网络教育《数值分析》作业及答案

《数值分析》作业

一．选择题

1. 设，等距结点，则差分_____A_____。

(A) 0 　　　 (B) 1 　　 (C) 2 　 (D) 26

2. 设线性方程组，其Seidel迭代矩阵B2 , 如果Seidel迭代法收敛，则_____B_____.

(A) (B) (C) A 是正定实对称矩阵 (D)

3. 2m+1个结点的插值求积公式的代数精确度至少为___B_______，至多为__________.

(A) 2m+1 ，4m+1 (B) 2m ，4m+1 (C) 2m+1，4m -1 (D) 2m ， 2m+1

4．在计算机数系中，______D____。

(A) 四则运算封闭 　　　　　 (B) 结合律和交换律成立 　

(C) 不包含零 　　　　　　　 (D) 均是有理数

5．，由迭代公式构造的序列收敛于方程在该区间上的根，则____C_____。

(A) 　　　 (B) 　(C) 　 (D)

6．设P为n阶正交阵，则与的关系____D______ 。

(A) 相等，但不一定等于1 (B) 大于

(C) 小于 (D) 相等，且等于1

7．设数值计算公式，其理查逊外推公式为____C______.

(A) 　　.. (B)

(C) 　　　 .(D)

8．A为非奇异矩阵，且A=LLT，其中L为下三角矩阵,则____B_____.

(A) L的主对角线元素.. (B) A正定对称

(C) A的主对角线元素不全大于零 　　... (D) A半正定对称

9．设10维向量，则___D____.

(A) 50 　　 (B) 85 　 (C) 110 (D) 275

10．设A为n阶实对称非奇异矩阵，是A的特征值，则_____C______。

(A) (B) (C) (D)

11．已知n阶矩阵A可由简单消去法得到LU分解，则____B______ 。

(A) A非奇异 (B) A的1阶到n-1阶顺序主子式

(C) 　　 (D)

12．设P为n阶置换矩阵，A为n阶任意矩阵，则与的关系____A____ ，与的关系_________。

(A) 相等，相等 (B) 相等，不一定相等

(C) 不一定相等，相等 (D) 不一定相等，不一定相等

13．设是以为结点的Lagrange基本插值多项式，则的次数为_____A____。

(A) n (B) 小于n 　(C) j 　 (D) n+1

14．设s(x)是[a,b]上的三次样条插值函数，则以下结论正确的是____C____。

（A）s(x)连续但不可导 　　　　 （B）s(x)的一阶导数存在，但不连续

（C）s(x)的二阶导数存在且连续 　　　　 （D）s(x)的二阶导数存在，但不连续

15．利用切线法计算时，迭代公式为___A______。

(A) 　 (B)

(C) 　 (D)

16．设为矩阵A的谱半径，则_____B_____ 。

(A) (B) (C) (D)

17．设A奇异矩阵，A的1阶至n-1阶顺序主子式不为零，则A有LU分解,且有_____D_____。

(A) (B)

(C) (D)

18．设过[a,b]上结点的Gauss求积公式，则以下结论错误的是____A______ .

(A) 该Gauss求积公式是代数精确度为2n+1的N-C公式

(B) 结点是[a,b]上正交多项式的根

(C)

(D)

19．设线性方程组AX=b可以化成迭代方程组X=BX+g且，则简单迭代法和塞德尔迭代法均收敛的充要条件是 D

a) b) c) d)

20．已知方程，则切线法解此方程的迭代公式为 C

a) b)

c) d)

21. 设矩阵，且AX=b的消元过程可以进行到底，（L为单位下三角阵，D为对角阵）则应满足条件 A

a) b) A为正定对称阵

c) d) A为非奇异矩阵

22. 设A为n阶实方阵P为n阶正交阵，则为 D

a) b) c) d)

23. 将区间2等分，用抛物线公式计算的近似值，则将近似值= C

a) 2/3 b) 10/3 c) 5/3 d) 1

24. 设mn阶矩阵A的各列线性无关，且，则 C

a) B是半正定对称阵 b) A的逆矩阵存在

c) B的特征值大于零 d) A是奇异矩阵

二．填空题

1． 设，则___3____ ， ____3____，谱半径____3______。

2．已知函数在结点处的值如下，

利用复合梯形公式计算______1____ ，再使用一次理查逊外推法，可得____2/3______ 。

3．设，等距结点，则差分_____100!_____， _____2100_____。

4．设，且，则的取值范围____ (-1 ,1)______。

5．设是以为结点的Lagrange基本插值多项式，则的差商

_______ ___。

6．利用newton法求方程的根，迭代公式为_______ _ , 收敛阶数至少为____2____。

7．设，且，则的取值范围______ (-1, 1)_______。

8．设是以为结点的Lagrange基本插值多项式，则______x____ 。

9．已知，利用这5个结点的数据，由复合梯形公式计算___4__ ，再由理查逊外推一次得______，误差阶数提高为_____ 。

10．过5个节点的Newton-Cotes求积公式的代数精确度至少为____5____，过5个节点的Gauss求积公式的代数精确度为_____9_____。

11．利用切线法计算时，迭代公式为_________ ____, 收敛阶数至少为____2_____ 。

12．设，则满足以上条件的次数小于或等于3的插值多项式____________。

13．过三个结点，用Romberg积分法计算____10/9_____，误差阶数为_____4_____。

14．设10维向量， 则____10____, ___55_____, __550_____。

15．设使用理查逊外推法外推一步得 。

16．设方程在区间上的等价方程为，且为上的压缩映象，则= 。

17．设，则 。

18．若则它的三个根分别为 。

19．满足条件的插值多项式为 。

20．设使用理查逊外推法外推一步得 。

三．

1.设上的函数，

1．选取等距结点，求的插值多项式.

2．选取等距结点，求的插值多项式.

3．四等分区间，用抛物线公式近似计算

解：1. 2. 　 3.

2. 确定常数A、B、C及a ，使得求积公式：

有尽可能高的代数精确度，并指出其代数精确度。

解：, 代数精确度为5

3. 设A是n阶非奇异矩阵，　试证：

证明：

设，，则

上式=

4.

设线性方程组　

(1)．求系数矩阵的LU分解和方程组的解.

(2)．判断Seidel迭代法是否收敛，并给出Seidel迭代格式的分量形式.

解：1. (12分), ,

2. (8分)Seidel收敛，因为A 实正定对称阵. 迭代格式

5. 用插值法求在点与cosx相切，在点与cosx相交的二次多项式，并在区间上估计余项大小。

解：，余项6.

6. 设A是n阶实矩阵，X、Y是n维列向量，试证：

证明：

当时，结论显然成立；

当时，因，故 ；

又是实对称矩阵，故存在正交阵

使得， 是特征值对应的特征向量。

不妨设， 则 ，令，则

由上，结论成立。

7. 设线性方程组的系数矩阵为

其中为实常数，讨论简单迭代法和Seidel迭代法收敛的收敛性。

解：简单迭代法:不收敛 ,

Seildel迭代法:不收敛 ，

8. 函数是过区间[a,b]上的结点的基本Lagrange插值多项式，试证：

证明：

9. 设A是n阶矩阵，X、Y是n维列向量，试证：

证明：当时，结论显然成立；

当时，因，故

；

又是实对称矩阵，故存在正交阵

使得， 是特征值对应的特征向量。

不妨设， 则 ，

令，则

由上，结论成立。

10.

设线性方程组

1．求系数矩阵的LU分解和方程组的解

2．求A的条件数

3．判断Seidel迭代法是否收敛，并给出Seidel迭代格式的分量形式。

解：1., ,

2.,

3. A正定，收敛，迭代格式

11. 设上的函数，

1、选取等距结点，求的插值多项式。

2、选取结点，求的插值多项式。

3、在[0, 1]区间上任取5个结点，求的插值多项式。

解：1. 过等距结点的的插值多项式

2．过等距结点的的插值多项式　

3．

12. 设在区间上三阶导数连续，证明： 使得

证明： 由幂级数展开， ，使得

，

，

相减，得

.

四、1. 设矩阵A=

① 用紧凑格式法求A的LU分解。L=?,U=?

② det(A)=?

解：1. det(A)=9

2. 设矩阵A=

① 用紧凑格式法求A的LU分解。L=?,U=?

② det(A)=?

解2. det(A)=1

五、1.设在区间[]上有三阶连续导数，证明在，使下式成立

解：利用幂级数展开式可知存在使得

以上二式相减后除以,可得

而在连续，则存在，使得

即.

2. 设 试用下面三类结点及在结点的函数值分别作相应的插值多项式

①

六、1.设A为n阶非奇异矩阵，证明

证明：设A为n阶非奇异矩阵，

从而故与有相同的特征值，而

故

2. 对线性方程组

① 判断简单迭代法和塞德尔迭代法求解的收敛性。

② 分别写出判断简单迭代法和塞德尔迭代法求解的分量形式

解：因为系数矩阵按行严格对角占优，则简单迭代法和塞德尔迭代法均收敛。

简单迭代法：

塞德尔迭代法：