1.对于数列{un}，若存在常数M>0，对任意的n∈N*，恒有
|un+1－un|+|un－un－1|+…+|u2－u1|≤M，
则称数列{un}为B—数列.
(1)首项为1，公比为q(|q|<1)的等比数列是否为B—数列?请说明理由；
(2)设Sn是数列{xn}的前n项和，给出下列两组判断：
A组：①数列{xn}是B—数列，②数列{xn}不是B—数列；
B组：③数列{Sn}是B—数列，④数列{Sn}不是B—数列.
请以其中一组中的论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题，判断所给出的命题的真假，并证明你的结论；
(3)若数列{an}、{bn}都是B—数列，证明：数列{anbn}也是B—数列.
【解析】(1)由题意，un=qn－1，|ui+1－ui|=|q|i－1(1－q)，
于是：
|un+1－un|+|un－un－1|+…+|u2－u1|
=(1－q)·
≤1－|q|n
≤1，
由定义知，数列为B—数列.
(2)命题1：数列{xn}是B—数列，数列{Sn}是B—数列.此命题是假命题.
取xn=1(n∈N*)，则数列{xn}是B—数列；而Sn=n，
|Sn+1－Sn|+|Sn－Sn－1|+…+|S2－S1|=n，
由于n的任意性，显然{Sn}不是B—数列.
命题2：若数列{Sn}是B—数列，则数列{xn}是B—数列.此命题是真命题.
证明：|Sn+1－Sn|+|Sn－Sn－1|+…+|S2－S1|=|xn+1|+|xn|+…+|x2|≤M，
又因为
|xn+1－xn|+|xn－xn－1|+…+|x2－x1|
≤|xn+1|+2|xn|+2|xn－1|+…+2|x2|+|x1|
≤2M+|x1|，
所以：数列{xn}为B—数列.
(3)若数列{an}、{bn}均为B—数列，则存在正数M1，M2，对于任意的n∈N*，有
|an+1－an|+…+|a2－a1|≤M1，
|bn+1－bn|+…+|b2－b1|≤M2，
注意到：
|an|=|an－an－1+an－1－an－2+…+a2－a1+a1|
≤|an+1－an|+…+|a2－a1|+a1≤M1+a1；
同理：|bn|≤M2+b1；
令k1=M1+a1，k2=M2+b1，
则|an+1bn+1－anbn|=|an+1bn+1－anbn+1+anbn+1－anbn|
≤|bn+1||an+1－an|+|an||bn+1－bn|
≤k2|an+1－an|+k1|bn+1－bn|；
从而：
|an+1bn+1－anbn|+|anbn－an－1bn－1|+…+|a2b2－a1b1|
≤k2(|an+1－an|+|an－an－1|+…+|a2－a1|)+k1(|bn+1－bn|+|bn－bn－1|+…+|b2－b1|)
≤k2M1+k1M2.
所以：数列{anbn}是B—数列.
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1、F2分别是椭圆E：的左、右焦点，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，D(1，0)为线段OF2的中点，且
+5
=0.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若M为椭圆上的动点(异于点A、B)，连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ.设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2=0恒成立?若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.
【解析】(1)易知c=2，因为+5
，即a+c=5(a－c)，解得：a=3，所以：b2=a2－c2=5.
所以：椭圆E的方程为.
(2)设直线MN的方程为x=ty－2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
所以：直线MP的方程为y= (x－1)，联立椭圆方程和直线方程可得：
消去y得：(5－x1)x2－(9－
)x+9x1－5
=0，
由根与系数的关系可得：xP=，
于是P，同理可得：Q
，
所以：k2=－=－
，即：k1+
所以：存在λ=满足题意.
3.已知函数f (x)=lnx－ax+，其中a为常数.
(1)若f(x)的图象在x=1处的切线经过点(3，4)，求a的值；
(2)若0<a<1，求证：f >0；
(3)当函数f (x)存在三个不同的零点时，求a的取值范围.
【解析】(1)f ′(x)=，所以f′(1)=1－2a，
因为切点坐标为(1，0)，所以k=2，所以：1－2a=2，解得：a=－.
(2)证明：原题即证2lna－ln2－>0对任意的a∈(0，1)成立.
令g(a)= 2lna－ln2－，所以：g′(a)=
=
，
令h(a)=4a－3a4－4，则h′(a)=4－12a3，则h(a)在单调递增，在
上单调递减，而h(a)max=h
=
－4<0，
所以：g′(a)<0，所以：g(a)在(0，1)上单调递减，
所以：g(a)>g(1)=－ln2+>0.
(3)显然x=1是函数的一个零点，则只需a=有两个不等的实数解即可.
令g(x)=，x>0且x≠1.
则g′(x)=，令φ(x)=lnx－
，
则φ′(x)= =
>0，
于是φ(x)在(0，+∞)上单调递增，同时注意到φ(1)=0.
所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)单调递减.
因为=
=
=
，
又因为=
=
=0，
=
=0，
所以：0<a<.
4.设非负实数x、y、z满足xy+yz+zx=1，求证：.
【解析】证明：由于对称性，不妨设x≥y≥z，设y+z=a，则ax=1－yz≤1，所以：x≤，
令=f (x)，
所以：f ′(x)=－=
<0，即f (x)为单调递减函数，
所以：f (x)≥f =
，
因为－
=
≥0，
当且仅当a=1时等号成立，此时x=1，则y+z+yz=1，且yz=0，
所以等号成立的条件为x=1，y=1，z=0(或者其轮换).
变式题：设非负实数x、y、z满足xy+yz+zx=1，求证：.
5.设函数f (x)是定义在区间(1，+∞)上的函数，其导函数为f ′(x)，如果存在实数a和函数h(x)，其中，h(x)对任意的x∈(1，+∞)都有h(x)>0，使得f ′(x)=h(x)(x2－ax++1)，则称函数f (x)具有性质P(a).
(1)设函数f (x)=lnx+ (x>1)，其中b为常数；
①求证函数f (x)具有性质P(a)；
②求函数f (x)的单调区间；
(2)已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1，x2∈(1，+∞)，x1<x2，α=mx1+(1－m)x2，β=mx2+(1－m)x1，且α>1，β>1，若|g(α)－g(β)|<|g(x1)－g(x2)|，求m的取值范围.
【解析】(1)①因为f ′(x)=，显然对x2－bx+1=t(x)，存在b使得对x∈(1，+∞)，t(x)>0恒成立，h(x)=
>0恒成立.
②由①知，f ′(x)=，当b≤2时，f ′(x)≥0恒成立，此时f (x)在(0，+∞)单调递增，
当b>2时，f ′(x)在(1，+∞)上有一个零点x0=，
函数f (x)在上单调递减，在
单调递增.
