摘要：格林公式建立了沿封闭曲线的线积分与二重积分的关系，高斯公式建立了沿空间闭曲面的曲面积分与三重积分之间的关系，然而这两个公式之间形式不一致，本文利用曲面的法向量与曲线的切向量之间的关系把格林公式与高斯公式的形式统一起来。
关键词：法向量；切向量；连续；偏导数
中图分类号：g633.6 文献标识码：a文章编号：1002-7661（2011）03-0010-2
一、引言
从高等数学中我们知道格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系，似乎两个公式存在某种关系，但是两个公式的形式却完全不同，本文将利用曲面的法向量与曲线的切向量之间的关系把格林公式与高斯公式的形式统一起来。
下面我们分别给出格林公式和高斯公式定理。
定理1 设闭区域d由分段光滑的曲线l围成，函数p（x,y）及q（x,y）在d上具有一阶连续偏导数，则有
（1）
其中l是d的取正向的边界曲线，公式（1）叫格林公式。
定理2 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面 围成，函数p（x,y,z）、q（x,y,z）、r（x,y,z）在 上具有一阶连续偏导数，则有
（2）
其中 是 的整个边界曲线的外侧， 为有向曲面 在点（x,y,z）处的法向量，公式（2）叫高斯公式。
引言1 平面曲线l的两类曲线积分之间有如下关系：
其中 为平面曲线l在点（x,y,z）处的切向量。
二、提出问题
由定理1和引言1得
（3）
其中 为平面曲线l在点（x,y,z）处的切向量。公式（3）也叫格林公式。
我们发现高斯公式（2）式与格林公式（3）式的右端形式类似，而左端被积函数相差很大——公式（2）左端被积函数中含有p对x偏导数与q对y偏导数的和，而公式（3）左端被积函数中是q对x偏导数与p对y偏导数差，原因何在？能否完成形式统一？
三、解决问题
由于法向量 切向量 ，则有
cos（ ）=cos（ ） ,cos（ ）＝－cos（ ）。
将上式代入（3）式中得
（4）
令 , 则上式变为
（5）
上式仍是格林公式。
我们发现（2）与（5）形式统一，这样我们就完成了格林公式与高斯公式形式的统一。
四、应用举例
例 求二重积分 ，其中d是由l: 所围成的区域。
解：方法一：（利用本文公式（３））
令 则
其中方法二用的就是与高斯公式（３）形式相统一的格林公式（５）。本例题同时也说明了本文主要结果的正确性。
五、结束语
本文完成了格林公式与高斯公式的形式统一，其实，在高等数学中还有一些公式之间也存在形式一致的关系，只要我们加以推敲，便可以把它们之间的密切联系找出来。这样不仅有助于我们对这两个公式更深的理解，同时使我们记忆这两个公式时不易记错，混淆。
参考文献
[1] 同济大学应用数学系，高等数学[m].北京：高等教育出版社，2002.
[2] 华东师范大学数学系，数学分析[m].北京：高等教育出版社，1991，3.
[3] 吴赣昌，高等数学[m].北京：中国人民大学出版社，2009。
