上，则双曲线的渐近线方15．已知双曲线9m程为__________． 16．已知数列{an}满足a1nan141(nN*，，an1若不等式2tan0(n1(nan12nn恒成立，则实数t的取值范围是__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知cosC(cosA3sinAcosB0. （I）求角B的大小；
（II）若ac1，求b的取值范围．

18．（本小题满分12分）
如图所示，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD//BC，侧面ABB1A1为菱形，DABDAA1． （I）求证：A1BAD；
（II）若ADAB2BC,A1AB60，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．

19．（本小题满分12分）
噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解强度D（单位：分贝）与声音能量I（单位：W/cm2）之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量0Ii(i1,2,,10数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

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110表中WilgIi，WWi. 10i1（I）根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程DablgI；
（II）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声音源的影响，这两个生源的声音能量分别是I1和I2，且141010，已知点P的声音能I1I2量等于声音能量I1和I2之和，请根据（I）中的回归方程，判断P点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由. 附：对于一组数据(u1,v1，(u2,v2，(un,vn，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ui1nniuviviui1u2,vu
20．（本小题满分12分）
2x2y22已知椭圆C:221ab0，圆Qx2y22的圆心Q在椭圆C上，ab点P0,2到椭圆C的右焦点的距离为6．

（I）求椭圆C的方程；
（II）过点P作互相垂直的两条直线l1,l2，且l1交椭圆C于A,B两点， 直线l2交圆Q于C,D两点，且M为CD的中点，求MAB的面积的取值范围．


21．（本小题满分12分）
x22xa,x0已知函数f(x，其中a是实数．设A(x1,f(x1，B(x2,f(x2为该lnx,x0函数图象上的两点，且x1x2．
（I）若函数f(x的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x20，求x2x1的最小值； （II）若函数f(x的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
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2018届第一次评价性考试答案
理科数学
2017.09.13
第I卷
一、选择题
1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．C 10．C 11．C 12．B 第II卷
二、填空题
13．1 14．2 15．4x3y0 16．9, 三、解答题
17．（本小题满分12分）
（I）由已知得cos(ABcosAcosB3sinAcosB0， ……………………2分 即有sinAsinB3sinAcosB0， ……………………3分
因in，所以sBsiAntaBn， 3……………………5分
为B3c，o又sc0oBs，所以又0B，所以B3222（II）由余弦定理，有bac2accosB， ……………………8分
12112因为ac1，cosB，有b3(a， ……………………10分
242112 又0a1，于是有b1，即有b1． ………12分
4218．（本小题满分12分）
（I）连接AB1与BA1相交于点O，连接OD、DA1、DB，
． ……………………6分
侧面ABB1A1为菱形，A1BAB1，ABAA1，
在DAA1与DAB中，DABDAA1，
DAA1DAB， ……………………2分 DA1DB，又O为A1B中点， DOA1B，
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DOAOO，AO、DO平面AOD， …………4分 A1B平面AOD，
A1BAD． ……………………5分
（II）设线段A1B的中点为O，连接DO、AB1，由题意知DO平面 ABB1A1，因为侧面ABB1A1为菱形，所以AB1A1B，故可分别以射线OB、射线OB1、射线OD为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz． 设ADAB2BC2a，
由A1AB60可知OBa,OAOB13a， 所以OD0ADOAa，
22从而得A0,3a,0,Ba,0,0,B10,3a,0,D0,0,a， …7分 所以CC1BB1a,3a,0，AD(0,3a,a．
31311由BCAD可得C0,所以DCa, ……………………2a,2a，2a,2a．28分
设平面DCC1D1的一个法向量为mx0,y0,z0，由mCC10,mDC0， 得ax03ay0031ay0az00ax022取y01，则x03,z033，所以m又3,1,33． …………10分
平面ABB1A1的法向量为OD0,0，a,所以c
oODsmODm3a3,31a31ODm39分 3． ……1219．（本小题满分12分）


（I）令WilgIi，先建立D关于I的线性回归方程，
^由于b(WW(DDiii110(WWii11025.110，
0.51∴aDbW45.710(11.5160.7，
∴D关于I的线性回归方程是：D10W160.710lgI160.7.………………………6分
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^^^
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141010， I1I2I4I41011010∴II1I210((I1I210(521910，
I1I2I1I2（II）∵根据（I）中的回归方程，点P的声音强度D的预报值：
D10lg(91010160.710lg960.760，
∴点P会受到噪声污染的干扰. ……………………………………………………12分
^20．（本小题满分12分）

（I）因为椭圆C 的右焦点Fc,0,|PF|6,c2．
2,3在椭圆C上，4a22b21． 由a2b24得a28,b24,所以椭圆C的方程为x28y241． （II）由题意可得l11的斜率不为零，当l1垂直x轴时，MAB的面积为2424，当l1不垂直x轴时，设直线l1的方程为：ykx2，
则直线l12的方程为：ykx2,Ax1,y1,Bx2,y2． x2y2由841消去y得12k2x242kx40，所ykx2x42k1x212k2,x41x212k2， 则|AB|1k2|x1k24k211x2|42k21，
又圆心Q2,2到l22的距离d11k22得k21， 又MPAB,QMCD，所以M点到AB的距离Q点到AB的距离． k22设为d2k2，即d22
1k21k2，所以MAB面积S14k4k21k24k212ABd22k2142k212， 令t2k213,，
则12t23t2t110,3，S42t24121t321845,43，
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以
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综上，MAB的面积的取值范围为453,4． 21．（本小题满分12分）
（I）由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1，点B处的切线斜率为f′(x2， 故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x1f′(x2＝－1． ………………1分
当x＜0时，对函数f(x求导，得f′(x＝2x＋2． 因为x1＜x2＜0，
所以，(2x1＋2(2x2＋2＝－1． ……………………2分 所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0．
1[－(2x1＋2＋2x2＋2]≥[2x12]2x22＝1，
231当且仅当－(2x1＋2 ＝2x2＋2＝1，即x1且x2时等号成立． …………4分
22因此x2－x1＝所以，函数f(x的图象在点A，B处的切线互相垂直时，x2－x1的最小值为1． …5分 （II）当x1＜x2＜0或x2＞x1＞0时，f′(x1≠f′(x2，故x1＜0＜x2．
当x1＜0时，函数f(x的图象在点(x1，f(x1处的切线方程为y－(x1＋2x1＋a＝(2x1＋2(x－x1，
即y＝(2x1＋2x－x1＋a． ……………6分
当x2＞0时，函数f(x的图象在点(x2，f(x2处的切线方程为y－ln x2＝即y＝221(x－x2， 2x1·x＋ln x2－1． ……………………7分 x2两切线重合的充要条件是
122x12,① ……………………8分 x2lnx21x1a.②由①及x1＜0＜x2知，－1＜x1＜0． 由①②得，a＝x1＋ln212－1＝x1－ln(2x1＋2－1． ……………………9分
2x12文案大全

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设h(x1＝x1－ln(2x1＋2－1(－1＜x1＜0，则h′(x1＝2x1－21＜0． …………10x11分
所以，h(x1(－1＜x1＜0是减函数．则h(x1＞h(0＝－ln 2－1， ……………11分 所以a＞－ln 2－1．
又当x1∈(－1，0且趋近于－1时，h(x1无限增大， 所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞．
故当函数f(x的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞． ……………12分

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