全国100所名校2020年最新高考模拟示范卷（二）数学理科试题+答案+详解MNJ.Y

全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷（二）

（120分钟 150分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合2a28a90c1594e87a53e2964161a76eb0.png，则3a87f6a17a6f4812b12cc126b61240f3.png（ ）

A.d3a69313e287cc44fef32993e500a73d.png B.d7823a86231dfeecbb3a3fe6febd5fc8.png C.a7083ad51f0e186666b68c675501d3ba.png D.b74881f0a7b087e24f5f9715374f3854.png

2.865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png是虚数单位，c0729c92f40a913ad885b6181941e61f.png，则7f336a78be55986f0bc2c4eddef76750.png（ ）

A.91a24814efa2661939c57367281c819c.png B.2 C.aa4e3cfb024c7ff30a8846913966dfb1.png D.65ebe73c520528b6825b8ff4002086d7.png

3.已知向量fedca28ad1da4635a3971aefa2c7836a.png，7ee76d16b9b79406a055ca8f7bd9de72.png，若dbe0abcf12bb5ee3c94e4ad8c57e59fb.png，则实数6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.png等于（ ）

A.-1 B.1 C.-2 D.2

4.“b345d63279b512172c3f5b8e53737d13.png”是“89dc31a88ae5fe3235e136e14e490571.png”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D既不充分也不必要条件

5.双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png （323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png，539fa66a54d60fdbd6278ccebed13ddd.png）的离心率为1b5b2d97ef46fb94f5352e5646ded321.png，则该双曲线的渐近线方程为（ ）

A.dfb202c501d3d7a0509c87ea65c09501.png B.a9ff7e0c203eccb1c8973f7480f8fee4.png C.44a4d16601a75fb2d3b509cc3a32afb0.png d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngD.8c618f5043b8d27f1aa1f31e10201cfc.png

6.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A.第一场得分的中位数为665ecd7719a119a777670a43e5d81dde.png B.第二场得分的平均数为ea310759f6bfb54d4a0c2d2cffb3221f.png

C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差 D.第一场与第二场得分的众数相等

7.533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的内角7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png，0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的对边分别为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png，若f1e5d335f8f4bde5006a29e447072a3e.png，7efe90b481d9127908186af97479b803.png，则be413c131073be831a7cda4f53663a8f.png（ ）

A.27abf3c3c0ceec6fce6416dc3fcf1951.png B.463e10b4289d71d8f76004d317ee77b5.png C.68bade7151c02e1faf2763fb629da842.png D.add2b5c8b974155f65e931df2054a985.png

8.函数af62ed0a972006080d1f9f3bd67d2347.png的图象大致为（ ）

A B

C D

9.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）

A.e772afaa97059d0eabe6c4b0c6eba4fd.png B.b3c354be587d1173e93c7d667bb80edb.png C.c431f560ace389db99bbfa47a2a6fb57.png D.0240c652ccce2a1df4835462f8c4f1b6.png

10.图为祖冲之之子祖晒“开立圆术”中设计的立体模型.祖晒提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于c4a0694ab535ebee7a1f901ef3ac69ac.png （8277e0910d750195b448797616e091ad.png为球的直径），并得到球的体积为b1d6cda8b76675189c1f16a98a47a461.png，这种算法比外国人早了一千多年.人们还用过一些类似的近似公式，根据7b7eed7bf6f09cf3aa15855c90fdb513.png，判断下列公式中最精确的一个是（ ）

A.5ca63690ca28f7ca8e3c0840b5de6783.png B.f39062e2ee6398432e4b7ba0a4812df8.png C.78bf45e3bb80064a9e3b156a820868d7.png D.518f81f9463a50432d932e7c1c194d76.png

11.已知86e89253bbc837c2aef2d1c70854fca3.png，a35d1b44c14b33ef8d74f523c5a0c35f.png，则578617922ddafa464b87bdd402185adf.png等于（ ）

A.93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png B.7ddf743a44884d9bbc8c1789b835ac41.png C.eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png D.9cfc6c804c15c99ca9067e5964d76f56.png

12.已知ce04be1226e56f48da55b6c130d45b94.png为椭圆736441306d637133e89ac9230a8bc7a1.png上三个不同的点，若坐标原点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的重心，则533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的面积为（ ）

A.91a24814efa2661939c57367281c819c.png B.a0e950dc4545cad1f4989d54a1e697b2.png C.aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png D.84507545f131b7108866546c72caaa20.png

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.设ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png是定义在e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上的函数，若020ea14b84f9e3e11003ebc42636b938.png是偶函数，且ae47927a329f842e2a3434fef82961bf.png，则2e1cadd5646b2908719d46c1522543ab.png___________.

14.已知数列6c13c621b8b28624a433e0e343434759.png是等差数列，其前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，若bcd091286da6ded1180260641a25a699.png，则ee0dc20ab4c3f878850a4e2bfbb95f4f.png___________.

15.已知函数0b1c944685dcda72a96739eafd77469b.png，点f3c34e30bfac3de4453838dc4f6e24c9.png和9c75c798aa0afd0f2f58c25e2f6b05f2.png是函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png图象上相邻的两个对称中心，则3f71886187fd4451cc5eb1b731220ade.png___________.

16.在正三棱柱0009e4dc258a3d757dba159c76dae58f.png中，0812f9e7fdf954f76646a03ec7518380.png，e97844b7caa5578d2bc9c7637c0679cf.png分别为8d089686b141af460f9ff3a4545b2117.png的中点，平面0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png过点9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png，且平面1e5fd50b1eb0da2e6ee76a68e7e1f51b.png平面3357c2e18fac1d0c7c8433369e511b5e.png，平面1bb3222c729e29ccc799cae935464539.png平面646e832b936a83e1beb2a45ae339897d.png，则异面直线2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png与2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png所成角的余弦值为___________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面：本科就业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获得学历；继续深造；随大流；有名校情结如图是2015~2019年全国硕士研究生报考人数趋势图（单位：万人）的折线图.

（1）求415290769594460e2e485922904f345d.png关于e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png的线性回归方程；

（2）根据（1）中的回归方程，预测2021年全国硕士研究生报考人数.

参考数据：f0b499fbefb5e802acb97164e7c4b15b.png.

回归方程bea961fc05fe428875f068ae3b51c122.png中斜率和截距的最小二乘估计公式分别：a39ea0686cddf77a05fea8076653c722.png，74b8bf3121637084367ddee1e8d41126.png.

18.已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，3e10deb93d5e5840114c207aab30482b.png.

（1）求数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式;

（2）求数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的前21e2c0c0472b331622877accbe29b91b.png项和525d8244ef524b88a516991cd7ab2e95.png.

19.如图，在四棱锥81a76cc5dcec10bda7298f04289fb2c7.png中，ea5c9d518aea28f88c3e932f3e22a1fc.png底面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，底面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png为直角梯形，52e5c4738e9e5a2c3b11e386c9808f65.png ，a047901ddf9d2a93ec4917e8634be085.png，e2e0c4a77b0685026a338ef2818a2aff.png，点9e4f26770c6790bf9928de7638130d79.png分别为线段a77f0381314cb55aff29c51ec7cbc576.png的中点.

（1）证明：直线850947009feae3bac47aa67937204728.png平面5a424e50ffdca719329d9ab07625d5ef.png.

（2）求多面体5fe69a931a7bedf2356675dba12e48c2.png的体积.

20.已知函数81d6620e428e1e16a657fe38e8be36b5.png，e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png为函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的导函数.

（1）若函数5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png的最小值为0，求实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值；

（2）若0de2172d21540781ea701ba2428e02f9.png，1f8fdc07622832abce257f6180a509a5.png恒成立，求实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围.

21.已知点064631fac53a9d0c65669ecde0ebbdd5.png是抛物线2bfa21cb9c672e76f330afbc1d267644.png上一点，点800618943025315f869e4e1f09471012.png为抛物线0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的焦点，54dc56b5d4fb998cddba42103495a87c.png.

（1）求直线21080924b5d026e4a6011eb987ae1ec8.png的方程；

(2)若直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png过点f7ce14793a1efea44868e474c715c9c4.png，与抛物线相交于c307df251313e30dbffc899da627b0d6.png两点，且曲线0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png在点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png与点8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png处的切线分别为0779458e5cb9f831cdfa2b3b7e9553e2.png，直线0779458e5cb9f831cdfa2b3b7e9553e2.png相交于点dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png，求cfffc9ef4c82f08d5a39b3835dfac1df.png的最小值.

（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png中，曲线0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的参数方程为297c0b0cc32e21d22f0171d2ad17dd09.png（0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png为参数），在以坐标原点为极点,，9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的极坐标方程为f7dbca1ed4f37a18d33f0410ee2d971e.png.

（1）若直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与曲线0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png至多只有一个公共点，求实数6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围；

（2）若直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与曲线0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png相交于6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png两点，且6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png的中点为44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png，求点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的轨迹方程.

23.[选修4-5：不等式选讲]

已知b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png为正实数，ae47224248c297645be05a70a727f183.png.

（1）证明：7b99966c15d8043a3bafcbe0d989f307.png.

（2）证明：751e7c1ab68d3a620585d4358a68da0d.png.

2020年普通高等学校招生全国统一考试

数学模拟测试参考答案

1.D本题考查集合的运算因为2a28a90c1594e87a53e2964161a76eb0.png，所以d48040c30c582b1ebd0d0357575532f9.png.

2C本题考查复数的模.因为c0729c92f40a913ad885b6181941e61f.png，所以976b137cbdd764fddc6493de04e6d920.png.

3.C本题考查向量的平行.因为dbe0abcf12bb5ee3c94e4ad8c57e59fb.png，所以6fc4ae6141e92569f78752c1ae7ea2d4.png，解得ac89984c0ef0f311a8f8c59c2e9208e2.png.

4.A本题考查充分、必要条件“b345d63279b512172c3f5b8e53737d13.png”是“89dc31a88ae5fe3235e136e14e490571.png”的充分不必要条件.

5.C本题考查双曲线的渐近线.9b734c4c7f146dcc39ec66e51b85ae94.png，即654e2eefa9cfb109c10b5d4fca452141.png，故双线的渐近线方程为44a4d16601a75fb2d3b509cc3a32afb0.png.

6.C本题考查茎叶图.由茎叶图可知第一场得分的中位数为665ecd7719a119a777670a43e5d81dde.png，众数为0，极差为19，第二场得分的众数为

0，平均数为ea310759f6bfb54d4a0c2d2cffb3221f.png，极差为2，所以选项C的说法是错误的.

7.B本题考查解三角形.因为d37f4938ec5155348697d08bcbe5540e.png，所以ae4430b88b5519b012170f115d745219.png，所以aa2153f6c83b3a52fc7c3287e01c6666.png，

所以312a1fced64765c4075c289d9d94a16e.png.

8.B本题考查函数的图象.因为d9b9739f35477d6fef5840857f3dd866.png，所以ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png为偶函数，排除CD项，

又因为1016541c0cc67b487bad1c3791fb9809.png，所以排除A项.

9.A本題考查三视图.根据三视图可知，该几何体是由eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png个圆锥和0f1af1f75945c10f599368811e2d8a64.png个球组成的，

如图所示，其中球的半径为3，圆锥的底面半径也为3，高为4，故该几何体的体积为

173bcbc8f6b1036c23401850cba97657.png.

10.C本题考查数学史与立体几何.由be50ce6172040a340ace693983c7fb84.png，解得d82c79097594159f437c4f281223e6ba.png，选项A化简得c31a2137d2ee4a51b70616642e53e9ef.png，

所以566ca958738fa8609e7e0d7d07b1c41c.png；选项B化简得112633b6a37b5df5299387dd491f6d24.png，所以fa82497beda442223c8cba713f803b6d.png；选项C化简得44699dc7cf55b82080e19a486f78f665.png，

所以fe8a0c09d417ee21597bbddca44c854d.png；选项D化简得30d4a8e2efa0f274f16696557cde875a.png，所以47779c1d70fa9d3775e73e63ea4ca339.png；所以选项C的

公式最精确.

11.A本题考查三角恒等变换.因为86e89253bbc837c2aef2d1c70854fca3.png，f1001092b5d37c6aa1f78fed67ab743b.png，

所以2f209f6991ed43327a3345f05ed01ef6.png，a3556e55e75ab5357fc4ede2d9d4d723.png，

两式相加得

b05f0c4090d2b9fc65389773753e20eb.png，

解得d3f8ab4f8d571511de905b4edd9e84f6.png.

12.B本题考查直线与椭圆的位置关系.不妨设直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的方程为98d791965136612e3991949a79e509a1.png代人椭圆方程得

818da0eb2bd1f2e5e7b37f29f1ed5b33.png.
设36d096f7d525a6f569ea030c7e84d4c3.png，0ff78994e25d20f2d72e310f8fa2a767.png，

则0db5dc7a453aed6bab1c173244f17840.png，8335cdb8008528c8d9f3b48d8dc99d28.png.

设def26ef98b0876658458ecda47ce8444.png，因为f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的重心，所以2a17730b1288bd08f6751919d7492807.png，

5e807318276a59a2ed35bc56ad7b88b9.png，

代入椭圆方程得01eec0062a8478b043257ac4205446ac.png，a61062bb7a84fdbf35b804a16825659f.png，

点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png到直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的距离18cca52eb391d48f2dbafa030d047bdd.png，

所以691ba77397fd29eaa89b23613561ebe4.png的面积

073c082057935483513addec4018894c.png

因为01eec0062a8478b043257ac4205446ac.png，

所以66c0367aa67c3371863869a4eb574fa6.png，

因为f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的重心，

所以533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的面积07da81c652ec3e3f5a6379c6533c6000.png.

（另解：不妨设99c6163231b25562858c2457b560e5e2.png，因为f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的重心，所以f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png横坐标为768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png，

可得688f079136ee2dc106fbe477bcfc68bd.png，所以533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的面积为e14fd9f53bd88bdcc50f79ab3e80d997.png.）

13.6本题考查函数的性质，由题知，4fc070082823a0f1c73549244576dd23.png，解得2194f7d73a74de9f062539c782071ab1.png.

14.6本题考查等差数列基本量的求解设等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的公差为8277e0910d750195b448797616e091ad.png，因为bcd091286da6ded1180260641a25a699.png，所以f6f9f4457e579028d65344bb256bfa3b.png，解得a

6.

15.2本题考查三角函数的性质因为点f3c34e30bfac3de4453838dc4f6e24c9.png和9c75c798aa0afd0f2f58c25e2f6b05f2.png是函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png图象上相邻的两个对称中心，所以是5423e018d6ec00d39aea6b26ffab16e8.png，解得486dfe1e9b70c52e8fda09e48508ab65.png.

16.75276e5ef991e623587b42b4b08f7665.png本题考在异面直线所成角.因为平面1e5fd50b1eb0da2e6ee76a68e7e1f51b.png平面3357c2e18fac1d0c7c8433369e511b5e.png，

平面1bb3222c729e29ccc799cae935464539.png平面646e832b936a83e1beb2a45ae339897d.png，平面33ae2521b8c1afe3a7fe1bb1fee234c5.png平面40df287365c0d975061df4149dcb068e.png，

所以37901039b358956aca2770bbdd2990a7.png，取9d417dea13f2855580c7c2c6dbc254cd.png，52432e2a12e5c8832d7c2a0cd40f718a.png的中点分别为d0aacfda94fb28732bb51b6ca99acd2b.png，

连接8c647987e44baa572d1d76492ff65ed9.png，如图所示，则2465b984cbadf7eaa2f30ec653ae4f9d.png，

所以36057f7b2ad41b3ac63d81ca6528393e.png所以异面直线2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png与所成的角为9ea3d3ca4a200047ed2899cb6aac1edc.png或其补角，

又因为c1a3b5940aab7ad3f929547ec8dd66b6.png，a47ae652c2226972ecdb9f2d98c200d5.png，

所以10493e7b1fd51fa02c938e3ca4fbdb80.png，559afeb457a0630a5a381ae4bb0368af.png，0ec91f6516e05fe721f03a5c66b03d89.png，

所以394bc813c23887819f8111a9f8a40f9b.png，所以d457597a690ba9c76af28cbc72692735.png.

【解题方法】本题以三棱柱为载体，综合考查异面直线所成角的概念.解答的基本方法是通过平移直线，把异面直线平移到两条相交直线上，明确异面直线所成角的概念，应用三角函数知识求解，充分利用图形特征，则可事半功倍.例如本题利用图形易得0194a5e29a123cc2c5a8a84b0128a849.png，这是本题的题眼.

17.解：本题考查线性回归方程.

（1）由题中数据计算得6550f9fea8479e117fc124848e829b2c.png，

c40e7e52bde4f21fdf59e90ee56fa958.png，

由参考数据知，7f36763b67cad3a02c00da755d44b72a.png，

所以698a782407f1996ca70f4f3741b8c6da.png，

5e67324c0ef678599470e126f7a84fae.png，

故所求回归方程为25a9c69dcd07150921776265010015fe.png.

（2）将2021年对应的87446d82231fad901fce9c5ed0fc130e.png代人回归方程得ac3ba538a14b75e5a571abfbd6b88f3a.png，

所以预测2021年全国硕士研究生报考人数约为338.6万人.

18.解：本题考查数列通项公式及前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和

（1）因为7cfc497bd5aa8b2d3cb97a2cfad34196.png，所以当a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png时，所以b1569a2b02ed51ad811e55f0a6c806d9.png，

所以19497d493eb157895287dad10daee9e5.png，

整理得4bd02647a9c313e3e8efcff8083de4cc.png，

所以bd1a24d30f42c0668e26c53f6c0d5fdc.png，

当6d24e2bc97c5e4283dd8e34674afe7ea.png时，b890757e2c52cf33bd71c295fadc351e.png，c9cbc41caa2e11a695d71be3e1ea90c4.png，

所以c68032fc3d01fe3aa344e7666b82b090.png，所以3dde5f9ac51668eb6235168714f55da7.png，

所以数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是首项和公比均为4的等比数列，所以4f8a2e7f666de7901f9fa1f8224f63db.png，即997f372e0e717a867bf76fc4fbfc3a4b.png.

（2）由（1）知997f372e0e717a867bf76fc4fbfc3a4b.png，所以f9fd6a955061b3c7a02ff797e90f3aef.png

0499eb26e14e0c54030b9eff514bacea.png，

故数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的前21e2c0c0472b331622877accbe29b91b.png项和0c71b5a745585531b845bd92d42f04fb.png.

【名师点睛】等差数列、等比数列的通项公式及前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和问题，是高考的常考内容，解题过程中要注意应用函数与方程思想，构建方程（或方程组）求基本量，例如此题，从已知出发，构建f683c2d696a83200971913fd45339484.png的方程组求数列通项公式，利用前后项合并，构造等差数列，求数列的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和.

19.解：本题考查线面平行及多面体的体积.

（1）证明：因为6aa6c90ddeb586e213aae59ed3ab0dac.png为线段e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png的中点，所以6b170c7752524387da481d0dfd71eb03.png，连接3fd6b696867d70225deda7868308679b.png，

因为52e5c4738e9e5a2c3b11e386c9808f65.png，所以四边形6b011b774af5377cba2ec2b8ecd0b63b.png为矩形，连接d3dcf429c679f9af82eb9a3b31c4df44.png交4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png于点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，连3d6954dd72e53b9015d2a6e6546058f8.png，因为dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png为线段cd203ccd68b84de1c5df8fd890e104e0.png的中点，所以de8a90812f6563031de08131ac6ce7c7.png，因为b74fe3e6e776ece789999b0ea456c730.png平面5a424e50ffdca719329d9ab07625d5ef.png，817a7e6f14396060c4e915adcaefb88e.png平面5a424e50ffdca719329d9ab07625d5ef.png，

所以3c256d1910927d9b72438ed1262e4740.png平面5a424e50ffdca719329d9ab07625d5ef.png，由题易知，d75c0a28ad89251e8f33f4bf14e7f7f1.png平面5a424e50ffdca719329d9ab07625d5ef.png，

又因为1a95a7b2775a5dfa9149d314bd365314.png平面b7f132971fbcdf8e5cb7da5359c2df83.png，723225f037e353c38a913f7cd6b076a7.png平面b7f132971fbcdf8e5cb7da5359c2df83.png.

9aa65e65e67e1ae3ce0fde6cdb4cf1ff.png，所以平面48f9e656cc044b3e7b939d664177f229.png平面b7f132971fbcdf8e5cb7da5359c2df83.png，

又因为a681b887325403c55c5bc29ae33992c7.png平面29aeffa4d5aa21d25d7196db3728f72c.png，所以直线d75c0a28ad89251e8f33f4bf14e7f7f1.png平面5a424e50ffdca719329d9ab07625d5ef.png.

（2）因为6930d88b0c9785bfd5800c093ca371f4.png，5985309ccee9b7f6ce883983d55aad5e.png，所以四棱锥81a76cc5dcec10bda7298f04289fb2c7.png的体积2052b5d9c4bedad82122bf88f2f97941.png，三棱锥b3296729a43bf0da2d0ed695a87ab41c.png的体联77388c92d718707c19698108e0f76d2c.png，棱锥6d3bf3bb40bd8573ecd4918f14b28acd.png的体积

f57677b9c24cfda8aa1327ee45dd0c16.png，故所求多面体1567fce7a49eceffeb1eab70c0fc860f.png的体积为ac971ccde409c11f25ce3a05da291988.png.

20.解：本题考查函数最值及恒成立求参数范围.

（1）f39aa5496b2251109fab5e5d99f0f757.png，

所以ca123a94a300a71330617607c7dfd147.png，26d37a7792c1926abca955463b5e3c74.png，

①当90427404ddaca5bb6cd2c86877db491f.png时，b3c76bca3c3d6302111b0553a647a0ad.png，所以ca123a94a300a71330617607c7dfd147.png在e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上单词递增，不合题意；

②当323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png时，d1c9574888cd7f0d71ad0cd963b78c41.png，39d264baf33b24be2675f500e3324272.png，a5b4232f246ad08636b10408f1f906af.png，bdb1b826acd593af45089831b06e7f4b.png，

所以函数5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png在区间64ab7b598edf70f46de09b0a3baf00f0.png上单调递减，在区间51d2d0490132c2ff296ff69ea6b44845.png上单调递增，

b00a2a4bd128cafa8a7a3591c150a167.png，令50f3d1b40117b6695a7a0c1d7c9e3b35.png，则47ca97cfa7a11f432ddad61c437fcaa5.png，

所以6e94b6eeba109bb8f01c90aa6d1dbabf.png在区间7438252393c71b507edb4d7a116aa1c2.png上单调递增，在区间a9b60edfbc89649206e22a2cad65c588.png上单调递减，

所以23dd5d69456ee115e3012125dac4c372.png，所以由210b9e81e14177ac9f9abe51ecb7d5ed.png，解得a726d057f869a8a7dd4d67e2a02e606d.png，

即实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值为93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png.
（2）因为0de2172d21540781ea701ba2428e02f9.png，e39d76dcfb749be305211411304d7281.png恒成立，所以0a5ce66b0ca2e9d86fc082f12c5162a1.png，

即ffb40e89eeaab59c13064f2c50feaa4d.png对任意887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png恒成立，令46ab2aa1e291f2b42d5bc0156b160044.png，

则b882135398155b0fb38a71a3108bd644.png，由（1）知，1cfff7cb7b9891bf47e75a283c69b832.png，

当且仅当e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png时，等号成立，所以函数16c33dab578fefb2039007bee6124bf6.png在区间7438252393c71b507edb4d7a116aa1c2.png上单调递减，

在区间a9b60edfbc89649206e22a2cad65c588.png上单词递增，所以42451b6171dd9b66e9f6c9b53234755f.png ，所以7f9abf32155504fafcb45556efaa2555.png，即99cceb7b6a826cf168abe3f8281c66d2.png.

所以实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围为255faa5b7aadb11ee20edf86b2c79d58.png.

21.解：本题考查抛物线的性质.

（1）因为54dc56b5d4fb998cddba42103495a87c.png，所以71009d5051a1377e16eac4e387d319f4.png，解得5c7e5bdea511dfc951e392e48b2d27f7.png，所以86d865413740d13fdeaf7ff0278aad73.png，

因为28a42a33133f77c52f434270f229fff3.png，且ff7fa304ecf57b573120bafee2b1cb58.png，所以de3c8597e9cfec0a69d16ed2b9362437.png，所以6d977d378bfe252fac23399b77ad05a4.png，

故直线21080924b5d026e4a6011eb987ae1ec8.png的方程为9dbc879883771c1c3b95961af98d81a1.png，

化简得ce9ab4ec0dfbbd6722529fa382843b2a.png.

（2）由（1）知，抛物线方程为e8313ff6045a77ddac5e5f5dff83f655.png，点86d865413740d13fdeaf7ff0278aad73.png.

设4dc245f394e4cd40feaeb2c5436ae130.png，又因为39ae83d3f631ab71402f5eea2b49b0e8.png，

所以直线6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的方程为dcf3c83c628151bd1bdef31f07cf98b4.png

整理得022e4c3483a634519d004485665e807a.png，

同理可得直线7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png的方程为1b5c2949839547b9b3c206f5299b4ce6.png，设889a817eb3b097aba2488b31b05684e5.png，

联立27d2dd9b71d774ceb4c85cfb14e91438.png，得直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程为8b05bb723fa75629482f095598fa2d29.png，又因为直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png过点f7ce14793a1efea44868e474c715c9c4.png，

所以cde7e33eb701b02e9c61c0952080ab5a.png，即点dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png在定直线cde7e33eb701b02e9c61c0952080ab5a.png上，所以42ecba67b9ee5b66d467ab086e8828ea.png的最小值为5879ae7f762cdf10ef2b7eb9155840cf.png.

【解题思路】解决直线与抛物线的综合问题时，需要注意：

（1）观察、应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；

（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.

22.解：本题考查坐标与参数方程：

（1）由题知，曲线0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的直角坐标方程为0f8f39a23aa423a547f6432184b50b08.png，

直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的直角坐标方程为6cffc190dc38407530f48a87d986910d.png，

因为直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与曲线0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png至多只有一个公共点，所以194575b44de6e6bbb8cd2f32182a74ae.png，

所以实数6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围为2d0373c759e5122c7031bc7437dc7e87.png.

（2）设2029f1e57adf760a6e33808058d34b1e.png，由（1）知，68a6c72a889299f78a73a9ce9e2bee94.png，

由6e20da6ae35741e60ef34a89ac69a4e1.png，解得0ada3bf840a675850c5ba30834f3b3a6.png，

所以6f3d659c1f411f53901e940b50796e58.png，c0c5801f8beb6c954a45268bd895e732.png，

所以242c15a4a2daa3a5cc0b26d50d0d3ad8.png，即69a2cd8791f8fb9e6bd7c8cbbbaa896f.png，

故点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的轨迹方程为9fb4c1cbc82b4cc0f037179ede4a94c9.png.

23.解：本题考查不等式证明.

（1）因为ae47224248c297645be05a70a727f183.png所以bba88a8720a5f5df30386ed9babcba67.png，所以7337c858ae52d707a5e43c1ff33d70a5.png，

又因为6be32a44b89f7d42b2262c8589c9dd58.png，所以fedbcad3b1cdb8ee3269dd245058c278.png，

即7b99966c15d8043a3bafcbe0d989f307.png，当且仅当7acaac15494e6820b1ed6d8b539af089.png时等号成立，

（2）b4c74ebea3b3e3015efe887912b9d1f7.png，

由（1）知bba88a8720a5f5df30386ed9babcba67.png，所以57d76ce619c2cacc1de29e60d8488692.png，

所以758630fc5bf670f6693559c5628ed643.png，即ba0c408b3c6650e7a27345e4b3a93c02.png，当且仅当7acaac15494e6820b1ed6d8b539af089.png时等号成立.