衡水二中2018届入学考（理科）

2018届第一次评价性考试

理科数学

2017.09.13

时间：120分钟 总分：150分

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1．若集合word/media/image1.gif，则word/media/image2.gif（ ）C

A．word/media/image3.gif B．word/media/image4.gif C．word/media/image5.gif D．word/media/image6.gif

2．已知word/media/image7.gif是虚数单位，则word/media/image8.gif（ ）3．C

A．word/media/image9.gif B．word/media/image10.gif C．word/media/image11.gif D．word/media/image12.gif

3．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方向拼成一个边长为word/media/image13.gif的大正方形，若直角三角形中较小的锐角word/media/image14.gif，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）

A. word/media/image16.gif B. word/media/image17.gif C. word/media/image18.gif D. word/media/image19.gif

4．设，则下列不等式成立的是（ ）

A． B． C． D．

5已知下列三个命题：

word/media/image25.gif若直线word/media/image26.gif和平面word/media/image27.gif内的无数条直线垂直，则word/media/image28.gif；

word/media/image29.gif：若word/media/image30.gif，则word/media/image31.gif；

word/media/image32.gif：在word/media/image33.gif中，若word/media/image34.gif，则word/media/image35.gif.

其中真命题的个数是 （ ）C

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

6．在word/media/image36.gif的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ）

A．word/media/image37.gif B．word/media/image38.gif C．word/media/image39.gif D．word/media/image40.gif

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面中，面积最小值为（ ）

A．word/media/image42.gif B．word/media/image43.gif C．word/media/image44.gif D．word/media/image45.gif

8．如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的word/media/image46.gif为茎叶图中的学生成绩，则输出的word/media/image47.gif，word/media/image48.gif分别是（ ）

A．word/media/image50.gif，word/media/image51.gif B．word/media/image52.gif，word/media/image51.gif

C．word/media/image53.gif，word/media/image51.gif D．word/media/image54.gif，word/media/image55.gif

9．word/media/image56.gif（a，bword/media/image57.gifR，且aword/media/image58.gif－2），则word/media/image59.gif的取值范围是（ A ）

A．word/media/image60.gif B．word/media/image61.gif C．word/media/image62.gif D．word/media/image63.gif

10．过双曲线word/media/image64.gifword/media/image65.gif的左焦点word/media/image66.gif，作圆word/media/image67.gif的切线，切点为word/media/image68.gif，延长word/media/image69.gif交双曲线右支于点word/media/image70.gif，若word/media/image71.gif，则双曲线的离心率为（ C ）

A．word/media/image72.gif B．word/media/image73.gif C．word/media/image74.gif D．word/media/image75.gif

11．已知函数，若函数有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）

A．B．C．D．

12已知数列word/media/image83.gif满足word/media/image84.gif，word/media/image85.gif是等差数列，则数列word/media/image86.gif的前10项的和word/media/image87.gif（ ）

A. 220 B. 110 C. 99 D. 55

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13．4．已知向量word/media/image88.gif，word/media/image89.gif，若word/media/image90.gif，则word/media/image91.gif__________．

14．若变量word/media/image92.gif满足约束条件word/media/image93.gif，且word/media/image94.gif的最小值为word/media/image95.gif，则word/media/image96.gif__________．

15．已知双曲线word/media/image97.gif的一个焦点在圆word/media/image98.gif上，则双曲线的渐近线方程为__________．

16．已知数列word/media/image99.gif满足word/media/image100.gif，word/media/image101.gif，若不等式word/media/image102.gif恒成立，则实数word/media/image103.gif的取值范围是__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在word/media/image104.gif中，角word/media/image105.gif所对的边分别为word/media/image106.gif，已知word/media/image107.gif.

（I）求角word/media/image108.gif的大小；

（II）若word/media/image109.gif，求word/media/image110.gif的取值范围．

18．（本小题满分12分）

如图所示，在四棱柱word/media/image112.gif中，底面word/media/image113.gif是梯形，word/media/image114.gif，侧面word/media/image115.gif为菱形，word/media/image116.gif．

（I）求证：word/media/image117.gif；

（II）若word/media/image118.gif，点word/media/image119.gif在平面word/media/image115.gif上的射影恰为线段word/media/image120.gif的中点，求平面word/media/image121.gif与平面word/media/image115.gif所成锐二面角的余弦值．

19．（本小题满分12分）

噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解强度word/media/image119.gif（单位：分贝）与声音能量word/media/image122.gif（单位：word/media/image123.gif）之间的关系，将测量得到的声音强度word/media/image124.gif和声音能量word/media/image125.gif数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

表中word/media/image128.gif，word/media/image129.gif.

（I）根据表中数据，求声音强度word/media/image119.gif关于声音能量word/media/image122.gif的回归方程word/media/image130.gif；

（II）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点word/media/image70.gif共受到两个声音源的影响，这两个生源的声音能量分别是word/media/image131.gif和word/media/image132.gif，且word/media/image133.gif，已知点word/media/image70.gif的声音能量等于声音能量word/media/image131.gif和word/media/image132.gif之和，请根据（I）中的回归方程，判断word/media/image70.gif点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由.

附：对于一组数据word/media/image134.gif，word/media/image135.gif，word/media/image136.gif，其回归直线word/media/image137.gif的斜率和截距的最小二乘估计分别为： word/media/image138.gif

20．（本小题满分12分）

已知椭圆word/media/image139.gif，圆word/media/image140.gif的圆心word/media/image141.gif在椭圆word/media/image142.gif上，点word/media/image143.gif到椭圆word/media/image142.gif的右焦点的距离为word/media/image144.gif．

（I）求椭圆word/media/image142.gif的方程；

（II）过点word/media/image70.gif作互相垂直的两条直线word/media/image146.gif，且word/media/image147.gif交椭圆word/media/image142.gif于word/media/image148.gif两点， 直线word/media/image149.gif交圆word/media/image141.gif于word/media/image150.gif两点，且word/media/image151.gif为word/media/image152.gif的中点，求word/media/image153.gif的面积的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知函数word/media/image154.gif，其中word/media/image155.gif是实数．设word/media/image156.gif，word/media/image157.gif为该函数图象上的两点，且word/media/image158.gif．

（I）若函数word/media/image159.gif的图象在点word/media/image160.gif，word/media/image108.gif处的切线互相垂直，且word/media/image161.gif，求word/media/image162.gif的最小值；

（II）若函数word/media/image159.gif的图象在点word/media/image160.gif，word/media/image108.gif处的切线重合，求word/media/image155.gif的取值范围．

2018届第一次评价性考试答案

理科数学

2017.09.13

第I卷

一、选择题

1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B

7．D 8．B 9．C 10．C 11．C 12．B

第II卷

二、填空题

13．word/media/image163.gif 14．word/media/image164.gif 15．word/media/image165.gif 16．word/media/image166.gif

三、解答题

17．（本小题满分12分）

（I）由已知得word/media/image167.gif， ……………………2分

即有word/media/image168.gif， ……………………3分

因为word/media/image169.gif，所以word/media/image170.gif，又word/media/image171.gif，所以word/media/image172.gif， ……………………5分

又word/media/image173.gif，所以word/media/image174.gif． ……………………6分

（II）由余弦定理，有word/media/image175.gif， ……………………8分

因为word/media/image176.gif，word/media/image177.gif，有word/media/image178.gif， ……………………10分

又word/media/image179.gif，于是有word/media/image180.gif，即有word/media/image181.gif． ………12分

18．（本小题满分12分）

（I）连接word/media/image183.gif与word/media/image184.gif相交于点word/media/image185.gif，连接word/media/image186.gif，

word/media/image187.gif侧面word/media/image188.gif为菱形，word/media/image189.gif，word/media/image190.gif，

在word/media/image191.gif中，word/media/image116.gif，

word/media/image192.gif， ……………………2分

word/media/image193.gif，又word/media/image185.gif为word/media/image194.gif中点，

word/media/image195.gif，

word/media/image196.gif，word/media/image197.gif， …………4分

word/media/image198.gif，

word/media/image199.gif． ……………………5分

（II）设线段word/media/image120.gif的中点为word/media/image185.gif，连接word/media/image201.gif，由题意知word/media/image202.gif平面word/media/image115.gif，因为侧面word/media/image115.gif为菱形，所以word/media/image203.gif，故可分别以射线word/media/image204.gif、射线word/media/image205.gif、射线word/media/image206.gif为word/media/image207.gif轴、word/media/image208.gif轴、word/media/image209.gif轴的正方向建立空间直角坐标系word/media/image210.gif．

设word/media/image211.gif，

由word/media/image212.gif可知word/media/image213.gif，

所以word/media/image214.gif，

从而得word/media/image215.gif， …7分

所以word/media/image216.gif，word/media/image217.gif．

由word/media/image218.gif可得word/media/image219.gif，所以word/media/image220.gif． ……………………8分

设平面word/media/image121.gif的一个法向量为word/media/image221.gif，由word/media/image222.gif，

得word/media/image223.gif取word/media/image224.gif，则word/media/image225.gif，所以word/media/image226.gif． …………10分

又平面word/media/image115.gif的法向量为word/media/image227.gif，所以word/media/image228.gif． ……12分

19．（本小题满分12分）

（I）令word/media/image128.gif，先建立word/media/image119.gif关于word/media/image122.gif的线性回归方程，

由于word/media/image229.gif，

∴word/media/image230.gif，

∴word/media/image119.gif关于word/media/image122.gif的线性回归方程是：word/media/image231.gif.………………………6分

（II）∵word/media/image133.gif，

∴word/media/image232.gif，

根据（I）中的回归方程，点word/media/image70.gif的声音强度word/media/image119.gif的预报值：

word/media/image233.gif，

∴点word/media/image70.gif会受到噪声污染的干扰.……………………………………………………12分

20．（本小题满分12分）

（I）因为椭圆word/media/image142.gif的右焦点word/media/image234.gif．

word/media/image235.gif在椭圆word/media/image142.gif上，word/media/image236.gif．

由word/media/image237.gif得word/media/image238.gif所以椭圆word/media/image142.gif的方程为word/media/image239.gif．

（II）由题意可得word/media/image147.gif的斜率不为零，当word/media/image147.gif垂直word/media/image207.gif轴时，word/media/image153.gif的面积为word/media/image240.gif，

当word/media/image147.gif不垂直word/media/image207.gif轴时，设直线word/media/image147.gif的方程为：word/media/image241.gif，

则直线word/media/image149.gif的方程为：word/media/image242.gif．

由word/media/image243.gif消去word/media/image208.gif得word/media/image244.gif，所以word/media/image245.gif，

则word/media/image246.gif，

又圆心word/media/image247.gif到word/media/image149.gif的距离word/media/image248.gif得word/media/image249.gif，

又word/media/image250.gif，所以word/media/image151.gif点到word/media/image251.gif的距离word/media/image141.gif点到word/media/image251.gif的距离．

设为word/media/image252.gif，即word/media/image253.gif，

所以word/media/image153.gif面积word/media/image254.gif，

令word/media/image255.gif，

则word/media/image256.gif，word/media/image257.gif，

综上，word/media/image153.gif的面积的取值范围为word/media/image258.gif．

21．（本小题满分12分）

（I）由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1)，点B处的切线斜率为f′(x2)，

故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x1)f′(x2)＝－1． ………………1分

当x＜0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2．

因为x1＜x2＜0，

所以，(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1． ……………………2分

所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0．

因此x2－x1＝word/media/image45.gif [－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥word/media/image259.gif＝1，

当且仅当－(2x1＋2) ＝2x2＋2＝1，即word/media/image260.gif且word/media/image261.gif时等号成立． …………4分

所以，函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，x2－x1的最小值为1． …5分

（II）当x1＜x2＜0或x2＞x1＞0时，f′(x1)≠f′(x2)，故x1＜0＜x2．

当x1＜0时，函数f(x)的图象在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x12＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，

即y＝(2x1＋2)x－x12＋a． ……………6分

当x2＞0时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－ln x2＝word/media/image262.gif (x－x2)，

即y＝word/media/image262.gif·x＋ln x2－1． ……………………7分

两切线重合的充要条件是

word/media/image263.gif ……………………8分

由①及x1＜0＜x2知，－1＜x1＜0．

由①②得，a＝x12＋word/media/image264.gif－1＝x12－ln(2x1＋2)－1． ……………………9分

设h(x1)＝x12－ln(2x1＋2)－1(－1＜x1＜0)，则h′(x1)＝2x1－word/media/image265.gif＜0． …………10分

所以，h(x1)(－1＜x1＜0)是减函数．则h(x1)＞h(0)＝－ln 2－1， ……………11分

所以a＞－ln 2－1．

又当x1∈(－1，0)且趋近于－1时，h(x1)无限增大，

所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．

故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)． ……………12分